实变函数第一第四讲课件

第四节不可数集第一章集合第四节不可数集第一章集合11不可数集的存在性(区间[0,1]是不可数集)[][][]01/32/31证明：假设［0,1］是可数集,则[0,1]可以写成一个无穷序列的形式：1不可数集的存在性(区间[0,1]是不可数集)[2[][][]01/32/31[][3数的进位制简介十进制小数相应于对[0,1]十等分二进制小数相应于对[0,1]二等分三进制小数相应于对[0,1]三等分说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如0.2000000…0.1999999…（十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数数的进位制简介十进制小数相应于对4不可数集的存在性的另一种证明证明：假设（0,1）是可数集,则（0,1）可以写成一个无穷序列的形式：把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）令x=0.a1a2a3a4…其中则得到矛盾，所以(0,1)是不可数集。不可数集的存在性的另一种证明证明：假设（0,1）是可数集,则5定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，其势记为，显然：例：1）R~(0,1)~[0,1]~[0,1)~R+~<a,b>(a<b)2连续势集的定义2）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，例：1）R~63连续势集的性质（卡氏积）（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集3连续势集的性质（卡氏积）（1）有限个、可数个连续势的卡氏7实变函数第一第四讲课件81874年Cantor考虑R与Rn的对应关系，并企图证明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年，他证明了一一对应关系是存在的，从而说明Rn具有连续基数，他当初写信给Dedekind说：“我看到了它，但我简直不能相信它”.推论平面与直线有“相同多”的点1874年Cantor考虑R与Rn的对应关系，并企图证推9连续势集的性质（并集）连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集(](](]012n-1n(](](]012n-1ny连续势集的性质（并集）连续势集的（有限个，可数个，连续势个104无最大势定理从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.4无最大势定理从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集11此证为对角线方法，与(0,1)是不可数集的证明比较。此证为对角线方法，与(0,1)12

尽管Cantor在1883年就证明了这个定理，但直到1899年Cantor才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的Cantor的最大基数悖论.因此Cantor在1899年给Dedekind的一封信中曾指出,人们要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合.集合悖论尽管Cantor在1883年就证明了这个定理，但直到13证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N与{0,1}N对等；下证：说明：相当于把对应到一个三进制小数5可数势与连续势思考：为什么不用二进制。N上的特征函数全体证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N14实变函数第一第四讲课件15

Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。注记：从前面我们已经看到：Cantor认为在之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。连续统假设Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为16在Zermelo-Frankel公理集合论体系下参见：《数学与哲学》张景中，《数理逻辑概貌》莫绍揆ZF公理集合论体系下的连续统假设1940年Godel证明了连续统假设的相容性（即不能证明它不真）；1962年Stanford大学的P.J.Cohen证明了它的独立性（即不能用其他公理证明它真）；在Zermelo-Frankel公理集合论体系下参见：176基数的运算6基数的运算18对一些记号的说明思考：如何推广不可数个集合的卡氏积？对一些记号的说明思考：如何推广19第五节半序集第一章集合第五节半序集第一章集合201半序集数学三大母结构（Bourbaki学派观点）：拓扑结构（邻近关系），代数结构（运算关系），序结构（顺序关系）（测度（长度、面积、体积））例：对实数集R有远近关系，四则运算，大小顺序，区间有长度1半序集数学三大母结构（Bourbaki学派观点）：例：对21半序集定义⑴自反性:

⑵反对称性:

⑶传递性:则称A按成一半序集（偏序集）。设A是一集合，为A中的某些元素的关系且满足:半序集定义⑴自反性:

⑵反对称性:

⑶传递性:则称A按22例

⑴是一半序集.⑵是一半序集.

例

⑴是一半序集.232Zorn引理与选择公理Zorn引理：设是一偏序集，A中的每个全序子集有上界，则A必有极大元。选择公理：设为一簇两两不交的非空集簇，则存在一集B使得是单元素集。2Zorn引理与选择公理Zorn引理：设24对选择公理的说明利用选择公理，Banach在1924年证明了分球定理，即一个闭球U可分解成两个互不相交的集合A，B且U与A可由相同多的有限多个互相合同的子集并成，U与B可由相同多的有限多个互相合同的子集并成；粗略来说即可把一个球U分解成两个与U具有同样体积的球A和B。

（见：王世强《数理逻辑与范畴论应用》）对选择公理的说明利用选择公理，Banach在1924年证明了25选择公理的说明通俗讲，假如有无限双鞋子，则我们有一规则，从每双鞋子中取出左脚穿的鞋子，其总体构成一集合；但若是无限双袜子，由于袜子不分左右，所以就有多种选择，要承认这种成员不确定的集合存在，就要引用选择公理。数学中许多重要定理的证明都需要用到选择公理，如Lebesgue不可测集的存在，拓扑空间紧性的Tychonoff定理等。

注：关于选择公理的一些等价命题，可参见《一般拓扑学》（J.L.Kellyp34）选择公理的说明通俗讲，假如有无限双鞋子，则我们有一规则，从每26第四节不可数集第一章集合第四节不可数集第一章集合271不可数集的存在性(区间[0,1]是不可数集)[][][]01/32/31证明：假设［0,1］是可数集,则[0,1]可以写成一个无穷序列的形式：1不可数集的存在性(区间[0,1]是不可数集)[28[][][]01/32/31[][29数的进位制简介十进制小数相应于对[0,1]十等分二进制小数相应于对[0,1]二等分三进制小数相应于对[0,1]三等分说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如0.2000000…0.1999999…（十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数数的进位制简介十进制小数相应于对30不可数集的存在性的另一种证明证明：假设（0,1）是可数集,则（0,1）可以写成一个无穷序列的形式：把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）令x=0.a1a2a3a4…其中则得到矛盾，所以(0,1)是不可数集。不可数集的存在性的另一种证明证明：假设（0,1）是可数集,则31定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，其势记为，显然：例：1）R~(0,1)~[0,1]~[0,1)~R+~<a,b>(a<b)2连续势集的定义2）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，例：1）R~323连续势集的性质（卡氏积）（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集3连续势集的性质（卡氏积）（1）有限个、可数个连续势的卡氏33实变函数第一第四讲课件341874年Cantor考虑R与Rn的对应关系，并企图证明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年，他证明了一一对应关系是存在的，从而说明Rn具有连续基数，他当初写信给Dedekind说：“我看到了它，但我简直不能相信它”.推论平面与直线有“相同多”的点1874年Cantor考虑R与Rn的对应关系，并企图证推35连续势集的性质（并集）连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集(](](]012n-1n(](](]012n-1ny连续势集的性质（并集）连续势集的（有限个，可数个，连续势个364无最大势定理从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.4无最大势定理从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集37此证为对角线方法，与(0,1)是不可数集的证明比较。此证为对角线方法，与(0,1)38

尽管Cantor在1883年就证明了这个定理，但直到1899年Cantor才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的Cantor的最大基数悖论.因此Cantor在1899年给Dedekind的一封信中曾指出,人们要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合.集合悖论尽管Cantor在1883年就证明了这个定理，但直到39证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N与{0,1}N对等；下证：说明：相当于把对应到一个三进制小数5可数势与连续势思考：为什么不用二进制。N上的特征函数全体证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N40实变函数第一第四讲课件41

Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。注记：从前面我们已经看到：Cantor认为在之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。连续统假设Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为42在Zermelo-Frankel公理集合论体系下参见：《数学与哲学》张景中，《数理逻辑概貌》莫绍揆ZF公理集合论体系下的连续统假设1940年Godel证明了连续统假设的相容性（即不能证明它不真）；1962年Stanford大学的P.J.Cohen证明了它的独立性（即不能用其他公理证明它真）；在Zermelo-Frankel公理集合论体系下参见：436基数的运算6基数的运算44对一些记号的说明思考：如何推广不可数个集合的卡氏积？对一些记号的说明思考：如何推广45第五节半序集第一章集合第五节半序集第一章集合461半序集数学三大母结构（Bourbaki学派观点）：拓扑结构（邻近关系），代数结构（运算关系），序结构（顺序关系）（测度（长度、面积、体积））例：对实数集R有远近关系，四则运算，大小顺序，区间有长度1半序集数学三大母结构（Bourbaki学派观点）：例：对47半序集定义⑴自反性:

⑵反对称性:

⑶传递性:则称A按成一半序集（偏序集）。设A是一集合，为A中的某些元素的关系且满足:半序集定义⑴自反性:

⑵反对称性:

⑶传递性:则称A