移动机器人原理与设计运动学课件

第三章移动机器人运动学移动机器人运动学模型移动机器人运动学约束移动机器人的机动性运动控制12022/11/25第三章移动机器人运动学移动机器人运动学模型12022/113.1运动学概述机械系统的运行规律对工业机械手的研究很成熟移动机器人的运动与机械手不同由轮子的运动描述，进而得到机器人整体的运动描述。讨论机器人的运动控制。22022/11/253.1运动学概述机械系统的运行规律22022/11/223.2运动学模型的建立1、机器人的位置表示全局坐标和局部坐标的关系

XIOYI为全局参考坐标系，XRMYR为机器人的局部参考坐标系，局部参考坐标系的原点为机器人底盘上后轮轴的中点M。θ表示全局参考坐标系和局部参考坐标系的角度差机器人的位姿32022/11/253.2运动学模型的建立32022/11/22局部坐标与全局坐标的映射关系

该映射可由正交旋转矩阵来表示

42022/11/25局部坐标与全局坐标的映射关系42022/11/22例1

如图3-2所示机器人，给定全局参考坐标系下的某个速度

，且

，试计算沿机器人局部参考坐标系XR轴和YR轴的运动分量。解：在局部参考坐标系下，沿XR的运动等于-，沿YR的运动是

，也就是说，机器人在局部参考坐标系下沿x轴的运动，相当于在全局参考坐标系下沿y轴反方向的运动52022/11/25例152022/11/22运动学模型假定差动机器人有2个动力轮，半径均为r，给定点为两轮之间的中点M，轮距为d。给定r,d,θ和各轮的转速

，点M在XR正方向上的平移速度为：假定轮子不能有侧向滑移，则旋转角速度分量：最终得到运动学模型如右式。62022/11/25运动学模型62022/11/223.3运动学约束轮子的运动学约束假定：

1、

轮子的平面总是和地面保持垂直，轮子和地面之间只有一个单独的接触点，并且该接触点的瞬时速度为零。

2、该接触点无滑动，只存在纯滚动。1）固定标准轮轮子的中心点A在机器人局部参考坐标系下的位置可用极坐标表示为长度MA=l和角度α，轮子平面相对于MA的方向用固定角β表示。半径为r的轮子在轮子平面内可自由转动，转动的角度用

ϕ(t)表示72022/11/253.3运动学约束72022/11/22矩阵表示形式如下：矩阵表示形式如下：82022/11/25矩阵表示形式如下：82022/11/22映射到全局坐标系固定标准轮的滚动约束方程：机器人沿着轮子平面的运动等价于机器人在全局参考坐标系下的运动在轮子平面内的投影。必须等于由旋转轮子完成的运动

。滑动约束方程：正交于轮子平面的轮子运动分量为零92022/11/25映射到全局坐标系92022/11/22例3.假定轮A处在一个位置使得α＝90，β＝0，如果θ＝0，试写出该轮的滑动约束方程。解：根据滑动约束方程，

得：即，yI=0102022/11/25例3.102022/11/222）可操纵的标准轮有一个附加的自由度，轮子相对机器人底盘的方向不再是一个固定值β，而是随时间变化的函数β(t)。约束方程与固定标准轮的约束方程是相同的，只把β换成β(t)，并不直接影响机器人的瞬时运动。但操纵角的变化会影响到机器人的活动性。112022/11/252）可操纵的标准轮112022/11/22机器人运动学约束把机器人底盘上所有轮子引起的运动学约束以适当的形式联合起来，就可以描述整个机器人的运动学约束。设Nf个固定标准轮和Ns个可操纵标准轮，底盘的滚动约束：将所有轮子的滚动约束集合成一个单独的表达式：表示一个投影矩阵，该投影矩阵将机器人在局部参考坐标系下的运动投影到沿着它们各个轮子平面的运动。J2是一个大小为N×N的常对角矩阵，其对角线上的元素为全部标准轮的半径。122022/11/25机器人运动学约束122022/11/22底盘的滑动约束所用标准轮的滑动约束集合成一个单独表达式：也表示一个投影矩阵，它将机器人局部参考坐标系下的运动投影到各个轮子的法平面内132022/11/25底盘的滑动约束132022/11/22例4对两轮差动驱动机器人，求滚动约束和滑动约束的联合表达式。解：联立约束方程，得小脚轮无动力，可在任何方向自由运动，和分别简化为和。对右轮，α＝－π/2，β＝π；对左轮，α＝π/2，β＝0可得总的约束方程：

142022/11/25例4142022/11/22左乘得，进一步的运算可得：152022/11/25左乘得，152022/11/223.4移动机器人的机动性活动性程度瞬时转动中心（即ICR）四轮汽车和自行车的ICR只有一个单独的ICR，才保证机器人的运动是确定的独立的滑动约束的数目可用

的秩来描述。一般地，对于一个安装有零个或多个标准轮的机器人：等于零时，表示机器人未安装标准轮；等于3时，表示机器人在任何方向是完全受约束的，即它将不可能在平面中运动。162022/11/253.4移动机器人的机动性162022/11/22活动性程度可操纵度对于一个安装有零个或多个可操纵标准轮的机器人有：为零时，说明机器人底盘没有安装可操纵标准轮；等于2时，说明机器人没有安装固定标准轮。172022/11/25活动性程度172022/11/22机动性指机器人可以操纵的总的自由度，由直接操纵的自由度（即活动性程度）和间接操纵的自由度（即可操纵度）两个部分构成。182022/11/25机动性182022/11/223.5运动控制非完整约束和非完整系统完整约束是指系统的约束可以用相对于质点的直角坐标（(Xi,Yi,Ti)，i=1…n）及时间t的解析方程，或有限方程（非微分方程）来表示。又称为几何约束。若约束采用不可积分的微分方程表示，则称为非完整约束。当系统受非完整约束时，无法约束系统的运动位形，而只是将系统的瞬时速度限制在（n-k）维子空间上，也就是说非完整约束使系统的运动自由度减少，但是描述系统的独立广义坐标的自由度并没有减少。192022/11/253.5运动控制192022/11/22移动机器人的运动控制开环策略和闭环策略点镇定、路径跟踪、轨迹跟踪202022/11/25移动机器人的运动控制202022/11/22点镇定举例在机器人局部参考坐标系下，给定实际位姿误差向量为

，x，y和θ是机器人的目标坐标。如果存在一个控制矩阵K，使得v（t）和w（t）的控制，满足机器人在目标点是稳定的，即控制矩阵K可以使机器人到达该目标点。212022/11/25点镇定举例212022/11/22运动学模型的建立假定目标在全局参考坐标系的原点，差动驱动的机器人的运动学模型令

为机器人前进方向和机器人轮轴中心与目标点连线之间的角度，当前位置在全局参考坐标系下的极坐标为：222022/11/25运动学模型的建立222022/11/22232022/11/25232022/11/22控制率设置设计控制信号v和w，闭环控制系统可表示为：该闭环系统有一个唯一的平衡点,它会使机器人到达目标点。242022/11/25控制率设置242022/11/22稳定性证明如果

，，那么，机器人在平衡点是局部稳定的。证明：在平衡点，做如下简化：则该闭环系统的系统矩阵：特征方程为如果，那么特征方程的所有根均具有负实部，则该系统在平衡点附近是稳定的。证毕。252022/11/25稳定性证明252022/11/22习题：1.试给出建立全局参考坐标系和局部参考坐标系的必要性。2.对于差动机器人底盘，固定标准轮A如下图所示，若α＝90度，β＝0度,θ（即全局框架横轴和局部参考框架横轴的夹角）＝90度，

l=1，r=2，

ϕ为轮子旋转角度。试写出轮A的滚动和滑动约束方程。262022/11/25习题：262022/11/223．如下图所示，假定机器人位于θ＝π/2，r（轮子半径）＝1，

（各轮距P点的距离）l=1，各轮转速分别为8和4，要求：（1）试写出局部参考框架和全局参考框架下位姿变量的转换关系式，并给出转换矩阵的具体形式。（2）试计算机器人在全局参考框架中的运动，并给出解释。272022/11/253．如下图所示，假定机器人位于θ＝π/2，r（轮子半径）＝1第三章移动机器人运动学移动机器人运动学模型移动机器人运动学约束移动机器人的机动性运动控制282022/11/25第三章移动机器人运动学移动机器人运动学模型12022/113.1运动学概述机械系统的运行规律对工业机械手的研究很成熟移动机器人的运动与机械手不同由轮子的运动描述，进而得到机器人整体的运动描述。讨论机器人的运动控制。292022/11/253.1运动学概述机械系统的运行规律22022/11/223.2运动学模型的建立1、机器人的位置表示全局坐标和局部坐标的关系

XIOYI为全局参考坐标系，XRMYR为机器人的局部参考坐标系，局部参考坐标系的原点为机器人底盘上后轮轴的中点M。θ表示全局参考坐标系和局部参考坐标系的角度差机器人的位姿302022/11/253.2运动学模型的建立32022/11/22局部坐标与全局坐标的映射关系

该映射可由正交旋转矩阵来表示

312022/11/25局部坐标与全局坐标的映射关系42022/11/22例1

如图3-2所示机器人，给定全局参考坐标系下的某个速度

，且

，试计算沿机器人局部参考坐标系XR轴和YR轴的运动分量。解：在局部参考坐标系下，沿XR的运动等于-，沿YR的运动是

，也就是说，机器人在局部参考坐标系下沿x轴的运动，相当于在全局参考坐标系下沿y轴反方向的运动322022/11/25例152022/11/22运动学模型假定差动机器人有2个动力轮，半径均为r，给定点为两轮之间的中点M，轮距为d。给定r,d,θ和各轮的转速

，点M在XR正方向上的平移速度为：假定轮子不能有侧向滑移，则旋转角速度分量：最终得到运动学模型如右式。332022/11/25运动学模型62022/11/223.3运动学约束轮子的运动学约束假定：

1、

轮子的平面总是和地面保持垂直，轮子和地面之间只有一个单独的接触点，并且该接触点的瞬时速度为零。

2、该接触点无滑动，只存在纯滚动。1）固定标准轮轮子的中心点A在机器人局部参考坐标系下的位置可用极坐标表示为长度MA=l和角度α，轮子平面相对于MA的方向用固定角β表示。半径为r的轮子在轮子平面内可自由转动，转动的角度用

ϕ(t)表示342022/11/253.3运动学约束72022/11/22矩阵表示形式如下：矩阵表示形式如下：352022/11/25矩阵表示形式如下：82022/11/22映射到全局坐标系固定标准轮的滚动约束方程：机器人沿着轮子平面的运动等价于机器人在全局参考坐标系下的运动在轮子平面内的投影。必须等于由旋转轮子完成的运动

。滑动约束方程：正交于轮子平面的轮子运动分量为零362022/11/25映射到全局坐标系92022/11/22例3.假定轮A处在一个位置使得α＝90，β＝0，如果θ＝0，试写出该轮的滑动约束方程。解：根据滑动约束方程，

得：即，yI=0372022/11/25例3.102022/11/222）可操纵的标准轮有一个附加的自由度，轮子相对机器人底盘的方向不再是一个固定值β，而是随时间变化的函数β(t)。约束方程与固定标准轮的约束方程是相同的，只把β换成β(t)，并不直接影响机器人的瞬时运动。但操纵角的变化会影响到机器人的活动性。382022/11/252）可操纵的标准轮112022/11/22机器人运动学约束把机器人底盘上所有轮子引起的运动学约束以适当的形式联合起来，就可以描述整个机器人的运动学约束。设Nf个固定标准轮和Ns个可操纵标准轮，底盘的滚动约束：将所有轮子的滚动约束集合成一个单独的表达式：表示一个投影矩阵，该投影矩阵将机器人在局部参考坐标系下的运动投影到沿着它们各个轮子平面的运动。J2是一个大小为N×N的常对角矩阵，其对角线上的元素为全部标准轮的半径。392022/11/25机器人运动学约束122022/11/22底盘的滑动约束所用标准轮的滑动约束集合成一个单独表达式：也表示一个投影矩阵，它将机器人局部参考坐标系下的运动投影到各个轮子的法平面内402022/11/25底盘的滑动约束132022/11/22例4对两轮差动驱动机器人，求滚动约束和滑动约束的联合表达式。解：联立约束方程，得小脚轮无动力，可在任何方向自由运动，和分别简化为和。对右轮，α＝－π/2，β＝π；对左轮，α＝π/2，β＝0可得总的约束方程：

412022/11/25例4142022/11/22左乘得，进一步的运算可得：422022/11/25左乘得，152022/11/223.4移动机器人的机动性活动性程度瞬时转动中心（即ICR）四轮汽车和自行车的ICR只有一个单独的ICR，才保证机器人的运动是确定的独立的滑动约束的数目可用

的秩来描述。一般地，对于一个安装有零个或多个标准轮的机器人：等于零时，表示机器人未安装标准轮；等于3时，表示机器人在任何方向是完全受约束的，即它将不可能在平面中运动。432022/11/253.4移动机器人的机动性162022/11/22活动性程度可操纵度对于一个安装有零个或多个可操纵标准轮的机器人有：为零时，说明机器人底盘没有安装可操纵标准轮；等于2时，说明机器人没有安装固定标准轮。442022/11/25活动性程度172022/11/22机动性指机器人可以操纵的总的自由度，由直接操纵的自由度（即活动性程度）和间接操纵的自由度（即可操纵度）两个部分构成。452022/11/25机动性182022/11/223.5运动控制非完整约束和非完整系统完整约束是指系统的约束可以用相对于质点的直角坐标（(Xi,Yi,Ti)，i=1…n）及时间t的解析方程，或有限方程（非微分方程）来表示。又称为几何约束。若约束采用不可积分的微分方程表示，则称为非完整约束。当系统受非完整约束时，无法约束系统的运动位形，而只是将系统的瞬时速度限制在（n-k）维子空间上，也就是说非完整约束使系统的运动自由度减少，但是描述系统的独立广义坐标的自由度并没有减少。462022/11/253.5运动控制192022/11/22移动机器人的运动控制开环策略和闭环策略点镇定、路径跟踪、轨迹跟踪472022/11/25移动机器人的运动控制202022/11/22点镇定举例在机器人局部参考坐标系下，给定实际位姿误差向量为

，x，y和θ是机器人的目标坐标。如果存在一个控制矩阵K，使得v（t）和w（t）的控制，满足机器人在目标点是稳定的，即控制矩阵K可以使机器人到达该目标点。482022/11/25点镇定举例212022/11/22运动学模型的建立假定目标在全局参考坐标系的原点，差动驱动的机器人的运动学模型令

为机器人前进方向和机器人轮轴中心与目标点连线之间的角度，当前位置在全局参考坐标系下的极坐标为：492022/11/25运动学模型的建立222022/11/22502022/11/25