正态分布 练习-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

课时对点练1．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)等于()A．0.85B．0.70C．0.35D．0.152．某厂生产的零件外径X～N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9cm,9.3cm，则可认为()A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上午、下午生产情况均正常D．上午、下午生产情况均异常3．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为()A．3B．4C．5D．64．已知随机变量X服从正态分布N(100,4)，若P(m≤X≤104)＝0.1359，则m等于()[附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.9545]A．100B．101C．102 D．1035．某工厂生产了10000根钢管，其钢管内径(单位：mm)近似服从正态分布N(20，σ2)(σ>0)，工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于20.05mm的占钢管总数的eq\f(1,50)，则这批钢管中，内径在19.95mm到20mm之间的钢管数约为()A．4200根B．4500根C．4800根 D．5200根6.如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ37．随机变量X～N(2，σ2)如图，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X≤4－a)＝________.8．X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.6827，则σ＝________，P(|X－2|<4)＝________.9．设X～N(3,42)，试求：(1)P(－1≤X≤7)；(2)P(7≤X≤11)；(3)P(X＞11)．10．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？11．在某市2021年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()A．1500名B．1700名C．4500名 D．8000名12．(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100,102)，则下列选项中正确的是()(参考数值：随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，即P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A．E(X)＝100B．D(X)＝100C．P(X≥90)≈0.84135D．P(X≤120)≈0.9987513．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4,98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.根据行业标准，概率低于0.0027视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为()A.eq\f(44,45)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(41,45)14．已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(2π))·，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为________，X落在区间(2,3]内的概率为________．15．(多选)下列说法中正确的是()A．设随机变量X服从二项分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)＝eq\f(5,16)B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4C．已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|＜2)＝a，则P(X＞2)的值为eq\f(1＋a,2)D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋316．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8≤Z≤212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.§7.5正态分布知识梳理1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．2．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．3．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4．正态曲线的特点：(1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．(2)定值性：曲线与x轴之间的面积为1.(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．(6)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.(7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．6.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3.4.27作业答案解析：CABCCD0.362,0.84T9∵X～N(3,42)，∴μ＝3，σ＝4.(1)P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(7≤X≤11)＝P(－5≤X≤－1)，∴P(7≤X≤11)＝eq\f(1,2)[P(－5≤X≤11)－P(－1≤X≤7)]＝eq\f(1,2)[P(3－8≤X≤3＋8)－P(3－4≤X≤3＋4)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.(3)∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，∴P(X＞11)＝eq\f(1,2)[1－P(－5≤X≤11)]＝eq\f(1,2)[1－P(3－8≤X≤3＋8)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275.T10还有7分钟时：若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)．若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，能及时到达的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ)．因为P1<P2，所以应选第二条路线．同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．AABCBx=1,0.1359ABT16解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0