线性代数-第一次课§11-13课件

线性代数1.教师姓名:王国联2.52学时，第17周结束3.期中考试(待定)

4.作业：练习册5.平时成绩所占比例20%(作业、平时抽查、期中考试(若有))

线性代数1.教师姓名:王国联1课程简介代数中心课题-------解方程

最简单的方程一元一次方程。（1）一元n次方程---多项式理论

（2）n元一次方程---线性代数课程简介代数中心课题-------解方程2第一章行列式什么是行列式行列式的定义、性质、计算行列式的应用能解决什么问题第一章行列式什么是行列式3§1.1二阶与三阶行列式当(a11a22–a12a21)0时,用消元法解得:由方程组的四个系数确定一、二阶行列式1.二阶行列式的引入求解二元一次方程组称其为二阶行列式。令a11a12a21a22§1.1二阶与三阶行列式当(a11a22–a12a24由4个数排成二行二列的数表a11a12a21a222.二阶行列式的定义定义：主对角线副对角线3.二阶行列式的计算——对角线法则a11a22–a12a21=a11a22–a12a21(1)(2)式称为由数表(1)所确定的二阶行列式.记(2)＝由4个数排成二行二列的数表a11a122.二阶行列5４.二阶行列式的应用当(a11a22–a12a21)0时,解得:分析：４.二阶行列式的应用当(a11a22–a12a21)6例1:

解二元线性方程组解:=3–(–4)=70,例1:解二元线性方程组解:=3–(–4)=77二、三阶行列式求解三元线性方程：用消元法解得当时，1.三阶行列式的引入称为三阶行列式二、三阶行列式求解三元线性方程：用消元法解得当时，18(5)式称为由数表(4)所确定的三阶行列式.2.三阶行列式的定义定义:

设由9个数排成3行3列的数表(5)(4)记

列标

行标(5)式称为由数表(4)所确定的三阶行列式.2.三阶行列式的93.三阶行列式的计算(1)对角线法则(2)沙路法即3.三阶行列式的计算(1)对角线法则(2)沙路法即10即当时，4.三阶行列式的应用记则即当时，4.三阶行列式的应用记则11

例2:

计算三阶行列式解:

例2:计算三阶行列式解:12

二阶、三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.三、小结类似的可以定义四阶、五阶……思考：如何给出n(n=1,2……)阶行列式的一般定义？如何计算？n阶行列式的定义中要用到两个概念：全排列和逆序数。二阶、三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引13§1.2全排列及其逆序数

定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(或排列).解答：

Pn=n

(n–1)(n–2)···21=n!一、全排列

思考：n个不同的元素的排列数是多少？通常用Pn

表示n个不同的元素的所有全排列的种数,称为排列数.§1.2全排列及其逆序数14二、排列的逆序数逆序:在一个排列i1

i2···

is

···it

···in

中,若数is>it,则称这两个数组成一个逆序.

下面的例题及定义均以n个不同的自然数为例,并规定自然数由小到大为标准次序.逆序数:

一个排列中所有逆序的总数,通常用t表示.逆序数的计算方法:“前大法”或“后小法”例如:

排列3142中,3142逆序逆序逆序二、排列的逆序数逆序:在一个排列i1i2···i153251431故此排列的逆序数为t(32514)=0+1+0+3+1

=

5.例1:求排列32514的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.32514于是t(32514)

=2+1+2+0+0=5.

解:用“前大法”:用“后小法”:3251431故此排列的逆序数16例2:

计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性.(1)n(n–1)(n–2)···21解:用“前大法”:n(n–1)(n–2)···21012(n–1)(n–2)t=0+1+2+···+(n–2)+(n–1)于是排列n(n–1)(n–2)···21的逆序数为:

此排列当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时为奇排列,其中ｋ为自然数.例2:计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性.(1)n17(2)(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k–1)(k+1)k.(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k–1)(k+1)k解:0121233(k–1)(k–1)kt=0+1+1+2+2+···+(k–1)+(k–1)+k于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2)···(k–1)(k+1)k的逆序数为:

此排列当k为偶数时为偶排列,当k为奇数时为奇排列.(2)(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)18§1.3n阶行列式的定义一、n阶行列式(1)三阶行列式共有6=3!项.(2)不考虑每项的正负号,每项是由位于不同行不同列的三个元素的乘积.(3)将每项三个元素的行下标标准排列,每项的正负号由列下标排列的逆序数决定.三个本质特点：1.概念的引入t(123)=0,

t(231)=2,t(312)=2,t(321)=3,

t(132)=1,t(213)=1,§1.3n阶行列式的定义一、n阶行列式(1)三192.n阶行列式的定义定义:设由n2个数排成一个n行n列的数表称其为由数表(1)构成的n阶行列式.令(1)简记作det(aij).2.n阶行列式的定义定义:设由n2个数排成一个n20

三个本质特征：（1）n阶行列式是n!项的代数和;（2）不考虑每项的正负号,

n阶行列式的每项都是位于不同行,不同列的n个元素的乘积.

（3）行下标标准排列,每项的正负号都由列下标排列的逆序数确定.

按定义一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值符号相混淆,但一般不使用此符号.三个本质特征：按定义一阶行列式的符号|21例1:解:

由行列式的本质特征(2)和(3),

写出四阶行列式中含有因子的项。因此,含有因子的项n阶行列式的每项都是位于不同行,不同列的n个元素的乘积再冠以规定的正负号构成.

例1:解:由行列式的本质特征(2)和(3),写出四阶行列22例2:

计算对角行列式解:

分析.四阶行列式的通项为：从而这个项为零,同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能p1=4;若p14,则即行列式中非零的项为:(–1)t(4321)

a14a23a32a41即例2:计算对角行列式解:分析.四阶行列式的通项为：从而这23例3:

计算上三角行列式解:分析展开式中项的一般形式是所以非零的项只可能是:a11a22···

ann

.从最后一行开始讨论非零项.显然pn=n,pn–1=n–1,pn–2=n–2,···,p2=2,p1=1,即例3:计算上三角行列式解:分析展开式中项的一般形式是所以24下三角行列式对角行列式:主对角线上方和下方的元素全为零下三角行列式对角行列式:主对角线上方和下方的元素全为零25反对角行列式:反对角线上方和下方的元素全为零.思考：用行列式的定义计算答案：反对角行列式:反对角线上方和下方的元素全为零.思考：用行列式26例4:设证明:D1=D2.例4:设证明:D1=D2.27证:

由行列式定义有证:由行列式定义有28由于p1+p2+···+pn=1+2+···+n,所以故

由于p1+p2+···+pn=1+2+29例5:已知多项式求x3的系数.解:含x3的项有仅两项,即对应于=x3+(–2x3)故x3的系数为(–1).(–1)t(1234)a11a22a33a44+(–1)t(1243)a11a22a34a43例5:已知多项式求x3的系数.解:含x3的项有仅两项30

三、行列式的计算背景：仅用定义计算，计算量太大，除非0很多.例：n=50,50!约为1065。用每秒运算亿亿次的计算机，需1041年才能算完。行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式.n阶行列式共有n!项,每项都是位于不同行,不同列的n

个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.作业：习题册第一章１、2、3题。三、行列式的计算背景：仅用定义计算，计算量太31线性代数1.教师姓名:王国联2.52学时，第17周结束3.期中考试(待定)

4.作业：练习册5.平时成绩所占比例20%(作业、平时抽查、期中考试(若有))

线性代数1.教师姓名:王国联32课程简介代数中心课题-------解方程

最简单的方程一元一次方程。（1）一元n次方程---多项式理论

（2）n元一次方程---线性代数课程简介代数中心课题-------解方程33第一章行列式什么是行列式行列式的定义、性质、计算行列式的应用能解决什么问题第一章行列式什么是行列式34§1.1二阶与三阶行列式当(a11a22–a12a21)0时,用消元法解得:由方程组的四个系数确定一、二阶行列式1.二阶行列式的引入求解二元一次方程组称其为二阶行列式。令a11a12a21a22§1.1二阶与三阶行列式当(a11a22–a12a235由4个数排成二行二列的数表a11a12a21a222.二阶行列式的定义定义：主对角线副对角线3.二阶行列式的计算——对角线法则a11a22–a12a21=a11a22–a12a21(1)(2)式称为由数表(1)所确定的二阶行列式.记(2)＝由4个数排成二行二列的数表a11a122.二阶行列36４.二阶行列式的应用当(a11a22–a12a21)0时,解得:分析：４.二阶行列式的应用当(a11a22–a12a21)37例1:

解二元线性方程组解:=3–(–4)=70,例1:解二元线性方程组解:=3–(–4)=738二、三阶行列式求解三元线性方程：用消元法解得当时，1.三阶行列式的引入称为三阶行列式二、三阶行列式求解三元线性方程：用消元法解得当时，139(5)式称为由数表(4)所确定的三阶行列式.2.三阶行列式的定义定义:

设由9个数排成3行3列的数表(5)(4)记

列标

行标(5)式称为由数表(4)所确定的三阶行列式.2.三阶行列式的403.三阶行列式的计算(1)对角线法则(2)沙路法即3.三阶行列式的计算(1)对角线法则(2)沙路法即41即当时，4.三阶行列式的应用记则即当时，4.三阶行列式的应用记则42

例2:

计算三阶行列式解:

例2:计算三阶行列式解:43

二阶、三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.三、小结类似的可以定义四阶、五阶……思考：如何给出n(n=1,2……)阶行列式的一般定义？如何计算？n阶行列式的定义中要用到两个概念：全排列和逆序数。二阶、三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引44§1.2全排列及其逆序数

定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(或排列).解答：

Pn=n

(n–1)(n–2)···21=n!一、全排列

思考：n个不同的元素的排列数是多少？通常用Pn

表示n个不同的元素的所有全排列的种数,称为排列数.§1.2全排列及其逆序数45二、排列的逆序数逆序:在一个排列i1

i2···

is

···it

···in

中,若数is>it,则称这两个数组成一个逆序.

下面的例题及定义均以n个不同的自然数为例,并规定自然数由小到大为标准次序.逆序数:

一个排列中所有逆序的总数,通常用t表示.逆序数的计算方法:“前大法”或“后小法”例如:

排列3142中,3142逆序逆序逆序二、排列的逆序数逆序:在一个排列i1i2···i463251431故此排列的逆序数为t(32514)=0+1+0+3+1

=

5.例1:求排列32514的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.32514于是t(32514)

=2+1+2+0+0=5.

解:用“前大法”:用“后小法”:3251431故此排列的逆序数47例2:

计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性.(1)n(n–1)(n–2)···21解:用“前大法”:n(n–1)(n–2)···21012(n–1)(n–2)t=0+1+2+···+(n–2)+(n–1)于是排列n(n–1)(n–2)···21的逆序数为:

此排列当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时为奇排列,其中ｋ为自然数.例2:计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性.(1)n48(2)(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k–1)(k+1)k.(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k–1)(k+1)k解:0121233(k–1)(k–1)kt=0+1+1+2+2+···+(k–1)+(k–1)+k于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2)···(k–1)(k+1)k的逆序数为:

此排列当k为偶数时为偶排列,当k为奇数时为奇排列.(2)(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)49§1.3n阶行列式的定义一、n阶行列式(1)三阶行列式共有6=3!项.(2)不考虑每项的正负号,每项是由位于不同行不同列的三个元素的乘积.(3)将每项三个元素的行下标标准排列,每项的正负号由列下标排列的逆序数决定.三个本质特点：1.概念的引入t(123)=0,

t(231)=2,t(312)=2,t(321)=3,

t(132)=1,t(213)=1,§1.3n阶行列式的定义一、n阶行列式(1)三502.n阶行列式的定义定义:设由n2个数排成一个n行n列的数表称其为由数表(1)构成的n阶行列式.令(1)简记作det(aij).2.n阶行列式的定义定义:设由n2个数排成一个n51

三个本质特征：（1）n阶行列式是n!项的代数和;（2）不考虑每项的正负号,

n阶行列式的每项都是位于不同行,不同列的n个元素的乘积.

（3）行下标标准排列,每项的正负号都由列下标排列的逆序数确定.

按定义一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值符号相混淆,但一般不使用此符号.三个本质特征：按定义一阶行列式的符号|52例1:解:

由行列式的本质特征(2)和(3),

写出四阶行列式中含有因子的项。因此,含有因子的项n阶行列式的每项都是位于不同行,不同列的n个元素的乘积再冠以规定的正负号构成.

例1:解:由行列式的本质特征(2)和(3),写出四阶行列53例2:

计算对角行列式解:

分析.四阶行列式的通项为：从而这个项为零,同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能p1=4;若p14,则即行列式中非零的项为:(–1)t(4321)

a14a23a32a41即例2:计算对角行列式解:分析.四阶行列