最新高中必修五数学数列讲义

PAGEPAGE17第二章数列第一节：数列及其通项公式一．数列的概念1．数列的定义：；2．表示法：；3．数列的分类：；4．通项公式：；5．递推公式的概念：；注意：①数列与集合有本质的区别；②项与项数的区别；③与的区别；④不是每一个数列都有通项公式；⑤是n的函数。二．数列通项公式的求法1．根据数列的有限项，写出数列的通项公式。练习1．数列{an}的前几项，写出数列的一个通项公式〔1〕1，4，9，16，……；an=;〔2〕……；an=;〔3〕an=;〔4〕9，99，999，9999，……；an=;〔5〕7，77，777，7777，……；an=;〔6〕7，-77，777，-7777，……；an=;〔7〕0.5,0.55,0.555,0.5555,……；an=;〔8〕1．-1，1，-1，……；an=;〔9〕1，0，1，0，……；an=;〔10〕11，101，1001，10001，……；an=;〔11〕……；an=;〔12〕；an=;〔13〕，……；an=;2．数列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，……，中x,y,z的值依次是〔〕A42，41，123B13，39，123C24，23，123D28，27，1233．数列1，1，2，3，5，8，……；的第7项是。4．数列中，，那么的前5项是。5.函数，设(1)求证：；〔2〕{an}是递增数列还是递减数列？为什么？2．数列的前n项和求数列的通项公式数列{an}的前n项和为，求数列{an}的通项公式；数列{an}的前n项和为，求数列{an}的通项公式。注意：1.用数列的前n项和求通项的公式是：；2.什么时候运用an=Sn-Sn-1求出的公式具有通用性：。练习：(3)数列{an}的前n项和为,那么通项an=;〔4〕数列{an}的前n项和为,那么通项an=;〔5〕数列{an}的前n项和为,那么通项an=;〔6〕数列{an}的前n项和为,那么通项an=;注意：〔1〕公式表示的是数列的前n项和与通项之间的关系。〔2〕要注意不要无视n=1的情形，这是大家易出错的地方。3．用递推公式求数列的通项公式〔1〕数列中，〕，那么它的前5项是。〔2〕数列中，那么。〔3〕数列中，满足，求数列{an}的通项公式；〔4〕数列中，满足，求数列{an}的通项公式；〔5〕数列中，满足，求数列{an}的通项公式；〔6〕数列中，满足，求数列{an}的通项公式；第二节：等差数列一.1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。2.通项公式：或3.等差中项：成等差数列，A叫a,b的等差中项〔注：任意两个数都有等差中项〕4.证明一个数列是等差数列的方法：一般用〔常数〕，而不用其它等价形式，假设确实无法证明，有时也可采用证明来完成。5.等差数列的性质：〔1〕，单增；，单减；，是常数列。〔2〕等差数列中任意连续的三项也成等差数列，反之亦然。〔3〕一个数列是等差数列，那么通项公式可写成〔，反之亦然。一个数列是等差数列，那么其前n项和可写成〔，反之亦然。〔4〕数列是等差数列，假设m+n=p+q，那么〔5〕数列是等差数列，项数m,p,n成等差数列，那么也成等差数列。〔6〕数列是等差数列，那么仍成等差数列。二.等差数列的前n项和：或练习与应用：通项公式、前n项和公式的根本运算在等差数列{an}中，a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.2.在等差数列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,那么a1=.3.在等差数列{an}中，a15=8,a20=20,那么a25=.4.在等差数列{an}中，a2+a5+a8=9,a3a5a75.在等差数列{an}中，a15=8,a60=20,那么a75=.仍成等差数列6.在等差数列{an}中，S10=310，S20=1220，求Sn与通项an.假设m+n=p+q，那么6．在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450,那么a2+a8=.7.a3,a15是方程x2-6x-1=0的两个根，求a7+a8+a9+a10+a11=.8．在等差数列中，，那么该数列的前5项和为〔〕〔A〕10〔B〕16〔C〕20〔D〕329.在等差数列中，表示前项和，且，那么的值为〔〕〔A〕18〔B〕60〔C〕54〔D〕2710.等差数列{an}，，那么项数n为〔〕11．在等差数列{an}中，前4项的和为21，后4项的和为67，前n项的和为286，那么项数n=.12.在等差数列中，表示前项和，且，当取得最大值时的值为〔〕〔A〕6〔B〕7〔C〕12〔D〕不能确定13.假设是等差数列，首项，，，那么使前项和成立的最大自然数是〔〕〔A〕48〔B〕47〔C〕46〔D〕4514〔04年重庆卷.文理9〕假设数列是等差数列，首项，那么使前n项和成立的最大自然数n是：〔〕A4005B4006C4007D400815.等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，且,求.16.设Sn是等差数列{an}的前n项和，假设，那么的值为〔〕A：B：2C：1D：-117．在等差数列{an}中，am=n,an=m,且m≠n,那么am+n=.18.等差数列，是其前n项和，对于不相等的正整数m,n，有，那么的值为.其奇数项和、偶数项和1、假设等差数列共有偶数项项〔奇数项、偶数项各项〕：即那么，〔中间一对〕2、假设等差数列共有奇数项项〔奇数项比偶数项多项〕：即那么〔为中间项〕，〔项数之比〕19..等差数列{an}共有2n-1项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为120，那么n=.20.如果等差数列{an}共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，那么其公差为。21．如果等差数列{an}的项数是奇数，，{an}的奇数项的和是175，偶数项的和是150，求这个等差数列的公差d。的最值问题22.等差数列{an}中，an=2n-10,那么的最小值时n=.23.等差数列{an}中，an=2n-11,那么的最小值时n=.24．在等差数列{an}中,那么前n项和的最小值为〔〕A：-80B：-76C：-75D：-7425.等差数列，是其前n项和，且，那么以下结论错误的是〔〕〔A〕d<0〔B〕〔C〕〔D〕与均为的最大值.第三节：等比数列一。等比数列及其性质1。定义：〔略〕〔有既是等差又是等比的数列吗？〕2。通项公式：；〔〕3。等比中项：a,G,b成等比数列，G叫a,b的等比中项。注：任意两个实数都有等差中项，但不是任意两个实数都有等比中项，只有两个实数同号时才有等比中项，等差中项只有一个，但等比中项有两个。4。证明数列是等比数列的根本方法：5。有关性质：〔1〕数列是等比数列，假设m+n=p+q，那么〔2〕正项等比数列的对数列是等差数列，等差数列的指数列是等比数列。〔3〕数列是等比数列，那么，，成等比数列吗？〔4〕数列是等比数列，那么，，仍是等比数列。练习与应用：1。数列是等比数列，那么在①；②；③；④；⑤；⑥这6个数列中仍成等比数列的是。2。数列是等比数列，，求公比q。3。等差数列a,b,c三项的和为12，且a,b,c+2成等比数列，求a的值。4。数列是等比数列，，求5。数列是等比数列，，，，那么这个数列的项数为〔〕A3B4C5D66。等比数列{an}中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a7。等比数列{an},〔〕A：-4B：±4C：-2D：±28。等比数列{an}，，公比q为整数，那么。9.等比数列{an}中，那么〔〕A：90B：120C：15D：8010。等比数列{an}中，那么〔〕A：B：C：D：11。{an}是各项为正数的等比数列，，那么=〔〕A：12B：10C：8D：12．数列{an}是各项都为正数的等比数列，设，求证数列{bn}是等差数列。13。等比数列的，且，求的通项公式.14。各项均为正数的等比数列中，假设，那么；15．为等比数列，〔1〕，求〔2〕前项的和为前项之和，求二。等比数列的前n项和。1．等比数列{an}中，，，，求q和n。2．等比数列{an}中，，求和q。3．等比数列{an}中，，，那么=。4．等比数列{an}中，求q。5．求数列的前n项和。6．求的前n项和7．求，求前2k项的和。8．求的前n项和。9．等比数列{an},前n项和为48,前2n项和为60,前3n项的和为() A:183B:108C:75D:6310．{an}成等差数列，成等比数列，那么该等比数列的公比为〔〕A：B：2C：D：11．{an}成等差数列，{bn}成等比数列，，假设，，那么〔〕A：B：C：D：或12．成等差数列，成等比数列，那么的取值范围是〔〕A：B：〔0，4〕C：D：13．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，那么此等比数列的项数为〔〕A．12B．10C．8D．6第四节数列的综合应用一、数列求和〔一〕．公式法求1，4，7，10，…，〔3n-2〕,…的前n项和。求数列，求前2k项的和.求〔二〕．分项求和1．求和〔1+2〕+〔3+4〕+…+〔2n-1+2n〕2．(x-2)+(x2-2)+…+〔xn-2〕3.4.求和5.6.〔三〕．裂项求和1.求和2.3..数列{an}成等比数列,各项都为正数，且q≠1,求证4.5.6．7.8.9．求〔四〕．错位相减、其它1．2.3.4．求和5．1+2×3+3×7+…+n(2n-1)6.数列{an+1}是等比数列，，，求放缩及其他1．2．数列，……的前10项和为〔〕。〔A〕〔B〕11〔C〕11〔D〕113.求和4.求5.求值设，求:6.求证：7.8．二、用数列的前n项和求数列的通项公式〔前文已有〕三、用递推公式求通项1．数列{an}，满足，a1=2,an+1=an+2,求{an}的通项公式。2。数列{an}，满足，a1=2,an+1=an+2n,求{an}的通项公式。3。数列{an}，满足，a1=2,an+1=an+2n,求{an}的通项公式。数列{an}，满足，a1=2,an+1=an+，求{an}的通项公式。点击：但凡具有an+1=an+形式都可运用此法，其中表示可求和的数列。5．数列{an}，满足，a1=2,an=3an-1,〔n≥2〕求{an}的通项公式。6．数列{an}，满足，a1=1,求{an}的通项公式。7．数列{an}满足，，求{an}的通项公式。规律：。8．数列{an}，满足，a1=2,an+1=2an+1,求{an}的通项公式。9．数列{an}，满足，a1=1,an+1=3an+1,求{an}的通项公式。点击：型通项公式可用此法。10*．，求{an}的通项公式。11*.数列{an}，求{an}的通项公式。12*.数列{an}，求{an}的通项公式。13*.，求{an}的通项公式。点击：型通项公式可用此法。递推公式的变形1．数列{an}，满足，a1=,，求{an}的通项公式。2．数列{an}，满足，a1=1,求{an}的通项公式。3．项为1的正项数列，，求数列的通项公式。四．与的相互转化1．数列{an}满足，，〔1〕问数列是否为等差数列。〔2〕求Sn和an.2．数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。3．数列{an}，满足，求通项an.4．数列{an}满足，，当时，,求Sn和an.5．正数数列{an}，，求数列{an}的通项公式。6．〔05，山东〕数列{an}，，前n项和为，且，〔1〕求数列{an}的通项公式。〔2〕求几个必须熟练掌握的综合题目1.数列是等差数列，前项和为且；求数列的通项公式.〔2〕设数列满足，，求数列的前和.2.〔05济南2模〕数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且an.求Sn和an.3.数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。4.数列数列{an}，满足，当时，，求数列{an}的通项公式。5.设函数，数列{}中，，时，前n项和满足求数列{}的通项公式；〔2〕设，求{bn}的前n项和。6.点列在直线上，且轴的交点，数列是公差为1的等差数列.〔1〕求数列,的通项公式；〔2〕假设求7.在等比数列中，，公比q>0，设，且〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设，求数列的前n项和。8.数列{an}是等差数列，Sn是前n项和，且，〔1〕求数列{an}的通项公式。〔2〕令，求数列{bn}的前n项和。9.〔07天津文〕在数列中，，，．〔Ⅰ〕证明数列是等比数列；〔Ⅱ〕求数列的前项和；〔Ⅲ〕证明不等式，对任意皆成立．10．数列的