工程力学-2-2平面汇交力系课件

§2–2平面汇交力系

静力学§2–2平面汇交力系静力学1研究内容：平面汇交力系的简化（合成）平面汇交力系的平衡条件研究方法：几何法解析法

平面汇交力系:

各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。研究内容：平面汇交力系:2一、平面汇交力系1、力的合成的几何法a.两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理： 由力的平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则合成。BC一、平面汇交力系1、力的合成的几何法a.两个共点力的合成合力3b.任意个共点力的合成(力多边形法）先作力多边形abcde再将R平移至A点

即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。即：结论：推广至n个力b.任意个共点力的合成(力多边形法）先作力多边形abc4c、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：或矢量和力多边形自行封闭力系中各力的等于零。c、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合5A60ºPB30ºaaC(a)NB(b)BNADAC60º30ºPEPNBNA60º30ºHK(c)解：(1)取梁AB作为研究对象。(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出P、NA和NB的闭合力三角形。例题水平梁AB中点C作用着力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的反力。梁的自重不计。

A60ºPB30ºaaC(a)NB(b)BNADAC60º36OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)解：(1)取制动蹬ABD作为研究对象。(2)画出受力图。P246ACBOED(a)(3)应用平衡条件画出P、SB和ND的闭和力三角形。例题图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)解：(7（5）代入数据求得：

SB=750N。（4）由几何关系得：由力三角形可得：OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)P246ACBOED(a)（5）代入数据求得：（4）由几何关系得：由力三角形可得8[例]已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。又由几何关系：①选碾子为研究对象②取分离体画受力图解：静力学[例]已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉9由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。2.力的分解将一个已知力分解为两个分力的过程。F=11.5kN,NB=23.1kN所以静力学由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN103.力的投影定义：过F两端向坐标轴引垂足A、C和A、D，线段AC、AD分别为F在X轴和Y轴上投影的大小。大小计算：Fx=FcosαFy=Fcosβ＝Fsinα正负规定：从A到C（或从A到D）的指向与坐标轴的正向相同为正，相反为负投影和分力关系：如将F沿坐标轴方向分解，所得分力、的值与F在同轴上的投影Fx、Fy相等；力的分力是矢量，力的投影是代数量3.力的投影定义：过F两端向坐标轴引垂足A、C和A、D，线段114.合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：静力学4.合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别12合力的投影与各分力投影的关系：表达式：合力的投影与各分力投影的关系：表达式：13二、平面汇交力系的平衡

得平面汇交力系的平衡方程

两个独立的平衡方程只能求解两个未知数

。二、平面汇交力系的平衡得平面汇交力系的平衡方程两个独立14解题步骤：

①确定研究对象，作研究对象的受力图；

②选定坐标系；

③列平衡方程并求解。

指向假设的未知力，若按平衡方程求得正值，说明其实际方向与假设的相同；若为负值，则说明其实际方向与假设的相反，但不需要改变受力图中的指向。

解题步骤：15[例]

已知

P=2kN，求SCD,RA。解：（1）研究AB杆（2）画出受力图（3）列平衡方程[例]已知P=2kN，求SCD,RA。解：（1）16（4）解平衡方程由BC=BE=0.4m（4）解平衡方程由BC=BE=0.4m17[例]已知P、Q，求平衡时的地面的反力解：研究球A，受力如图示。①②由①得由②得[例]已知P、Q，求平衡时的地面的反力解：研究球A，受力如18BABA[例]（参考p38）图示连杆机构，已知Q、R，求图示位置平衡时，Q与R的关系。静力分析解：1、研究对象：

A铰结构60°30°90°45°B铰设杆受拉力，则力背离铰链，受压力，则力指向铰链，BABA[例]（参考p38）图示连杆机构，已知Q、R，求图19静力分析

A铰A90°45°B60°30°B铰

A铰2、平衡方程xyxy∑X=0Q－SBAcos450=0SAB－R

cos300=0B铰∑Y=0∵SBA=SAB讨论：取AB为研究对象xy静力分析A铰A90°45°B60°30°B铰A铰220静力分析∑X=0Qcos450+

SCAcos450－Rcos300=0讨论：取AB为研究对象xy45°90°30°60°∑Y=0-Qsin450+

SCAsin450－Rsin300－SDB

=0静力分析∑X=0Qcos450+SCAcos450－R21例题如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。

在B点作用一水平力P,设P=20kN。

求支座A和D的约束反力。PADBC2m4mPADBCRDRA解:1、取平面钢架ABCD为研究对象,画出受力图。例题如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。22PADBCRDRA2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系：tg=0.5cos=0.89sin=0.447X

=0

P+RAcos=0RA=-22.36kNY=0RAsin+RD=0RD=10kNxy4m2m负号说明它的实际方向和假设的方向相反。3、列平衡方程并求解：PADBCRDRA2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标23ABClllPl/2例题.求图示支座A和B的约束反力.ABClllPl/2例题.求图示支座A和B的约束反力.24解:画整体的受力图ABCPRARBO取O点为研究对象Sin=0.32X=00.71RA-0.32RB=0Y=00.71RA+0.95RB–P=0联立两式得:RA=0.35PRB=0.79P解:画整体的受力图ABCPRARBO取O点为研究对象Sin25TBD300FAB150150TBCTBD=GEB例题井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：G300600150ABCDETBD300FAB150150TBCTBD=GEB例题26x300150150TBDTBCGTBD=GY

=0X

=0FAB=45kN-TBCcos300-TBDcos450+FABcos600=0EBTBC=9.65kNFABy-TBCcos600-TBDcos450+FABcos300-G=02、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系：3、列平衡方程并求解：300300600150ABCDEx300150150TBDTBCGTBD=GY=027300150150TBDTBCGTBD=GxX

=0-TBDsin150+FABsin300-Gsin600=0Y

=0FAB=45kN-TBC-TBDcos150+FABcos300-Gcos600=0yEBTBC=9.65kNFAB解二：300600150ABCDE300150150TBDTBCGTBD=GxX=0-28静力学解：①研究AB杆②画出受力图③列平衡方程④解平衡方程[例]已知P=2kN求SCD,RA由EB=BC=0.4m，解得：；静力学解：①研究AB杆[例]已知P=2kN求S29静力学[例]已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力N=？解：研究球受力如图，选投影轴列方程为由②得由①得①②静力学[例]已知如图P、Q，求平衡时=？30例题

用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自重，求：（1）设两轮重量相等，求平衡时的α角；（2）已知A轮重GA，平衡时，欲使α=00的B轮的重量。AB300600例题用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在AB331BAGAGBFABF/ABNA300NB600xy600300x/y/300300X=0GAcos600-FABcos(α+300)=0(1)X/=0-GBcos300+F/ABsin(α+300)=0(2)解：先取A轮为研究对象，受力分析：取B轮为研究对象，受力分析：AB300600BAGAGBFABF/ABNA300NB6032GAcos600-FABcos(α+300)=0(1)-GBcos300+F/ABsin(α+300)=0(2)

FAB=F/AB(3)由以上三式可得：（1）当GB=GA时，α=300（2）当α=00时，GB=GA/3GAcos600-FABcos(α+300)=033[例]（p26）图示吊车架，已知P，求各杆受力大小。静力分析解：1、研究对象：整体或铰链AA60°2、几何法：60°SAC=P/sin600SAB=P×ctg600[例]（p26）图示吊车架，已知P，求各杆受力大小。静力分34静力分析3、解析法：A60°Rx=∑X=0SACcos600－SAB=0Ry=∑Y=0SACsin600－P

=0解得：SAC=P/sin600SAB=SACcos600=P×ctg600xy静力分析3、解析法：A60°Rx=∑X=0SACcos6035ABO（B）ABO（A）例：结构如图所示，已知主动力F，确定铰链O、B约束力的方向（不计构件自重）1、研究OA杆2、研究AB杆ABO（B）ABO（A）例：结构如图所示，已知主动力F，确定36静力学

1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。

解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。静力学1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度解37静力学5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。静力学5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出4、对38工程力学——2-2平面汇交力系课件39

§2–2平面汇交力系

静力学§2–2平面汇交力系静力学40研究内容：平面汇交力系的简化（合成）平面汇交力系的平衡条件研究方法：几何法解析法

平面汇交力系:

各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。研究内容：平面汇交力系:41一、平面汇交力系1、力的合成的几何法a.两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理： 由力的平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则合成。BC一、平面汇交力系1、力的合成的几何法a.两个共点力的合成合力42b.任意个共点力的合成(力多边形法）先作力多边形abcde再将R平移至A点

即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。即：结论：推广至n个力b.任意个共点力的合成(力多边形法）先作力多边形abc43c、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：或矢量和力多边形自行封闭力系中各力的等于零。c、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合44A60ºPB30ºaaC(a)NB(b)BNADAC60º30ºPEPNBNA60º30ºHK(c)解：(1)取梁AB作为研究对象。(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出P、NA和NB的闭合力三角形。例题水平梁AB中点C作用着力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的反力。梁的自重不计。

A60ºPB30ºaaC(a)NB(b)BNADAC60º345OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)解：(1)取制动蹬ABD作为研究对象。(2)画出受力图。P246ACBOED(a)(3)应用平衡条件画出P、SB和ND的闭和力三角形。例题图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)解：(46（5）代入数据求得：

SB=750N。（4）由几何关系得：由力三角形可得：OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)P246ACBOED(a)（5）代入数据求得：（4）由几何关系得：由力三角形可得47[例]已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。又由几何关系：①选碾子为研究对象②取分离体画受力图解：静力学[例]已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉48由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。2.力的分解将一个已知力分解为两个分力的过程。F=11.5kN,NB=23.1kN所以静力学由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN493.力的投影定义：过F两端向坐标轴引垂足A、C和A、D，线段AC、AD分别为F在X轴和Y轴上投影的大小。大小计算：Fx=FcosαFy=Fcosβ＝Fsinα正负规定：从A到C（或从A到D）的指向与坐标轴的正向相同为正，相反为负投影和分力关系：如将F沿坐标轴方向分解，所得分力、的值与F在同轴上的投影Fx、Fy相等；力的分力是矢量，力的投影是代数量3.力的投影定义：过F两端向坐标轴引垂足A、C和A、D，线段504.合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：静力学4.合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别51合力的投影与各分力投影的关系：表达式：合力的投影与各分力投影的关系：表达式：52二、平面汇交力系的平衡

得平面汇交力系的平衡方程

两个独立的平衡方程只能求解两个未知数

。二、平面汇交力系的平衡得平面汇交力系的平衡方程两个独立53解题步骤：

①确定研究对象，作研究对象的受力图；

②选定坐标系；

③列平衡方程并求解。

指向假设的未知力，若按平衡方程求得正值，说明其实际方向与假设的相同；若为负值，则说明其实际方向与假设的相反，但不需要改变受力图中的指向。

解题步骤：54[例]

已知

P=2kN，求SCD,RA。解：（1）研究AB杆（2）画出受力图（3）列平衡方程[例]已知P=2kN，求SCD,RA。解：（1）55（4）解平衡方程由BC=BE=0.4m（4）解平衡方程由BC=BE=0.4m56[例]已知P、Q，求平衡时的地面的反力解：研究球A，受力如图示。①②由①得由②得[例]已知P、Q，求平衡时的地面的反力解：研究球A，受力如57BABA[例]（参考p38）图示连杆机构，已知Q、R，求图示位置平衡时，Q与R的关系。静力分析解：1、研究对象：

A铰结构60°30°90°45°B铰设杆受拉力，则力背离铰链，受压力，则力指向铰链，BABA[例]（参考p38）图示连杆机构，已知Q、R，求图58静力分析

A铰A90°45°B60°30°B铰

A铰2、平衡方程xyxy∑X=0Q－SBAcos450=0SAB－R

cos300=0B铰∑Y=0∵SBA=SAB讨论：取AB为研究对象xy静力分析A铰A90°45°B60°30°B铰A铰259静力分析∑X=0Qcos450+

SCAcos450－Rcos300=0讨论：取AB为研究对象xy45°90°30°60°∑Y=0-Qsin450+

SCAsin450－Rsin300－SDB

=0静力分析∑X=0Qcos450+SCAcos450－R60例题如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。

在B点作用一水平力P,设P=20kN。

求支座A和D的约束反力。PADBC2m4mPADBCRDRA解:1、取平面钢架ABCD为研究对象,画出受力图。例题如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。61PADBCRDRA2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系：tg=0.5cos=0.89sin=0.447X

=0

P+RAcos=0RA=-22.36kNY=0RAsin+RD=0RD=10kNxy4m2m负号说明它的实际方向和假设的方向相反。3、列平衡方程并求解：PADBCRDRA2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标62ABClllPl/2例题.求图示支座A和B的约束反力.ABClllPl/2例题.求图示支座A和B的约束反力.63解:画整体的受力图ABCPRARBO取O点为研究对象Sin=0.32X=00.71RA-0.32RB=0Y=00.71RA+0.95RB–P=0联立两式得:RA=0.35PRB=0.79P解:画整体的受力图ABCPRARBO取O点为研究对象Sin64TBD300FAB150150TBCTBD=GEB例题井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：G300600150ABCDETBD300FAB150150TBCTBD=GEB例题65x300150150TBDTBCGTBD=GY

=0X

=0FAB=45kN-TBCcos300-TBDcos450+FABcos600=0EBTBC=9.65kNFABy-TBCcos600-TBDcos450+FABcos300-G=02、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系：3、列平衡方程并求解：300300600150ABCDEx300150150TBDTBCGTBD=GY=066300150150TBDTBCGTBD=GxX

=0-TBDsin150+FABsin300-Gsin600=0Y

=0FAB=45kN-TBC-TBDcos150+FABcos300-Gcos600=0yEBTBC=9.65kNFAB解二：300600150ABCDE300150150TBDTBCGTBD=GxX=0-67静力学解：①研究AB杆②画出受力图③列平衡方程④解平衡方程[例]已知P=2kN求SCD,RA由EB=BC=0.4m，解得：；静力学解：①研究AB杆[例]已知P=2kN求S68静力学[例]已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力N=？解：研究球受力如图，选投影轴列方程为由②得由①得①②静力学[例]已知如图P、Q，求平衡时=？69例题

用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自重，求：（1）设两轮重量相等，求平衡时的α角；（2）已知A轮重GA，平衡时，欲使α=00的B轮的重量。AB300600例题用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在AB370BAGAGBFABF/ABNA300NB60