信号与系统(精编版)第8章-系统的状态变量分析课件

信号与系统(精编版)第8章系统的状态变量分析信号与系统(精编版)第8章系统的状态变量分析8.1系统的状态、状态变量与状态方程

8.1.1系统的状态、状态变量概念

1.系统的状态

这里我们先给系统的状态下一个定义：系统在t0时刻的状态是指一组最少数目的数据，知道这组数据并连同t≥t0时的输入f(t)，足以确定t≥t0任意时刻的输出y(t)，这组最少数目的数据，就称为系统在t0时刻的状态。8.1系统的状态、状态变量与状态方程

8.1.1例如，一个n阶连续系统t0时刻的n个数据和t≥t0时系统的p个输入分别为

(8.1-1)例如，一个n阶连续系统t0时刻的n个数据和t≥t0时系统图8.1-1由L、C上电压、电流关系看“状态”图8.1-1由L、C上电压、电流关系看“状态”

2.系统的状态变量

为了简化书写，系统t0时刻的状态常写为{x(t0)}，t1时刻的状态写为{x(t1)}。即是说，系统的状态是与观察时刻密切相关的，若观察时刻为t(为变量)，则系统的状态也随t变化，

t时刻的状态书写为{x(t)}，即{x1(t)，x2(t)，…，xn(t)}，称x1(t)～xn(t)这n个变量为n阶系统的状态变量。2.系统的状态变量

为了简化书写，系统t0时刻的状8.1.2由电路引出系统的状态方程与输出方程

先从一个具体电路(系统)的例子看方程的列写。图8.1-2(a)为二阶电路(系统)，图中is(t)为激励源(输入)，u(t)、iC(t)为两个响应(输出)。从系统的观点看，该电路属于单输入两个输出的系统，如图8.1-2(b)所示。8.1.2由电路引出系统的状态方程与输出方程

先图8.1-2二阶电路(系统)图8.1-2二阶电路(系统)若用先前的外部描述法，可列写u(t)~is(t)与iC(t)~is(t)二

阶微分方程。若选uC(t)、iL(t)为该二阶系统的两个状态变量，由节点a列写KCL方程:

(8.1-2)

由回路B列写KVL方程:

(8.1-3)若用先前的外部描述法，可列写u(t)~is(t)与iC(整理式(8.1-2)、式(8.1-3)，分别得

(8.1-4)

(8.1-5)整理式(8.1-2)、式(8.1-3)，分别得

利用内部法亦可找到系统的输出与状态变量及系统输入之间的关系，即系统输出用系统的状态变量与系统的输入表示的代数方程，称这种代数方程组为内部法描述系统的输出方程。还是以此电路为例，列写出该二阶系统的输出方程:

(8.1-6)

(8.1-7)利用内部法亦可找到系统的输出与状态变量及系统输入之间的关将式(8.1-4)与式(8.1-5)、式(8.1-6)与式(8.1-7)两方程组分别书写为矩阵形式，即

(8.1-8)

(8.1-9)将式(8.1-4)与式(8.1-5)、式(8.1-6)8.1.3动态方程的一般形式

1.连续系统的动态方程

如图8.1-3所示为n阶连续系统的示意框图，它有p个输入，q个输出，n个状态变量。一般而言，连续系统的状态方程，是由每个状态变量的一阶微分置方程的左端，而方程的右端由系统n个状态变量经相应系数加权与输入也经相应系数加权的代数和组成的状态变量的一阶微分方程组，8.1.3动态方程的一般形式

1.连续系统的动图8.1-3n阶连续系统示意框图图8.1-3n阶连续系统示意框图即

(8.1-10)即

(8.1-10)连续系统的输出方程，是由系统的每个输出置方程左端，而方程的右端由系统每个状态变量经相应系数加权与输入也经相应系数加权的代数和组成的代数方程组，即

(8.1-11)连续系统的输出方程，是由系统的每个输出置方程左端，而方程有时为了方程式简洁明了，用

其他量也都如此表示，这样，式(8.1-10)、式(8.1-11)可分别简洁表示为

(8.1-12)有时为了方程式简洁明了，用

其他量也都如此表示，这样，

(8.1-13)

(8.1-13)引入状态矢量、输入矢量、输出矢量及相关系数矩阵，可将状态方程与输出方程分别写为更简洁的矢量矩阵形式，即

(8.1-14)

(8.1-15)引入状态矢量、输入矢量、输出矢量及相关系数矩阵，可将状态式中式中分别为状态矢量、状态矢量的一阶导数矢量、输入矢量和输出矢量。其中上标T表示转置运算。分别为状态矢量、状态矢量的一阶导数矢量、输入矢量和输出矢

2.离散系统的动态方程

图8.1-4是n阶离散系统的示意框图，它同样有p个输入，q个输出。对于离散系统，有关状态、状态变量的概念与连续系统类似，因为离散信号定义的特殊性，致使状态变量、输入、输出都是序列，状态方程表现为状态变量的一阶前向差分方程组；输出方程更是与连续系统的输出方程形式上类似，只是把连续变量t换为整数变量k，同样都是代数方程。2.离散系统的动态方程

图8.1-4是n阶离散系统对于n阶多输入多输出LTI离散系统，其状态方程和输出方程可分别写为

(8.1-16)

(8.1-17)对于n阶多输入多输出LTI离散系统，其状态方程和输出方程式中式中图8.1-4n阶离散系统示意框图图8.1-4n阶离散系统示意框图8.1.4关于状态变量分析中几点应明确的概念

(1)系统的状态变量个数与系统的阶数相匹配。

(2)对于同一个系统来说，状态变量的选择不唯一，对

应列写出的状态方程也不唯一。如前面讲到的图8.1-2(a)电路，选择了uC、iL作为状态变量列写了状态方程式(8.1-8)，

我们亦可选择iC、uL作为该电路的状态变量列写出另外形式旳状态方程。事实上，对于二阶系统，如果它的状态变量用x1，x2来表示，则这组变量的各种线性组合

(8.1-18a)

(8.1-18b)8.1.4关于状态变量分析中几点应明确的概念

((3)状态空间与状态轨迹概念。

为了使读者能够形象直观地接受状态轨迹概念，我们

对图8.1-2(a)电路简化配置参数：令RL=RC=0，L=0.5H，C=0.5F，uC(0)=0，iL(0)=0，is=1A，解得状态变量

(8.1-19)(3)状态空间与状态轨迹概念。

为了使读者能够形图8.1-5二维状态空间状态轨迹图图8.1-5二维状态空间状态轨迹图8.2动态方程的建立

在系统的状态变量法分析中，动态方程的建立是必需的一个重要环节。有了方程，方可施行时域法求解或变换域法求解。8.2动态方程的建立

在系统的状态变8.2.1连续系统动态方程的建立

1.电路动态方程的建立

电路动态方程的列写首先遇到的问题是如何选择状态变量。这里明确，一般建议选独立电容上的电压变量、独立电感上的电流变量作为状态变量。8.2.1连续系统动态方程的建立

1.电路动态那么电路中的独立电容、独立电感又该如何确定呢？“独立”之意即是彼此不能线性相关。如图8.2-1(a)、(b)两电路中的电容不全是相互独立的电容。对于图(a)电路中的A回路，显然有

(8.2-1)那么电路中的独立电容、独立电感又该如何确定呢？“独立”之图8.2-1只有电压源和电容或仅有电容构成的回路图8.2-1只有电压源和电容或仅有电容构成的回路再观察图(b)电路中的B回路，Us是已知的电压源，当然有

(8.2-2)

类似图(a)情况的分析，图(b)中两个电容只有一个是独立电容。

图8.2-2(a)、(b)两电路中的电感不全是相互独立的电感。对于图(a)电路中的a节点，显然有

(8.2-3)

通过雷同对式(8.2-1)一样的分析过程，可知这三个电感任取两个电感为相互独立的电感。再观察图(b)电路中的B回路，Us是已知的电压源，当然有图8.2-2只有电流源和电感或仅有电感构成的节点图8.2-2只有电流源和电感或仅有电感构成的节点对于图(b)电路中的b节点，有

(8.2-4)

也通过类似对式(8.2-2)一样的分析过程，可知这两个电感只有一个为独立电感。对于图(b)电路中的b节点，有

(8

例8.2-1图8.2-3所示电路中，电流iC(t)和电压u(t)为输出。试选取状态变量，列写该电路的状态方程和输出方程。例8.2-1图8.2-3所示电路中，电流iC(t)和图8.2-3例8.2-1用图图8.2-3例8.2-1用图

解本题并未指定状态变量，按理说做题者有选择状态变量的自由，但一般都是选择独立电容电压、独立电感电流作为状态变量。本题电路中不存在图8.2-1中所示的回路，也不存在图8.2-2中所示的节点，所以该电路中的电容与两个电感都是独立的。选电容电压uC和电感电流iL2、iL3为状态变量，

并令

(8.2-5)解本题并未指定状态变量，按理说做题者有选择状态变量的对于接有电容C的节点b，可列出电流方程

(8.2-6)

选包含L2的回路abea和包含L3的回路abcdea，列出两个独立电压方程

(8.2-7)对于接有电容C的节点b，可列出电流方程

整理式(8.2-6)、式(8.2-7)，得

(8.2-8)整理式(8.2-6)、式(8.2-7)，得

将式(8.2-8)写为状态方程的标准形式为

(8.2-9)将式(8.2-8)写为状态方程的标准形式为

再令电路的输出iC=y1，u=y2，观察电路可直接写得输出方程为

将上式写为输出方程的标准形式即矩阵形式

(8.2-10)再令电路的输出iC=y1，u=y2，观察电路可直接

例8.2-2图8.2-4所示电路中各元件参数值已标示在图上，电压u3、电流i2为输出。试列写出该电路的状态方程与输出方程。例8.2-2图8.2-4所示电路中各元件参数值已标示图8.2-4例8.2-2用图图8.2-4例8.2-2用图

解选电感上电流、电容上电压分别作为状态变量x1、x2，如图中所标。对包含电感的回路A列写KVL方程:

(8.2-11)

对连接电容的节点b列写KCL方程:

(8.2-12)解选电感上电流、电容上电压分别作为状态变量x1、x2对节点a列写KCL方程:

(8.2-13)

对回路B列写KVL方程:

(8.2-14)对节点a列写KCL方程:

(8.2将式(8.2-13)代入式(8.2-14)并整理得

(8.2-15)

将u3=x2代入式(8.2-12)、将式(8.2-15)代入式(8.2-11)并整理，得

(8.2-16)将式(8.2-13)代入式(8.2-14)并整理得

写为矩阵形式，有

(8.2-17)

由y1=u3=x2，y2=i2=－(1/2)x1+(1/4)us，写得输出方程的矩阵形式

(8.2-18)写为矩阵形式，有

(8.2-17)

2.由输入输出微分方程列写动态方程

设n阶LTI连续系统输入输出方程为

(8.2-19)2.由输入输出微分方程列写动态方程

设n阶LTI连若m=n，即方程两端输出与输入的最高导数项次数相等，构造函数y1(t)，使其满足方程

(8.2-20)

选取状态变量

(8.2-21)若m=n，即方程两端输出与输入的最高导数项次数相等，则写得状态方程

(8.2-22)则写得状态方程

(8.2-2由线性系统的叠加性及可微分性，得

(8.2-23)

由式(8.2-20)知

(8.2-24)由线性系统的叠加性及可微分性，得

(将式(8.2-24)代入式(8.2-23)并整理，得

再将式(8.2-21)代入上式，得系统的输出方程为

(8.2-25)将式(8.2-24)代入式(8.2-23)并整理，得

再将式(8.2-22)、式(8.2-25)分别写为矩阵形式

(8.2-26)将式(8.2-22)、式(8.2-25)分别写为矩阵形式

(8.2-27)

(8.2-27)若m＜n，则状态方程不变化，而输出方程有更简洁形式。令式(8.2-27)中bn=0，得

(8.2-28)若m＜n，则状态方程不变化，而输出方程有更简洁形式。令式

例8.2-3已知LTI连续系统的输入输出方程为

试列写该系统的状态方程与输出方程。例8.2-3已知LTI连续系统的输入输出方程为

解观察方程，显然属于m＜n的情况，所以由式(8.2-26)、式(8.2-28)写得该系统的状态方程、输出方程分别为解观察方程，显然属于m＜n的情况，所以由式(8.2-

例8.2-4连续LTI系统的输入输出方程为

试列写该系统的状态方程与输出方程。例8.2-4连续LTI系统的输入输出方程为

试

解观察方程，显然也属于m＜n的情况，所以由式

(8.2-26)、式(8.2-28)写得该系统的状态方程、输出方程分别为解观察方程，显然也属于m＜n的情况，所以由式

(8.

例8.2-5描述LTI连续系统的输入输出微分方程为

试列写该系统的状态方程与输出方程。例8.2-5描述LTI连续系统的输入输出微分方程为

解观察方程知，属m=n的情况且an不等于1。先对方程两端同除以2，得

由上式认定：a2=2.5，a1=1.5，a0=1；b3=1，b2=3.5，b1=1，b0=0。(熟练之后，这一步可不写出来)，套式(8.2-26)写得状态方程为解观察方程知，属m=n的情况且an不等于1。先对套式(8.2-27)写得输出方程为套式(8.2-27)写得输出方程为

3.由框图描述的系统列写动态方程

由模拟框图列写动态方程有一种直观简单的方法，其步骤是：

(1)选积分器输出端为状态变量，则积分器输入端即是状态变量的一阶微分，正是状态方程所需要的形式。

(2)围绕加法器输出端，考虑图中各运算部件的运算功能，直接列写状态方程与输出方程。3.由框图描述的系统列写动态方程

由模拟框图列写动

例8.2-6LTI连续系统直接形式的框图如图8.2-5所示，试列写该系统的状态方程与输出方程。例8.2-6LTI连续系统直接形式的框图如图8.2-图8.2-5LTI连续系统直接型模拟框图图8.2-5LTI连续系统直接型模拟框图

解选积分器的输出端为状态变量，分别为x1、x2、x3，如图8.2-5中所标。观察框图，则由积分器、加法器运算规则，直接写得状态方程为解选积分器的输出端为状态变量，分别为x1、x2、x3输出方程为

y=5x1+4x3

将状态方程和输出方程写为矩阵形式，有输出方程为

y=5x1+4x3

将状态方

例8.2-7LTI连续系统并联形式的框图如图8.2-6所示，试列写该系统的状态方程与输出方程。例8.2-7LTI连续系统并联形式的框图如图8.2-图8.2-6LTI连续系统并联型模拟框图图8.2-6LTI连续系统并联型模拟框图

解选积分器的输出端为状态变量，分别为x1、x2、x3，如图8.2-6中所标。则由积分器、加法器运算规则，直接写得状态方程为

输出方程为

y=4x1－5x2+6x3解选积分器的输出端为状态变量，分别为x1、x2、x3将状态方程和输出方程写为矩阵形式，有将状态方程和输出方程写为矩阵形式，有

例8.2-8LTI连续系统级联形式的框图如图8.2-7所示，试列写该系统的状态方程与输出方程。例8.2-8LTI连续系统级联形式的框图如图8.2-图8.2-7LTI连续系统级联型模拟框图图8.2-7LTI连续系统级联型模拟框图

解选积分器的输出端为状态变量，分别为x1、x2、x3，如图8.2-7中所标。则由积分器、加法器运算规则，直接写得状态方程为

输出方程为

y=x3解选积分器的输出端为状态变量，分别为x1、x2、x3将状态方程和输出方程写为矩阵形式，有将状态方程和输出方程写为矩阵形式，有

4.由系统函数列写动态方程

例8.2-9描述某LTI连续系统的系统函数为

试列写该系统的动态方程。4.由系统函数列写动态方程

例8.2-9描述某

解由已知的系统函数写得系统的输入输出方程为

上式两端同除以4，得解由已知的系统函数写得系统的输入输出方程为

上式由上式认定：a2=1.25，a1=1.5，a0=1.75；b2=0.25，b1=0.5，b0=0.75。观察方程，左端输出最高导数项是3，右

端输入最高导数项是2，属于m＜n的情况。套式(8.2-26)、

式(8.2-28)写得该系统的状态方程、输出方程分别为由上式认定：a2=1.25，a1=1.5，a0=8.2.2离散系统动态方程的建立

1.由输入输出差分方程列写动态方程

例8.2-10已知LTI二阶离散系统的输入输出差分方程为

试列写该二阶系统的状态方程与输出方程。8.2.2离散系统动态方程的建立

1.由输入输出

解我们在第5章离散信号与系统时域分析中就知道：如上二阶后向差分方程，若知y(－1)、y(－2)及k≥0时的输入f(k)，就可完全确定k≥0时的输出y(k)。联系这章8.1节中讲的状态、状态变量概念，考虑y(－2)是序列y(k－2)在k=0时的值，y(－1)是y(k－1)在k=0时的值，y(－2)、y(－1)是系统k=0时的起始状态，所以选y(k－2)、y(k－1)作为该二阶系统的两个状态变量。为了通用性，这里亦用x表示状态变量，令

(8.2-29)解我们在第5章离散信号与系统时域分析中就知道：如上二将上式两端均左移1位并考虑所选的状态变量及原差分方程，有

(8.2-30)

式(8.2-30)所表示的一阶前向差分方程组即是该系统的状态方程。将上式两端均左移1位并考虑所选的状态变量及原差分方程，有显然可得系统的输出方程为

(8.2-31)

将状态方程、输出方程写为矩阵形式，分别为

(8.2-32)

(8.2-33)显然可得系统的输出方程为

(8.2-

例8.2-11已知LTI三阶离散系统的输入输出差分方程为

试列写该系统的状态方程与输出方程。例8.2-11已知LTI三阶离散系统的输入输出差分方

解构造函数y1(k)，使其满足方程

(8.2-34)

选状态变量

(8.2-35)解构造函数y1(k)，使其满足方程

将上式两端均左移1位并考虑所选的状态变量及式(8.2-34)表示的差分方程形式，有

(8.2-36)将上式两端均左移1位并考虑所选的状态变量及式(8.2-3将上式写为状态方程的矩阵形式，有

(8.2-37)将上式写为状态方程的矩阵形式，有

由线性系统的叠加性及可差分性，得

(8.2-38)

由式(8.2-34)知

(8.2-39)由线性系统的叠加性及可差分性，得

将式(8.2-39)代入式(8.2-38)，得

(8.2-40)

上式即为该系统的输出方程，写为矩阵形式，有

(8.2-41)将式(8.2-39)代入式(8.2-38)，得

例8.2-12已知n阶LTI离散系统的输入输出差分方程为

试列写该系统的状态方程和输出方程。例8.2-12已知n阶LTI离散系统的输入输出差分方

解构造函数y1(k)，使其满足方程

(8.2-42)解构造函数y1(k)，使其满足方程

选状态变量

(8.2-43)选状态变量

(8.2-43)将上式两端均左移1位并考虑所选的状态变量及式(8.2-42)表示的差分方程形式，有

(8.2-44)将上式两端均左移1位并考虑所选的状态变量及式(8.2-4将上式写为状态方程的矩阵形式，有

(8.2-45)

由线性系统的叠加性及可差分性，可以得到输出方程，但要区分两种情况。将上式写为状态方程的矩阵形式，有

(1)m=n情况。

(8.2-46)

由式(8.2-42)，得

(8.2-47)(1)m=n情况。

(8.将式(8.2-47)代入式(8.2-46)并整理，得输出方程为

(8.2-48)将式(8.2-47)代入式(8.2-46)并整理，得输出写为矩阵形式，有

(8.2-49)写为矩阵形式，有

(8.2-4(2)m＜n情况。这种情况可看作式(8.2-49)的特殊情况。令式(8.2-49)中bn=0，得输出方程更为简洁的形式

(8.2-50)(2)m＜n情况。这种情况可看作式(8.2-49)的特

2.由框图描述的系统列写动态方程

由模拟框图列写动态方程有一种直观简单的方法，其步骤是：

(1)选延时器的输出端为状态变量，则输入端为状态变量的左移1位序列，即离散系统所需要的状态方程形式。

(2)围绕加法器输出端，考虑图中各运算部件的运算功能，直接列写状态方程与输出方程。2.由框图描述的系统列写动态方程

由模拟框图列写动

例8.2-13LTI离散系统直接形式的框图如图8.2-8所示，试列写该系统的状态方程与输出方程。例8.2-13LTI离散系统直接形式的框图如图8.2图8.2-8LTI离散系统直接型模拟框图图8.2-8LTI离散系统直接型模拟框图

解选延时器输出端为状态变量，分别为x1、x2、x3，如图8.2-8中所标。观察框图，则由延时器、加法器运算规则，直接写得状态方程为

输出方程为解选延时器输出端为状态变量，分别为x1、x2、x3，将状态方程和输出方程写为矩阵形式，有将状态方程和输出方程写为矩阵形式，有

例8.2-14LTI离散系统并联形式的框图如图8.2-9所示，试列写该系统的状态方程与输出方程。例8.2-14LTI离散系统并联形式的框图如图8.2图8.2-9LTI离散系统并联型模拟框图图8.2-9LTI离散系统并联型模拟框图

解选延时器的输出端为状态变量，分别为x1、x2、x3，如图8.2-9中所标。则由延时器、加法器运算规则，直接写得状态方程为

输出方程为解选延时器的输出端为状态变量，分别为x1、x2、x3将状态方程和输出方程写为矩阵形式，有将状态方程和输出方程写为矩阵形式，有

例8.2-15LTI离散系统级联形式的框图如图8.2-10所示，试列写该系统的状态方程与输出方程。例8.2-15LTI离散系统级联形式的框图如图8.2图8.2-10LTI离散系统级联型模拟框图图8.2-10LTI离散系统级联型模拟框图

解选延时器的输出端为状态变量，分别为x1、x2、x3，如图8.2-10中所标。则由延时器、加法器运算规则，直接写得状态方程为

输出方程为

y=x3解选延时器的输出端为状态变量，分别为x1、x2、x3将状态方程和输出方程写为矩阵形式，有将状态方程和输出方程写为矩阵形式，有

3.由系统函数列写动态方程

例8.2-16描述某LTI离散系统的系统函数为

试列写该系统的动态方程。3.由系统函数列写动态方程

例8.2-16描述

解因前面讲到由后向差分方程列写动态方程，所以这里先将系统函数改写为z的负幂次表示的分式形式

再书写系统的后向差分方程为解因前面讲到由后向差分方程列写动态方程，所以这里先将由以上方程认定：a0=8，a1=7，a2=6，a3=1；b0=5，b1=4，b2=1，b3=0。套用式(8.2-45)与式(8.2-50)分别写得状态方程与输出方程为由以上方程认定：a0=8，a1=7，a2=6，a3=1；8.3连续系统动态方程的求解

为了讨论问题的一般性，设n阶系统有p个输入、q个输出，如图8.3-1所示。8.3连续系统动态方程的求解

为了讨论问图8.3-1有p个输入、q个输出的LTI系统图8.3-1有p个输入、q个输出的LTI系统本章8.1节中已得到连续系统状态方程与输出方程的一般形式，为了求解方便，重书写在这里。

(8.3-1)

(8.3-2)本章8.1节中已得到连续系统状态方程与输出方程的一般形式式中：A、B、C、D分别为n×n阶、n×p阶、q×n阶、q×p阶常量矩阵。在求解式(8.3-1)、式(8.3-2)的过程中将使用一个关键的矩阵指数函数eAt。在具体讨论状态方程求解之前，先对矩阵指数函数有所认识。定义

(8.3-3)式中：A、B、C、D分别为n×n阶、n×p阶、q×n阶、q×式中：I为单位阵；A为n×n方阵，eAt也是n×n方阵，因有时间变量t，所以称为矩阵指数函数。eAt有以下主要性质：

(8.3-4)

(8.3-5)

(8.3-6)

(8.3-7)式中：I为单位阵；A为n×n方阵，eAt也是n×n方阵，8.3.1时域解法

考虑e－At是矩阵指数函数，所以对式(8.3-1)两端同左乘e－At，得

即有8.3.1时域解法

考虑e－At是矩阵指数函数，所以对上式两端作t0～t之积分，有

改变上式左端积分元，得

(8.3-8)对上式两端作t0～t之积分，有

改变上式左端积分元，得由式(8.3-8)显然可得

对上式两端左乘eAt可解得状态矢量为

(8.3-9)由式(8.3-8)显然可得

对上式两端左乘eAt可解得eAt是计算xx(t)和xf(t)之前必须先计算的关键函数，从系统状态概念考虑，称它为状态转移函数，用符号j(t)表示，即有

j(t)=eAt(8.3-10)eAt是计算xx(t)和xf(t)之前必须先计算的关键仿照矩阵乘规则定义二矩阵卷积，但应注意矩阵卷积不满足交换律。仿照矩阵乘规则定义二矩阵卷积，但应注意矩阵卷积不满足交换若考虑t0=0并将eAt改为状态转移矩阵符号j(t)表示，则式(8.3-9)可改写为

(8.3-11)

将式(8.3-11)代入式(8.3-2)，得

(8.3-12)若考虑t0=0并将eAt改为状态转移矩阵符号j(t)表示式(8.3-12)中第(Ⅰ)部分只与系统起始状态x(0)有关，称为系统的零输入响应，记为yx(t)；第(Ⅱ)部分只与t≥0时的输入有关，称为系统的零状态响应，记为yf(t)。若把这两种响应分别单独书写，即有

(8.3-13)

(8.3-14)式(8.3-12)中第(Ⅰ)部分只与系统起始状态x(0)有关再定义单位冲激阵：

(8.3-15)再定义单位冲激阵：

(8.3-1同样有单位冲激阵与输入矢量(阵)相卷积，其结果仍为输入矢量，即

(8.3-16)

应用式(8.3-16)关系，改写式(8.3-14)，得

(8.3-17)同样有单位冲激阵与输入矢量(阵)相卷积，其结果仍为输入矢上式中

(8.3-18)上式中

(8.3-18)8.3.2状态方程的变换域解

考虑应用单边拉氏变换的时域微分性质，对式(8.3-1)取拉氏变换，有

由上式解得

(8.3-19)8.3.2状态方程的变换域解

考虑应用单边拉氏变对式(8.3-11)取拉氏变换，并注意应用时域卷积定理，得

(8.3-20)

比较式(8.3-19)与式(8.3-20)可知

(8.3-21)

Φ(s)是状态转移矩阵j(t)的拉氏变换象函数，称它为s域预解矩阵。

对式(8.3-2)输出方程取拉氏变换，有

(8.3-22)对式(8.3-11)取拉氏变换，并注意应用时域卷积定理，得

将式(8.3-20)代入式(8.3-22)，得

(8.3-23)将式(8.3-20)代入式(8.3-22)，得

若对式(8.3-17)作拉氏变换，显然有

(8.3-24)

比较式(8.3-24)与式(8.3-23)中的第(Ⅱ)部分，显然可得

(8.3-25)

对H(s)取拉氏逆变换即得系统的单位冲激响应矩阵h(t)。若对式(8.3-17)作拉氏变换，显然有

8.3.3求状态转移矩阵j(t)即eAt

状态转移矩阵j(t)在整个系统状态变量分析中起着非常重要的作用。在时域里有“化对角阵法”、“多项式法”等多种求状态转移矩阵的方法，这里只介绍简单而又常用的“多项式法”。这种方法的基本思路是依据凯莱-哈密顿定理将eAt定义式(8.3-3)中无穷项和转化为有限项之和。凯莱-哈密顿定理指出，对于n阶方阵A，当m≥n时，有

(8.3-26)8.3.3求状态转移矩阵j(t)即eAt

状态转即对于A高于或等于n的幂指数，可用An－1以下幂次的各项线性组合表示。于是，将eAt定义式(8.3-3)中高于或等于n次的各项幂指数全部用An－1以下幂次的各项线性组合表示，经整理后即可将eAt转化为如下有限项之和形式：

(8.3-27)即对于A高于或等于n的幂指数，可用An－1以下幂次的各项线性由凯莱-哈密顿定理还可得出，如果将方阵A的特征根

λi(i=0，1，2，…，n－1)(即A的特征多项式det(λI－A)=0的根)替代式(8.3-27)中的A，方程仍然成立，即有

(8.3-28)由凯莱-哈密顿定理还可得出，如果将方阵A的特征根

λi若A的特征根λi均为相异单根，则由上式可得n个联立方程组

(8.3-29)

解式(8.3-29)方程组，得αi(i=0，1，…，n－1)，代入式

(8.3-27)，即得状态转移矩阵eAt=j(t)。若A的特征根λi均为相异单根，则由上式可得n个联立方程若特征根中有二重根，如λ1=λ2为二重根，其余λi(i=3，4，…，n－1)仍为相异单根，则方程组演变为

(8.3-30)

解式(8.3-30)方程组，得αi代入式(8.3-27)，即得状态转移矩阵eAt=j(t)。若特征根中有二重根，如λ1=λ2为二重根，其余λi(i=

例8.3-1已知

解

依式(8.3-29)列本例方程组

例8.3-1已知

解

依式(8.3

解得代入式

(8.3-27)，得状态转移矩阵

解得代入式

(

例8.3-2已知

解

依式(8.3-30)列本例方程组

例8.3-2已知

解

依式(8.3解得

将α0、α1代入式(8.3-27)，得状态转移矩阵解得

将α0、α1代入式(8.3-27)，得状态转移矩

例8.3-3已知

解

例8.3-3已知

解对上式右端矩阵作拉氏逆变换，得对上式右端矩阵作拉氏逆变换，得

例8.3-4已知系统的状态方程与输出方程分别为

并知求系统的输出y(t)。例8.3-4已知系统的状态方程与输出方程分别为

(1)求系统特征根:

解得λ1=－1，λ2=－2。(1)求系统特征根:

解得λ1=－1，λ2=－(2)求状态转移矩阵eAt。

依式(7.3-29)列本例方程组

解得(2)求状态转移矩阵eAt。

依式(7.3-29)故得故得

(3)计算状态矢量。(3)计算状态矢量。(4)计算输出y(t)。

考虑本问题C=［10]，D=0，所以系统输出为(4)计算输出y(t)。

考虑本问题C=［10]

例8.3-5

已知系统的状态方程与输出方程分别为

且知求系统的输出y(t)。例8.3-5已知系统的状态方程与输出方程分别为

解用拉氏变换解。

(1)求Φ(s)，F(s)。解用拉氏变换解。

(1)求Φ(s)，F(s)。

(2)计算X(s)。(2)计算X(s)。

(3)计算Y(s)。(3)计算Y(s)。

(4)取拉氏逆变换，算得(4)取拉氏逆变换，算得8.4离散系统动态方程的求解

离散系统状态方程和输出方程矩阵形式分别为

(8.4-1) (8.4-2)

这里仍设n阶系统有p个输入、q个输出。上式中A、B、C、

D分别为n×n阶、n×p阶、q×n阶、q×p阶常量矩阵。8.4离散系统动态方程的求解

离8.4.1时域解法

1.迭代归纳解的一般形式

设x(k0)为k0时刻的状态，由式(8.4-1)得8.4.1时域解法

1.迭代归纳解的一般形式

观察规律，归纳得解的一般形式为观察规律，归纳得解的一般形式为令上式中m=k，则得

(8.4-3)

若k0=0，则式(8.4-3)又可改写为

(8.4-4)令上式中m=k，则得

(8.4-3)式(8.4-4)即是离散系统状态矢量的解，其中(Ⅰ)部分为状态矢量的零输入解；(Ⅱ)部分为状态矢量的零状态解。应注意，当k=0时，式中(Ⅱ)部分是不存在的，这是因为第(Ⅱ)部分的求和式的上、下限是i=0至k－1，所以k－1＞0即要求

k＞1时才有第(Ⅱ)部分。此时的结果只有第(Ⅰ)项，即x(0)本身。于是将上式对k的限制以乘阶跃序列的形式书写表意更确切，式(8.4-4)可改写为

(8.4-5)式(8.4-4)即是离散系统状态矢量的解，其中(Ⅰ)部分将式(8.4-5)代入式(8.4-2)即得系统的输出为

(8.4-6)将式(8.4-5)代入式(8.4-2)即得系统的输出为

2.定义状态转移矩阵j(k)=Ak

与连续系统类似，离散系统状态转移矩阵亦具有以下几点重要性质：2.定义状态转移矩阵j(k)=Ak

与连续系统类似将状态矢量x(k)与输出y(k)用状态转移矩阵j(k)表示，改写式(8.4-5)、式(8.4-6)得

(8.4-10)

(8.4-11)将状态矢量x(k)与输出y(k)用状态转移矩阵j(k)表

3.系统单位序列矩阵h(k)

如同连续系统一样，这里定义单位序列为

(8.4-12)

亦有3.系统单位序列矩阵h(k)

如同连续系统一样，这定义系统的单位序列矩阵为

(8.4-13)定义系统的单位序列矩阵为

8.4.2状态方程的变换域解

对式(8.4-1)取单边Z变换，得

解上式，得

(8.4-14)

对式(8.4-2)取单边Z变换，得8.4.2状态方程的变换域解

对式(8.4-1)将式(8.4-14)代入上式，得

(8.4-15)将式(8.4-14)代入上式，得

系统函数为

(8.4-16)

对上式作逆Z变换即得系统的单位序列矩阵h(k)。系统函数为

(8.4-16)

对

1.定义Φ(z)j(k)

应用j(k)改写yx(k)，得

yx(k)=Cj(k)x(0)(8.4-17)

而由式(8.4-15)知

Yx(z)=C

［zI－A］－1zx(0)(8.4-18)

观察对比式(8.4-17)与式(8.4-18)可以看出

j(k)Φ(z)=［zI－A］－1z(8.4-19)

Φ(z)称为预解矩阵，应注意它与连续系统中的预解矩阵Φ(s)的区别。1.定义Φ(z)j(k)

应用j(k)改写y

2.利用Φ(z)改写X(z)、Y(z)、H(z)表示形式

将式(8.4-19)分别代入式(8.4-14)、式(8.4-15)、式(8.4-16)并整理，得2.利用Φ(z)改写X(z)、Y(z)、H(z)表示形8.4.3j(k)=Ak的求法

1.化Ak为有限项和法

由凯莱-哈密顿定理可知，对于n阶方阵A，对于k≥n，Ak也可展开为有限项和

(8.4-23)

并且用A的特征根λi替代式(8.4-23)中的矩阵A，方程仍成立，即滿足

(8.4-24)8.4.3j(k)=Ak的求法

1.化Ak为有若A的特征根λi均为相异单根，则由上式可得n个联立方程组

(8.4-25)

解式(8.4-25)方程组，得αi(i=0，1，…，n－1)，代入式

(8.4-23)，即得状态转移矩阵j(k)。若A的特征根λi均为相异单根，则由上式可得n个联立方程组若特征根中有二重根，如λ1=λ2为二重根，其余λi(i=3，4，…，n－1)仍为相异单根，则方程组演变为

(8.4-26)

解式(8.4-26)方程组，得αi代入式(8.4-23)，即得状态转移矩阵j(k)。若特征根中有二重根，如λ1=λ2为二重根，其余λi(i=

2.Z变换法求j(k)。

基本步骤：2.Z变换法求j(k)。

基本步骤：

例8.4-1已知

解

解得特征根。λ1=2，λ2=3。

由式(8.4-25)列写方程组

例8.4-1已知

解

解得特征根。λ1解得

所以解得

所以

例8.4-2已知

解

解得特征根：λ1=λ2=2(二重根)。

依式(8.4-26)列方程组

例8.4-2已知

解

解得特征根：λ1解得

所以解得

所以

例8.4-3某离散系统的状态方程与输出方程分别为

(1)求系统的单位序列矩阵h(k)；

(2)若求零输入响应yx(k)和零状态响应yf(k)。例8.4-3某离散系统的状态方程与输出方程分别为

解(1)采用时域法求解。

①求j(k)。

本例A矩阵与例8.4-1系统的相同，所以状态转移矩阵相同，这里就不重复求解，只直接用其结果。解(1)采用时域法求解。

①求j(k)。

②求h(k)。

因本问题D=0，所以②求h(k)。

因本问题D=0，所以③求零输入响应yx(k)。

由式(8.4-11)可知③求零输入响应yx(k)。

由式(8.4-11)可④求零状态响应yf(k)。

由式(8.4-11)可知

考虑本例子D=0，所以④求零状态响应yf(k)。

由式(8.4-11)可若还要求全响应，则若还要求全响应，则(2)用Z变换法求解。

①求预解矩阵Φ(z)。(2)用Z变换法求解。

①求预解矩阵Φ(z)。

信号与系统(精编版)第8章-系统的状态变量分析课件信号与系统(精编版)第8章-系统的状态变量分析课件

例8.4-4某离散系统的状态方程和输出方程分别为

若k≥0时f(k)=0，y(k)=8(－1)k－5(－2)k。求常数a、b及状态变量x1(k)、x2(k)。例8.4-4某离散系统的状态方程和输出方程分别为

解由已知条件知

故可看出系统的两个特征根：λ1=－1，λ2=－2。而

(8.4-27)解由已知条件知

故可看出系统的两个特征根：λ1=－由于

(8.4-28)

令式(8.4-27)与式(8.4-28)相等，即

比较上式两端λ的同次幂系数，便得：a=3，b=－4。由于

(8.4-28)

令式(8.4-2由特征根列写有限项和式方程

解得由特征根列写有限项和式方程

解得所以状态转移矩阵所以状态转移矩阵

设

设解得x1(0)=2，x2(0)=1。对本例因D＝０，f(k)=0，所以本例系统的状态矢量为解得x1(0)=2，x2(0)=1。对本例因D＝０，f(k)信号与系统(精编版)第8章系统的状态变量分析信号与系统(精编版)第8章系统的状态变量分析8.1系统的状态、状态变量与状态方程

8.1.1系统的状态、状态变量概念

1.系统的状态

这里我们先给系统的状态下一个定义：系统在t0时刻的状态是指一组最少数目的数据，知道这组数据并连同t≥t0时的输入f(t)，足以确定t≥t0任意时刻的输出y(t)，这组最少数目的数据，就称为系统在t0时刻的状态。8.1系统的状态、状态变量与状态方程

8.1.1例如，一个n阶连续系统t0时刻的n个数据和t≥t0时系统的p个输入分别为

(8.1-1)例如，一个n阶连续系统t0时刻的n个数据和t≥t0时系统图8.1-1由L、C上电压、电流关系看“状态”图8.1-1由L、C上电压、电流关系看“状态”

2.系统的状态变量

为了简化书写，系统t0时刻的状态常写为{x(t0)}，t1时刻的状态写为{x(t1)}。即是说，系统的状态是与观察时刻密切相关的，若观察时刻为t(为变量)，则系统的状态也随t变化，

t时刻的状态书写为{x(t)}，即{x1(t)，x2(t)，…，xn(t)}，称x1(t)～xn(t)这n个变量为n阶系统的状态变量。2.系统的状态变量

为了简化书写，系统t0时刻的状8.1.2由电路引出系统的状态方程与输出方程

先从一个具体电路(系统)的例子看方程的列写。图8.1-2(a)为二阶电路(系统)，图中is(t)为激励源(输入)，u(t)、iC(t)为两个响应(输出)。从系统的观点看，该电路属于单输入两个输出的系统，如图8.1-2(b)所示。8.1.2由电路引出系统的状态方程与输出方程

先图8.1-2二阶电路(系统)图8.1-2二阶电路(系统)若用先前的外部描述法，可列写u(t)~is(t)与iC(t)~is(t)二

阶微分方程。若选uC(t)、iL(t)为该二阶系统的两个状态变量，由节点a列写KCL方程:

(8.1-2)

由回路B列写KVL方程:

(8.1-3)若用先前的外部描述法，可列写u(t)~is(t)与iC(整理式(8.1-2)、式(8.1-3)，分别得

(8.1-4)

(8.1-5)整理式(8.1-2)、式(8.1-3)，分别得

利用内部法亦可找到系统的输出与状态变量及系统输入之间的关系，即系统输出用系统的状态变量与系统的输入表示的代数方程，称这种代数方程组为内部法描述系统的输出方程。还是以此电路为例，列写出该二阶系统的输出方程:

(8.1-6)

(8.1-7)利用内部法亦可找到系统的输出与状态变量及系统输入之间的关将式(8.1-4)与式(8.1-5)、式(8.1-6)与式(8.1-7)两方程组分别书写为矩阵形式，即

(8.1-8)

(8.1-9)将式(8.1-4)与式(8.1-5)、式(8.1-6)8.1.3动态方程的一般形式

1.连续系统的动态方程

如图8.1-3所示为n阶连续系统的示意框图，它有p个输入，q个输出，n个状态变量。一般而言，连续系统的状态方程，是由每个状态变量的一阶微分置方程的左端，而方程的右端由系统n个状态变量经相应系数加权与输入也经相应系数加权的代数和组成的状态变量的一阶微分方程组，8.1.3动态方程的一般形式

1.连续系统的动图8.1-3n阶连续系统示意框图图8.1-3n阶连续系统示意框图即

(8.1-10)即

(8.1-10)连续系统的输出方程，是由系统的每个输出置方程左端，而方程的右端由系统每个状态变量经相应系数加权与输入也经相应系数加权的代数和组成的代数方程组，即

(8.1-11)连续系统的输出方程，是由系统的每个输出置方程左端，而方程有时为了方程式简洁明了，用

其他量也都如此表示，这样，式(8.1-10)、式(8.1-11)可分别简洁表示为

(8.1-12)有时为了方程式简洁明了，用

其他量也都如此表示，这样，

(8.1-13)

(8.1-13)引入状态矢量、输入矢量、输出矢量及相关系数矩阵，可将状态方程与输出方程分别写为更简洁的矢量矩阵形式，即

(8.1-14)

(8.1-15)引入状态矢量、输入矢量、输出矢量及相关系数矩阵，可将状态式中式中分别为状态矢量、状态矢量的一阶导数矢量、输入矢量和输出矢量。其中上标T表示转置运算。分别为状态矢量、状态矢量的一阶导数矢量、输入矢量和输出矢

2.离散系统的动态方程

图8.1-4是n阶离散系统的示意框图，它同样有p个输入，q个输出。对于离散系统，有关状态、状态变量的概念与连续系统类似，因为离散信号定义的特殊性，致使状态变量、输入、输出都是序列，状态方程表现为状态变量的一阶前向差分方程组；输出方程更是与连续系统的输出方程形式上类似，只是把连续变量t换为整数变量k，同样都是代数方程。2.离散系统的动态方程

图8.1-4是n阶离散系统对于n阶多输入多输出LTI离散系统，其状态方程和输出方程可分别写为

(8.1-16)

(8.1-17)对于n阶多输入多输出LTI离散系统，其状态方程和输出方程式中式中图8.1-4n阶离散系统示意框图图8.1-4n阶离散系统示意框图8.1.4关于状态变量分析中几点应明确的概念

(1)系统的状态变量个数与系统的阶数相匹配。

(2)对于同一个系统来说，状态变量的选择不唯一，对

应列写出的状态方程也不唯一。如前面讲到的图8.1-2(a)电路，选择了uC、iL作为状态变量列写了状态方程式(8.1-8)，

我们亦可选择iC、uL作为该电路的状态变量列写出另外形式旳状态方程。事实上，对于二阶系统，如果它的状态变量用x1，x2来表示，则这组变量的各种线性组合

(8.1-18a)

(8.1-18b)8.1.4关于状态变量分析中几点应明确的概念

((3)状态空间与状态轨迹概念。

为了使读者能够形象直观地接受状态轨迹概念，我们

对图8.1-2(a)电路简化配置参数：令RL=RC=0，L=0.5H，C=0.5F，uC(0)=0，iL(0)=0，is=1A，解得状态变量

(8.1-19)(3)状态空间与状态轨迹概念。

为了使读者能够形图8.1-5二维状态空间状态轨迹图图8.1-5二维状态空间状态轨迹图8.2动态方程的建立

在系统的状态变量法分析中，动态方程的建立是必需的一个重要环节。有了方程，方可施行时域法求解或变换域法求解。8.2动态方程的建立

在系统的状态变8.2.1连续系统动态方程的建立

1.电路动态方程的建立

电路动态方程的列写首先遇到的问题是如何选择状态变量。这里明确，一般建议选独立电容上的电压变量、独立电感上的电流变量作为状态变量。8.2.1连续系统动态方程的建立

1.电路动态那么电路中的独立电容、独立电感又该如何确定呢？“独立”之意即是彼此不能线性相关。如图8.2-1(a)、(b)两电路中的电容不全是相互独立的电容。对于图(a)电路中的A回路，显然有

(8.2-1)那么电路中的独立电容、独立电感又该如何确定呢？“独立”之图8.2-1只有电压源和电容或仅有电容构成的回路图8.2-1只有电压源和电容或仅有电容构成的回路再观察图(b)电路中的B回路，Us是已知的电压源，当然有

(8.2-2)

类似图(a)情况的分析，图(b)中两个电容只有一个是独立电容。

图8.2-2(a)、(b)两电路中的电感不全是相互独立的电感。对于图(a)电路中的a节点，显然有

(8.2-3)

通过雷同对式(8.2-1)一样的分析过程，可知这三个电感任取两个电感为相互独立的电感。再观察图(b)电路中的B回路，Us是已知的电压源，当然有图8.2-2只有电流源和电感或仅有电感构成的节点图8.2-2只有电流源和电感或仅有电感构成的节点对于图(b)电路中的b节点，有

(8.2-4)

也通过类似对式(8.2-2)一样的分析过程，可知这两个电感只有一个为独立电感。对于图(b)电路中的b节点，有

(8

例8.2-1图8.2-3所示电路中，电流iC(t)和电压u(t)为输出。试选取状态变量，列写该电路的状态方程和输出方程。例8.2-1图8.2-3所示电路中，电流iC(t)和图8.2-3例8.2-1用图图8.2-3例8.2-1用图

解本题并未指定状态变量，按理说做题者有选择状态变量的自由，但一般都是选择独立电容电压、独立电感电流作为状态变量。本题电路中不存在图8.2-1中所示的回路，也不存在图8.2-2中所示的节点，所以该电路中的电容与两个电感都是独立的。选电容电压uC和电感电流iL2、iL3为状态变量，

并令

(8.2-5)解本题并未指定状态变量，按理说做题者有选择状态变量的对于接有电容C的节点b，可列出电流方程

(8.2-6)

选包含L2的回路abea和包含L3的回路abcdea，列出两个独立电压方程

(8.2-7)对于接有电容C的节点b，可列出电流方程

整理式(8.2-6)、式(8.2-7)，得

(8.2-8)整理式(8.2-6)、式(8.2-7)，得

将式(8.2-8)写为状态方程的标准形式为

(8.2-9)将式(8.2-8)写为状态方程的标准形式为

再令电路的输出iC=y1，u=y2，观察电路可直接写得输出方程为

将上式写为输出方程的标准形式即矩阵形式

(8.2-10)再令电路的输出iC=y1，u=y2，观察电路可直接

例8.2-2图8.2-4所示电路中各元件参数值已标示在图上，电压u3、电流i2为输出。试列写出该电路的状态方程与输出方程。例8.2-2图8.2-4所示电路中各元件参数值已标示图8.2-4例8.2-2用图图8.2-4例8.2-2用图

解选电感上电流、电容上电压分别作为状态变量x1、x2，如图中所标。对包含电感的回路A列写KVL方程:

(8.2-11)

对连接电容的节点b列写KCL方程:

(8.2-12)解选电感上电流、电容上电压分别作为状态变量x1、x2对节点a列写KCL方程:

(8.2-13)

对回路B列写KVL方程:

(8.2-14)对节点a列写KCL方程:

(8.2将式(8.2-13)代入式(8.2-14)并整理得

(8.2-15)

将u3=x2代入式(8.2-12)、将式(8.2-15)代入式(8.2-11)并整理，得

(8.2-16)将式(8.2-13)代入式(8.2-14)并整理得

写为矩阵形式，有

(8.2-17)

由y1=u3=x2，y2=i2=－(1/2)x1+(1/4)us，写得输出方程的矩阵形式

(8.2-18)写为矩阵形式，有

(8.2-17)

2.由输入输出微分方程列写动态方程

设n阶LTI连续系统输入输出方程为

(8.2-19)2.由输入输出微分方程列写动态方程

设n阶LTI连若m=n，即方程两端输出与输入的最高导数项次数相等，构造函数y1(t)，使其满足方程

(8.2-20)

选取状态变量

(8.2-21)若m=n，即方程两端输出与输入