矩阵分析课件-第四章-矩阵分解

对称矩阵，二次型第8节Hermite变矩阵、Hermite二次齐式对称矩阵，二次型第8节Hermite变矩阵、Hermit1矩阵分析课件-第四章-矩阵分解2定理8.1：

若A是n阶复矩阵，则，（1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意，是实数。（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意，是Hermite矩阵。定理8.1：若A是n阶复矩阵，则，（1）A是Hermite3定理8.3：

若A是n阶复矩阵，则A是n阶Hermite矩阵的充要条件是存在酉矩阵U，使得，定理8.2：

若A是n阶实矩阵，则A是n阶实对称矩阵的充要条件是存在正交矩阵Q，使得，定理8.3：若A是n阶复矩阵，则A是n阶Hermite矩阵4Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）Hermite二次齐式的标准型：定理8.5,8.6对角矩阵Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）Hermite二5第9节正定Hermite二次齐式、正定Hermite矩阵第9节正定Hermite二次齐式、正定Hermite矩6Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）正定的矩阵A正定的正定的矩阵A半正定的负定的矩阵A负定的负半定的矩阵A负半定的非奇异线性变换不改变二次齐式的正定性，也就是相似矩阵具有相同的正定性Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）正定的矩阵A正定7与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们有定理9.1:对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的

(1)是正定的.(2)对于任何n阶可逆矩阵P都有为正定矩阵.(3)A的n个特征值都大于零.(4)存在n阶可逆矩阵P使得(5)存在n阶可逆矩阵Q使得(6)存在正线上三角矩阵R使得,且此分解是唯一的.与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们8定理9.3:对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的:

(1)是半正定的(2)对于任何n阶可逆矩阵都有为半正定矩阵(3)A的n个特征值全是非负的存在n阶可逆矩阵使得(5)存在秩为r的n阶矩阵Q使得定理9.3:对于给定的Hermite二次形(2)9矩阵分析课件-第四章-矩阵分解10第四章矩阵分解第四章矩阵分解11矩阵分解矩阵的满秩分解正交三角分解奇异值分解极分解谱分解矩阵分解矩阵的满秩分解124.1矩阵的满秩分解4.1矩阵的满秩分解13定理1.1：设，则存在，使得证明：（1）因为A的秩是r，所以有r个线性无关的列，可以设A的前r列向量是线性无关的。行初等变换定理1.1：设，则存在14定理1.1：设，则存在，使得证明：（2)若A的前r列向量是线性相关的，那么可以做相应的列初等变换使其前r个列向量线性无关。定理1.1：设，则存在15例题1.1,1.2例题1.1,1.216矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：定理1.2：若均为A的满秩分解，那么矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：定理1.2：若174.2矩阵的正交分解（UR、QR分解）4.2矩阵的正交分解（UR、QR分解）18定理2.1：设，则A可以唯一的分解为主对角线元素为正的证明：正交化单位化定理2.1：设，则A19单位化单位化20酉矩阵正线上矩阵单位矩阵酉矩阵正线上矩阵单位矩阵21定理2.2：设，则A可以唯一的分解为推论2.2：设，则A可以唯一的分解为推论2.3：设，则A可以分解为定理2.2：设，则A22例题2.1例题2.1234.3矩阵的奇异值分解4.3矩阵的奇异值分解24引理3.1：对任一矩阵A，均有同解方程证明：引理3.1：对任一矩阵A，均有同解方程证明：25引理3.2：对任一矩阵A，

均是半正定Hermite矩阵引理3.2：对任一矩阵A，26定理3.1：对任一矩阵，则证明：定理3.1：对任一矩阵，则27定义3.1：对任一矩阵，称为矩阵A的正奇异值，简称奇异值。例3.1定义3.1：对任一矩阵，称28定理3.2:若矩阵A是正规矩阵，则A的奇异值是A的非零特征值的模。定理3.2:若矩阵A是正规矩阵，则A的奇异值是A的非零特征29定理3.3：对任一矩阵，是A的r个正奇异值，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，满足证明：定理3.3：对任一矩阵，30矩阵分析课件-第四章-矩阵分解31对称矩阵，二次型第8节Hermite变矩阵、Hermite二次齐式对称矩阵，二次型第8节Hermite变矩阵、Hermit32矩阵分析课件-第四章-矩阵分解33定理8.1：

若A是n阶复矩阵，则，（1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意，是实数。（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意，是Hermite矩阵。定理8.1：若A是n阶复矩阵，则，（1）A是Hermite34定理8.3：

若A是n阶复矩阵，则A是n阶Hermite矩阵的充要条件是存在酉矩阵U，使得，定理8.2：

若A是n阶实矩阵，则A是n阶实对称矩阵的充要条件是存在正交矩阵Q，使得，定理8.3：若A是n阶复矩阵，则A是n阶Hermite矩阵35Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）Hermite二次齐式的标准型：定理8.5,8.6对角矩阵Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）Hermite二36第9节正定Hermite二次齐式、正定Hermite矩阵第9节正定Hermite二次齐式、正定Hermite矩37Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）正定的矩阵A正定的正定的矩阵A半正定的负定的矩阵A负定的负半定的矩阵A负半定的非奇异线性变换不改变二次齐式的正定性，也就是相似矩阵具有相同的正定性Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）正定的矩阵A正定38与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们有定理9.1:对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的

(1)是正定的.(2)对于任何n阶可逆矩阵P都有为正定矩阵.(3)A的n个特征值都大于零.(4)存在n阶可逆矩阵P使得(5)存在n阶可逆矩阵Q使得(6)存在正线上三角矩阵R使得,且此分解是唯一的.与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们39定理9.3:对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的:

(1)是半正定的(2)对于任何n阶可逆矩阵都有为半正定矩阵(3)A的n个特征值全是非负的存在n阶可逆矩阵使得(5)存在秩为r的n阶矩阵Q使得定理9.3:对于给定的Hermite二次形(2)40矩阵分析课件-第四章-矩阵分解41第四章矩阵分解第四章矩阵分解42矩阵分解矩阵的满秩分解正交三角分解奇异值分解极分解谱分解矩阵分解矩阵的满秩分解434.1矩阵的满秩分解4.1矩阵的满秩分解44定理1.1：设，则存在，使得证明：（1）因为A的秩是r，所以有r个线性无关的列，可以设A的前r列向量是线性无关的。行初等变换定理1.1：设，则存在45定理1.1：设，则存在，使得证明：（2)若A的前r列向量是线性相关的，那么可以做相应的列初等变换使其前r个列向量线性无关。定理1.1：设，则存在46例题1.1,1.2例题1.1,1.247矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：定理1.2：若均为A的满秩分解，那么矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：定理1.2：若484.2矩阵的正交分解（UR、QR分解）4.2矩阵的正交分解（UR、QR分解）49定理2.1：设，则A可以唯一的分解为主对角线元素为正的证明：正交化单位化定理2.1：设，则A50单位化单位化51酉矩阵正线上矩阵单位矩阵酉矩阵正线上矩阵单位矩阵52定理2.2：设，则A可以唯一的分解为推论2.2：设，则A可以唯一的分解为推论2.3：设，则A可以分解为定理2.2：设，则A53例题2.1例题2.1544.3矩阵的奇异值分解4.3矩阵的奇异值分解55引理3.1：对任一矩阵A，均有同解方程证明：引理3.1：对任一矩阵A，均有同解方程证明：56引理3.2：对任一矩阵A，

均是半正定Hermite矩阵引理3.2：对任一矩阵A，57定理3.1：对任一矩阵，则证明：定理3.1：对任一矩阵，则58定义3.1：对任一矩阵，称为矩阵A