解三角形的实际应用举例教案(北师大版必修五)

解三角形的实际应用举例一、教材分析本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课,可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。二、教学目标1、知识与技能①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义.②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语.(如:坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等)2、过程与方法①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力:通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.3、情感态度价值观①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值.②培养学生运用图形、数学符号表达题意和用转化思想解决数学问题的能力.③培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.三、教学重点、难点1、重点:①实际问题向数学问题的转化②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法2、难点:实际问题向数学问题转化思路的确定四、教学方法与手段本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理:其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。五、教学过程旧知导入通过复习正余弦定理及其变形形式，让学生牢记定理内容以及它们所能解决的题目类型，并会运用正余弦定理实现三角形的边角转化，为本节课的学习做铺垫。要求：让学生自由发言，教师引导复习总结.引入新课、新知探究1．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上时叫仰角，目标视线在水平视线下时叫俯角，如图1所示．2.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2所示)．图1图2设计意图：解决三角形应用问题，就是将要解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后求解，解决问题的关键就在与找角度。典例分析、举一反三题型一测量距离问题例1：某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cosB＝eq\f(312＋202－212,2×31×20)＝eq\f(23,31)，所以sinB＝eq\f(12\r(3),31).在△ABC中，AC＝eq\f(BCsinB,sinA)＝eq\f(31×\f(12\r(3),31),sin60°)＝24(千米)．由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosA，得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)．∴AD＝AB－BD＝15(千米)．∴故此人在D处距A还有15千米．练习1：设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()．解析∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理：eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，∴AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．规律方法测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．题型二测量高度问题例2：A、B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD(精确到整数)．解如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．∴CD＝AD＝800(eq\r(3)＋1)≈2186(m)．所以山高CD约为2186(m)．练习2：地平面上有一旗杆设为OP，已知地平面上的一基线AB，AB＝200m，在A处测得P点的仰角为∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角为∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h.解如图，∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，∠AOB＝60°，AB＝200m，在△OAP中，∵OP⊥AO，∴∠AOP＝90°，则eq\f(OP,OA)＝tan30°，∴OA＝eq\f(OP,tan30°)＝eq\r(3)h(m)，同理在△BOP中，∠BOP＝90°，且∠OBP＝45°，∴OB＝OP＝h，在△OAB中，由余弦定理得：AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即2002＝3h2＋h2－2eq\r(3)h2·cos60°，解得h＝eq\f(200,\r(4－\r(3)))(m)．所以旗杆高为eq\f(200,\r(4－\r(3)))m.规律方法解决测量高度问题的一般步骤是：(1)画图：根据已知条件画出示意图；(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．题型三测量角度问题例3;在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(eq\r(3)－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)，且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得：sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．练习3：如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得一建筑物顶端C对于山坡的坡度为15°，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高度为50m，求此山相对于地平面的倾斜角的余弦值．解eq\f(100,sin30°)＝eq\f(AC,sin135°)，∴AC＝100eq\r(2)m，∵eq\f(100,sin30°)＝eq\f(BC,sin15°).∴BC＝50(eq\r(6)－eq\r(2))m设倾斜角为θ，则eq\f(BC,sin90°＋θ)＝eq\f(50,sin45°)，∴cosθ＝eq\r(3)－1.∴此山相对于地平面的倾斜角的余弦值为eq\r(3)－1.规律方法测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．设计意图：通过例题讲解，让学生能区分不同的题型，总结规律能让学生掌握一般的解题步骤，通过变式练习，让学生进一步熟练掌握此类题的解法并，理解同一数学模型在不同问题中的应用。六、总结本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。掌