人教版八年级下册《菱形》拔高练习

《菱形》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在?ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，此刻增添一个适合的条件，使四边形AFCE是菱形，以下条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有个（）A．0B．1C．2D．32．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的极点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A．（4，5）B．（5，4）C．（4，4）D．（5，3）3．（5分）如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应知足的条件是（）A．CP均分∠ACBB．CP⊥ABC．CP是AB边上的中线D．CP＝AP4．（5分）若菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是5cm、12cm，则菱形ABCD的面积是（）A．30cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2第1页（共19页）5．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为（）A．2B．4C．2D．2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）菱形的两邻角之比为1：2，一条较短的对角线长为6cm，则另一条对角线长为，这个菱形的面积为．7．（5分）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝50°，BC的垂直均分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结BF、DF，则∠DFC的度数是．8．（5分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移获得△DCE，当△ABC知足条件时（填一个条件），可以判断四边形ACED为菱形．9（．5分）如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当?ABCD知足时，四边形EHFG是菱形．10．（5分）如下图，菱形ABCD的对角线的长分别为3和6，P是对角线AC上任一点（点P不与点A．C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则暗影部分的面积是．第2页（共19页）三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE∥AC，且DE＝CF，连结AE、DE、EF．1）求证：△ADE≌△BCF；2）若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形．12．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD均分∠ABC．1）求证：四边形ABCD是菱形；2）过点D作DE⊥BD，交BC的延伸线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．13．（10分）如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；2）填空：①当t为s时，以A、F、C、E为极点的四边形是平行四边形；②当t为s时，四边形ACFE是菱形．第3页（共19页）14．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结BE，有BE＝2DE，延伸DE到点F，使得EF＝BE，连结CF．1）求证：四边形BCFE是菱形；2）若△ABC中BC＝5，AC＝12，求菱形BCFE的面积．15．（10分）如图，BD是△ABC的角均分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．1）求证：四边形BEDF为菱形；2）假如∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．第4页（共19页）《菱形》拔高练习参照答案与试题分析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在?ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，此刻增添一个适合的条件，使四边形AFCE是菱形，以下条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有个（）A．0B．1C．2D．3【剖析】由在?ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；而后由一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相互垂直的平行四边形是菱形，求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，O为AC的中点，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；①∵OE＝OA，AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形；故错误；②∵EF⊥AC，第5页（共19页）∴四边形AFCE是菱形；故正确；③∵AC⊥AB，AB∥CD，AC⊥CD，∵E为AD中点，AE＝CE＝AD，∴四边形AFCE是菱形；故正确．应选：C．【评论】本题考察了菱形的判断、平行四边形的判断与性质以及全等三角形的判定与性质．第一证得四边形AFCE是平行四边形是解决问题的重点．2．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的极点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A．（4，5）B．（5，4）C．（4，4）D．（5，3）【剖析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，从而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的极点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝4，∴点C的坐标是：（5，4）．应选：B．【评论】本题主要考察了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题重点．第6页（共19页）3．（5分）如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应知足的条件是（）A．CP均分∠ACBB．CP⊥ABC．CP是AB边上的中线D．CP＝AP【剖析】依据菱形的性质解答即可．【解答】解：∵四边形CDPE是菱形，∴∠DCP＝∠ECP，CP均分∠ACB，应选：A．【评论】本题考察菱形的性质，重点是依据菱形的性质解答．4．（5分）若菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是5cm、12cm，则菱形ABCD的面积是（）A．30cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2【剖析】依据菱形的对角线的长度即可直接计算菱形ABCD的面积．【解答】解：∵菱形的对角线长AC、BD的长度分别为5cm、12cm．∴菱形ABCD的面积S＝BD×AC＝×5×12＝30cm2．应选：A．【评论】本题考察了菱形对角线相互均分的性质，本题中菱形ABCD的面积等于对角线乘积的一半是解题的重点．5．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为（）第7页（共19页）A．2B．4C．2D．2【剖析】如图连结BD．第一证明△ADB是等边三角形，可得BD＝4，再依据三角形的中位线定理即可解决问题．【解答】解：如图连结BD．∵四边形ABCD是菱形，AD＝AB＝4，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，BA＝AD＝4，PE＝ED，PF＝FB，∴EF＝BD＝2．应选：A．【评论】本题考察菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判断和性质等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，本题的打破点是证明△ADB是等边三角形．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）菱形的两邻角之比为1：2，一条较短的对角线长为6cm，则另一条对角线长为6cm，这个菱形的面积为18cm2．【剖析】作出图形，依据菱形的邻角互补求出较小的内角为60°，从而判断出△ABC是等边三角形，再依据等边三角形的性质求出OB，而后依据菱形对角线相互均分可得BD＝2OB，菱形的面积＝×两对角线的乘积．【解答】解：如图，∵菱形的两邻角之比为1：2，∴较小的内角∠ABC＝180°×＝60°，∴△ABC是等边三角形，第8页（共19页）OB＝×6＝3cm，∴较长的对角线BD＝2OB＝2×3＝6cm．∴菱形的面积＝AC?BD＝×6×6＝18（cm2）．【评论】本题考察了菱形的性质，等边三角形的判断与性质，熟记性质并求出△ABC是等边三角形是解题的重点，作出图形更形象直观．7．（5分）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝50°，BC的垂直均分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结BF、DF，则∠DFC的度数是130°．【剖析】第一求出∠CFB＝130°，再依据对称性可知∠CFD＝∠CFB即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝25°，EF垂直均分线段BC，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB＝25°，∴∠CFB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，依据对称性可知：∠CFD＝∠CFB＝130°，故答案为：130°．【评论】本题考察菱形的性质、线段的垂直均分线的性质等知识，解题的重点是娴熟掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（5分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移获得△DCE，当△ABC知足条件AC＝BC时（填一个条件），可以判断四边形ACED为菱形．第9页（共19页）【剖析】由题意可证四边形ACED是平行四边形，依据菱形的判断，可得知足条件．【解答】解：△ABC知足条件为AC＝BC∵将△ABC沿射线BC方向平移获得△DCEAD＝CE，AD∥CE∴四边形ACED是平行四边形AC＝BC∴平行四边形ACED是菱形．故答案为AC＝BC【评论】本题考察了菱形的判断，平移的性质，娴熟运用平移的性质是本题的关键．9．（5分）如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当?ABCD知足AB⊥BC时，四边形EHFG是菱形．【剖析】由题意可证四边形EHFG是平行四边形，△EBC≌△FCB，可得EC＝BF，BH＝CH，即可得EH＝FH，则可证四边形EHFG是菱形．【解答】解：当?ABCD知足AB⊥BC时，四边形EHFG是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BC∴四边形ABCD是矩形∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，AB∥CDE是AB中点，F是CD中点，∴BE＝CF＝AE＝DFBE＝DF，AB∥CD第10页（共19页）∴四边形BEDF是平行四边形ED∥BF同理可得：EC∥AF∴四边形EHFG是平行四边形．在△EBC与△FCB中，∵，∴△EBC≌△FCB（SAS）∴CE＝BF，∴∠ECB＝∠FBC，∴BH＝CH，∴EH＝FH，∴平行四边形EHFG是菱形，故答案为：AB⊥BC．【评论】本题考察了菱形的判断，平行四边形的判断与性质，利用这些性质和判定进行正确推理是本题的重点．10．（5分）如下图，菱形ABCD的对角线的长分别为3和6，P是对角线AC上任一点（点P不与点A．C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则暗影部分的面积是．【剖析】由题意可得：S△ABC＝，四边形AEPF是平行四边形，可得S△AEP＝S?ABCD＝S△EFP，即可得S暗影＝S△ABC．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线的长分别为3和6，S菱形ABCD＝×3×6＝9S△ABC＝PE∥BC∥AD，PF∥CD∥AB第11页（共19页）∴四边形AEPF平行四边形S△AEP＝S?ABCD，S△EFP＝S?ABCDS△EFP＝S△AEPS暗影＝S四边形BCPE+S△EFP＝S四边形BCPE+S△AEP＝S△ABCS暗影＝故答案为：【评论】本题考察了菱形的性质，平行四边形的判断和性质，娴熟运用平行四边形的性质解决问题是本题的重点．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE∥AC，且DE＝CF，连结AE、DE、EF．1）求证：△ADE≌△BCF；2）若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形．【剖析】（1）依据平行四边形的性质和全等三角形的判断证明即可；2）依据平行四边形的判断和菱形的判断解答即可．【解答】证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCF，∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA，∴∠FCB＝∠EDA，在△ADE与△BCF中，∴△ADE≌△BCF（SAS）；第12页（共19页）2）∵DE∥AC，且DE＝AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DC＝EF，且DC∥EF，又∵AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝EF，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵△ADE≌△BCF，∴∠AED＝∠BFC，∵∠BAF+∠AED＝180°，∴∠BAF+∠BFC＝180°，又∠BFA+∠BFC＝180°，∴∠BAF＝∠BFA，∴BA＝BF，∴四边形ABFE为菱形．【评论】本题考察菱形的判断，重点是依据平行四边形的判断、菱形的判断和全等三角形的判断解答．12．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD均分∠ABC．1）求证：四边形ABCD是菱形；2）过点D作DE⊥BD，交BC的延伸线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．【剖析】（1）依据平行线的性质获得∠ADB＝∠CBD，依据角均分线定义获得∠ABD＝∠CBD，等量代换获得∠ADB＝∠ABD，依据等腰三角形的判断定理获得AD＝AB，依据菱形的判断即可获得结论；（2）由垂直的定义获得∠BDE＝90°，等量代换获得∠CDE＝∠E，依据等腰三角形的判断获得CD＝CE＝BC，依据勾股定理获得DE＝＝6，于第13页（共19页）是获得结论．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，BD均分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，BA＝BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，BE＝2BC＝10，∵BD＝8，DE＝＝6，∵四边形ABCD是菱形，AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．【评论】本题考察了菱形的判断和性质，角均分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的辨别图形是解题的重点．13．（10分）如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s第14页（共19页）的速度运动，设运动时间为t（s）．1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；2）填空：①当t为或8s时，以A、F、C、E为极点的四边形是平行四边形；②当t为8s时，四边形ACFE是菱形．【剖析】（1）由题意获得AD＝CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等获得两对角相等，利用AAS即可得证；（2）①分别从当点F在C的左边时与当点F在C的右边时去剖析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为极点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案；②若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝6，由E的速度求出E运动的时间即可．【解答】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，D为AC的中点，∴AD＝CD，∵在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；2）解：①当点F在C的左边时，依据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣2t，第15页（共19页）解得：t＝；当点F在C的右边时，依据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣8，解得：t＝8；综上可得：当t＝或8s时，以A、C、E、F为极点四边形是平行四边形．②若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝8，则此时的时间t＝8÷1＝8（s）；故答案是：或8；8．【评论】本题考察了平行四边形的判断，菱形的判断，全等三角形的判断与性质，等边三角形的性质，解题的重点是理解题意，学会用分类议论的思想思虑问题．14．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结BE，有BE＝2DE，延伸DE到点F，使得EF＝BE，连结CF．1）求证：四边形BCFE是菱形；2）若△ABC中BC＝5，AC＝12，求菱形BCFE的面积．【剖析】（1）由题意可得：DE∥CB，BC＝2DE＝BE＝EF，即可证四边形BCFE是菱形；（2）连结BF交AC于点G，由题意可得EG＝CG＝3，依据勾股定理可求BG＝4，即BF＝8，依据菱形面积＝×EC×BF，可求菱形BCFE的面积．【解答】证明：（1）点D、E分别是AB、AC的中点，BC∥DE，BC＝2DE，第16页（共19页）BE＝2DE，BE＝EFEF＝2DE