双曲线知识点归纳总结

第二章双曲线双曲线标准方程（焦点在X轴） |标准方程（焦点在），轴）定义第一定义：平面内与两个定点耳，F?的距离的差的绝对值是常数（小于5I）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。6HM引=2"}3<党可）X六K第二定义：平面内与一个定点厂和一条定直线/的距离的比是常数e,当e>l时，动点的轨迹是双曲线。定点尸叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（e>l）叫做双曲线的离心率。*二6范围x>a,yeRy>axeR对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2〃对称中心原点0(0,0)住占坐八，、，、■、一1"标焦点在实轴上,c=y/a2+b2;焦距：国玛|=2c顶点坐标(-4,0)(4,0)(0,-〃，)(0,a)离心率e=—(<?>1)a准线方程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：土C顶点到准线的距离顶点A（4）到准线4（，2）的距离为叫《C顶点A（4）到准线4（G的距离为C焦点到准线的距离焦点耳（鸟）到准线人（，2）的距离为c」焦点”（F?）到准线（乙）的距离为《一Cr(卜C渐近线方程共渐近线的双曲线系方程2 2二一二=女(狂0)crb-土I%。)1.双曲线的定义当二明一‘明|二2a时，则表示点加在双曲线右支上；当悭q-悭用=〃时，则表示点“在双曲线左支上；注意定义中的“(小于I"鸟|)”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a=2c时，B|J||JW/.|-|ME||=|FIF,|>当可用-附用=无用，动点轨迹是以F?为端点向右延伸的一条射线；当附可-悝用=仰用时，动点轨迹是以£为端点向左延伸的一条射线；若2a>2c时，动点轨迹不存在..双曲线的标准方程判别方法是：如果一项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果V项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，0不一定大于b,因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上..双曲线的内外部TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2(1)点尸(X。,打)在双|11|线——yr=1(〃>。,匕>0)的内ri|i=—T--pr>1.crD ir(2)点P(x),%)在双曲线———r=1(。>0,Z?>0)的外部=-y-v1・crb- 6ry2 24.形如Av2+By2=1(ABY0)的方程可化为f+2r=17B当'yO,：>。，双曲线的焦点在)，轴上；当LaO,_LyO,双曲线的焦点在x轴上；AB.求双曲线的标准方程，・应注意两个问题：(1’)正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解...离心率与渐近线之间的关系e=Jl+2) 2)—=-Je2-1.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为二-二=1=渐近线方程：二-二=0o)，=±3.a-b- a-b- a

(2)若渐近线方程为y=±2]o2±£=0=双曲线可设为二一=x.aab crZrTOC\o"1-5"\h\z2 ) ， ，(3)若双曲线与二-二=1有公共渐近线，可设为二-二=九(X＞0,焦点在b- c「b-X轴上，X＜0,焦点在y轴上).⑷与双曲线二-二=1共渐近线的双曲线系方程是二-二=%(幺？0),(T卜 (Cy(5)与双曲线二-二=1共焦点的双曲线系方程是' -=1(Cb- cr+kb--k(6)当时o离心率e=&O两渐近线互相垂直，分别为y二±x,此时双曲线为等轴双曲线，可设为，一),2=入；8.双曲线的切线方程⑴双曲线土卷=心。力＞。)上一点如。而处的切线方程是黄一於L(2)过双曲线二-二=1伍＞0力＞0)外一点P(4,y。)所引两条切线的切点弦方crb~程是笑-邛=1.cr2 2(3)双曲线:一二=im＞o力＞0)与直线crb'Ax+协+C=0相切的条件是A%?-B-h2=c2.9.直线与双曲线的位置关系2直线/：y=kx+m(/n0)双曲线C：二一1)当b2—a2k2=0,即攵=±2时•，直线/与双曲线的渐进线_壬任_,直线与a双曲线C相交于一点；2)当b:-a2k27^0,即Ah±2时，△=(一2£mk尸一4(b:-a:k:)(-a:k:)(-a:m:-a:b:)a△»()时，，直线/与双曲线相交，有两个公共点△=0时・，直线/与双曲线相切，有且仅有一个公共点& 直线/与双曲线相离，无公共点3)直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线必相切吗为什么(不一定)10.关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法2 2直线/：y=kx+m(/n0)双曲线C：二一二=1(。＞0,b＞0)①联立方程法:设交点坐标为A（X1，X）,8（工2，乃），则有△a。，以及玉+吃，40，还可进一步求出X+>?2=。+m+3+〃？=k&+x2)+2m,y}y2={k\+〃?X攵&+m）=k2x]x2+kni（x]+x2）+m2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长或\AB\=J+5M一力|=，1+，（川+必尸一4）科=Ji+上品b.中点^（为，加），/=与上，先="；'，②点差法： ~ ~设交点坐标为A（mj）,8（巧,必），代入双曲线方程，得将两式相减，可