2016高等数学下册-第12章

第十二章无穷级数常数项级数函数项级数~般项级数*项级数幂级数三角级数收敛半径R数或函数函数任意项级数泰勒展开式R(

x)

0泰勒级数nu

为常数un为函数un

(x)傅氏展开式满足狄

氏条件傅氏级数在收敛

级数与数条件下

相互转化数

unn1取x

x0一、主要内容1、常数项级数nn1ni1sn

u1

u2

un

ui级数的部分和定义

un

u1

u2

u3

un

级数的收敛与发散常数项级数收敛(发散)

lim

sn

存在(不存在).nlimun

0.级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.常数项级数审敛法正项级数任意项级数充要条件比较法比值法根值法绝对收敛交错级数(莱布尼茨定理)若Sn

S

,则级数收敛;当n

,un

0,

则级数发散;按基本性质;一般项级数4.绝对收敛un

0定义

un

,2、正项级数及其审敛法n1审敛法正项级数收敛

部分和所成的数列sn有界.n1(1)

比较审敛法若un

收敛(发散)且vn

un

(un

vn

),则vn

收敛(发散).n1(2)

比较审敛法的极限形式

n1

n1unn

vn设

un

与vn

都是正项级数,如果lim

l

,

则(1)

当0

l

时,二级数有相同的敛散性;(2)

当l

0

时，若vn

收敛,则

un

收敛;n1

n1

(3)

当l

时,

若vn

发散,则

un

发散;n1

n1设

un

为正项级数,n1如果lim

nun

l

0

(或lim

nun

),n

n则级数

un

发散;n1nn如果有p

1,

使得lim

npu

存在,则级数

un

收敛.n1(3)

极限审敛法设(4)比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)n1n

(数或

)u

是正项级数,如果limnun1un则

1时级数收敛;

1时级数发散;

1时失效.(5)根值审敛法(柯西判别法)设

un

是正项级数,n1n如果lim

n

un

(

为数或

),则

1时级数收敛;

1时级数发散;

1时失效.nnn

n1

n1n1(1)

u(1)

u

或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)un

un1

(n

1,2,3,);(ⅱ)lim

un

0,则n级数收敛,且其和s

u1,其余项rn

的绝对值rn

un1.n(其中u

0)3、交错级数及其审敛法定义

正

、负项相间的级数称为交错级数.n1

n0定义:若

un

收敛,则称

un

为绝对收敛;n1n1

n1若

un

发散,而

un

收敛,则称

un

为条件收敛.4、任意项级数及其审敛法定义

正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.

定理

若

un

收敛,则

un

收敛.n1

n15、函数项级数(1)

定义设u1

(x),u2

(x),,un

(x),

是定义在I

R

上的函数,则u1

(x)

u2

(x)

un

(x)

n1称为定义在区间I

上的(函数项)无穷级数.(2)

收敛点与收敛域如果x0

I

,数项级数

un

(x0

)收敛,n1则称x0

为级数

un

(x)的收敛点,否则称为发散点.n1函数项级数

un

(x)的所有收敛点的全体称为收敛域,n1所有发散点的全体称为发散域.(3)

和函数在收敛域上,函数项级数的和是x

的函数s(

x),称s(x)为函数项级数的和函数.形如nn0n0a

(x

x

)

的级数称为幂级数.0当x

0时,其中an

为幂级数系数.6、幂级数(1)

定义nna

xn0如果级数n0na

xn

0在x

x

处发散,则它在满足不等式

x

x0

的一切x

处发散.如果级数定理1

(Abel定理)n0nna

x在x

x0

(

x0

0)处收敛,则它在满足不等式

x

x0

的一切x

处绝对收敛;(2)

收敛性n0nna

xx

0不是仅在

一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R

存在,它具有下列性质:当

x

R时,幂级数绝对收敛;当

x

R时,幂级数发散;当x

R与x

R时,幂级数可能收敛也可能发散.推论如果幂级数定理

2

如果幂级数定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.n0n

na

x

的所有系数na

0,nanan1设

limn

(或

lim

n

an

)(3)

当

时,R

0.(1)

则当

0时,

R

1

;

(2)当

0时,R

;

n0nnn0nb

xa

xn

n0nnc

x

.R

minR1

,

R2

加减法(其中cn

an

bn

)x

R,

Rnn

1

2nnb x

的收敛半径各为R

和R

,a

x

和设

n0

n0(3)幂级数的运算a.代数运算性质:(

乘法nn0

n0nn

na

x

)

(b

x

)n0nnc

x

.x

R,

R(其中cn

a0

bn

a1

bn1

an

b0

)除法nnn0n0nnb

xa

xn0nnc

x

.0)n0nnb

x

(收敛域内b.和函数的分析运算性质:幂级数n0nna

x

的和函数s(

x)在收敛区间幂级数(

R,R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.n0nna

x

的和函数s(

x)在收敛区间幂级数(

R,R)内可积,且对x

(

R,R)可逐项积分.n0nna

x

的和函数s(

x)在收敛区间(

R,

R)内可导,

并可逐项求导任意次.n00f

(

n)

(

x

)(

x

x

)n0称为0f

(

x)

x在点

的泰勒级数.nn0n!f

(

n)

(0)n!x

称为f

(x)在点x0

的麦克劳林级数.7、幂级数展开式(1)

定义如果f

(x)在点x0

处任意阶可导,则幂级数n(2)

充要条件定理

f

(

x)

在点x0

的泰勒级数,在U

(

x0

)

内收敛于

f

(

x)

在U

(

x0

)

内lim

Rn

(

x)

0.(3)

唯一性定理 如果函数

f

(

x)在U

(

x0

)内能展开成(

x

x0

)n0的幂级数,

即

f

(

x)

nn0a

(

x

x

)

,0f

(

x

)

(n

0,1,2,)1n!则其系数

a

(

n)n且展开式是唯一的.(3)

展开方法a.直接法(泰勒级数法);0n!f(

n)

(

x

)步骤:

(1)

求an

n)(n

Mx,n(2)

lim

或则级数在收敛区间内收敛于f

(x).b.间接法根据唯一性,

利用常见展开式,

通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.x

(,)2!

n!e

x

1

x

1

x

2

1

xn

1

13!

5!x3sin

x

x

x2

n1(2n

1)!x5

(1)nx

(,)

14!12!x4x2cos

x

1

x2

n(2n)!

(1)nx

(,)(4)

常见函数展开式x

(1,1)

n!2!

(

1)(

n

1)

xn

1

x

(

1)

x2(1

x)

x

ln(1

x)

x

n1

xnn32x

(1)1312x

(1,1](5)

应用a.近似计算b.欧拉公式eix

cos

x

i

sin

x,,cos

t

,eit

eit2ieit

eit2sin

t

cos

nxdx

0,

sin

nxdx

0,8、傅里叶级数(1)

三角函数系三角函数系1,cos

x,sin

x,cos

2x,sin

2x,cos

nx,sin

nx,正交性任意两个不同函数在[,]上的积分等于零.

0,

m

nsin

mx

sin

nxdx

,

m

n

0,

m

ncos

mx

cos

nxdx

,

m

n

sin

mx

cos

nxdx

0(其中m,n

1,2,)(2)

傅里叶级数nn

b

sin

nx)(a

cos

nxa02

n1定义三角级数其中11

f

(

x)sin

nxdx,

(n

1,2,)(n

0,1,2,)f

(

x)cos

nxdx,abn

n称为傅里叶级数.n

n(a

cos

nx

b

sin

nx)a02

n1(3)

狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)设f

(x)是以2

为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则f

(x)的傅里叶级数收敛,并且(1)

当x

是f

(x)的连续点时,级数收敛于f

(x);2(2)

当x

是

f

(

x)

的间断点时,

收敛于

f

(

x

0)

f

(

x

0)

;(3)

当x

为端点x

时,收敛于

f

(

0)

f

(

0)

.2如果

f

(

x)

为奇函数,

傅氏级数

bn

sin

nxn1(4)

正弦级数与余弦级数称为正弦级数.当周期为2

的奇函数f

(x)展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为0b

2

f

(

x)

sin

nxdx(n

0,1,2,)(n

1,2,)nan

00(n

1,2,)(n

0,1,2,)a

2

f

(

x)

cos

nxdxbn

0nna

cos

nx如果

f

(

x)

为偶函数,

傅氏级数a0

2

n1称为余弦级数.当周期为2

的偶函数f

(x)展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为奇延拓:

f

(

x)0

x

x

0

x

0

f

(

x)令

F

(

x)

0f

(x)的傅氏正弦级数n1f

(

x)

bn

sin

nx.(0

x

)(5)

周期的延拓偶延拓:

f

(

x)0

x

x

0令

F

(

x)

f

(

x)f

(x)的傅氏余弦级数02

an

cos

nxn1af

(

x)

(0

x

)),0anxlbn

sinnxlf

(

x)

(an

cos的条件,则它的傅里叶级数展开式为n1(6)

周期为2l

的周期函数的傅氏展开式设周期为2l的周期函数f

(x)满足收敛定理(n

0,1,2,)lf

(

x)

cos

nxdx,la

12lln(n

1,2,)lf

(

x)

sin

nxdx,lb

1lln例1

判断级数敛散性:n

1

n(1)

n

;n1

(n

1

)nn1

1nn

nn

nn解

u

,n

(n

1

)n

(1

1

)nn

n2二、典型例题)n1n2)n1n22

lim[(1

nnlim(1

1]n

e0

1;1

1n

xlim

nn

lim

x

x1x

x

exp{lim ln

x}1x

x

exp{lim0}

e

1;nlim

un

1

0,根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．23

;(2)n1nncos2

n解2n2nn3

n

,ncos2

nu

,nn2n令

v

nvvnn

1

2n

lim2n1nn1n

limn

12n

limn12

1,2n1nn收敛,

根据比较判别法，

原级数收敛．1(3)n1)n(a

0).n(a

ln(n

2)解na

1ln(n

2)lim

n

un

limn

n1lim

n

ln(n

2),a

n

n

2

时,n

2

en

,n从而有1

n

ln(n

2)

n

n,由于

lim

n

n

1, lim

n

ln(n

2)

1,n

nanlim

n

u

1

.na当a

0

即0

1

1时,原级数收敛；a当0

a

1即1

1时,原级数发散；当a

1

时,,(1

n1)nnln(n

2)1原级数为n

1(1

)nnlim

ln(n

2)

,原级数也发散．是条件收敛还是绝对收敛？是否收敛？如果收敛判断级数n1(1)nn

ln

n例２1

1

,n

ln

n

n解

而

1

发散,n1

n1发散,

n1(1)nn

ln

n

n1

n

ln

n即原级数非绝对收敛．是交错级数,n1(1)nn

ln

n由莱布尼茨定理：n

xxn

lim

ln

n

lim

ln

x

lim

1

0,x

x11

0,

lim

limnn

ln

n1

n

n

ln

nn

f

(

x)

x

ln

x

(

x

0),(

x

1),xf

(

x)

1

1

0单减,

在(1,)

上单增,

即1x

ln

x故当n

1时单减,1n

ln

n

u

(n

1),1

1n

ln

n

(n

1)

ln(n

1)

u

n1n所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．n0求级数(n

1)(x

1)n

收敛域及和函数.例３解

(n

1)(

x

1)n

的收敛半径为

R

1,n0收敛域为

1

x

1

1,即0

x

2,设此级数的和函数为s(x),则有n0s(

x)

(n

1)(

x

1)n

.两边逐项积分n0x1

(

x

1)n111n0xnx(n

1)(

x

1)

dxs(

x)dx

n0

(

x

1)n1x

11

(

x

1)2

x

x

1

,两边再对x

求导，得.12

x

(2

x)2s(

x)

(

x

1)

克劳林级数.1

x2

展开成麦将f

(x)

x

arctan

x

ln例4

,x2

x32

3解

ln(1

x)

x

,x4

x62

3

ln(1

x2

)

x2

x2

nn

(1)n1(1

x

1)xdx0211

x又

arctan

x

x02[1

x

x4

x6

(1)n

x2n

]dx

(1)x3

x5

x73

5

7

x

x2

n12n

1n(1

x

1)12

n1

(1)n1n0

(1)n1

x2故

x

arctan

x

ln

1

2

n0(1)nn0

(1)n2n

2x2

nnx2

n2x2

n22n

1x2

n22n

1.n0

(1)nx2

n2(2n

1)(2n

2)(1

x

1)将级数

的和函数展开(2n

1)!x2

n1n1(1)n12n1例5设法用已知展开式来解．是sin

x

的展开式成(x

1)的幂级数．n1x2

n1(2n

1)!解

分析

(1)n1(

2n1)2

n1n1(1)n12n1(1)n1

x(2n

1)!

2x2

n1(2n

1)!22

2

sin

x

2

sin

x

1

12

cos

1

sin

x

12

2

2

sin

1

cos

x

1

2

2(

2

cos(

2

sin)2n1)2n1

(1)n

x

122

n0

(2n

1)!1

(1)n

x

122

n0

(2n)!

cos1

2

sin

n0n0(

x

1)2

n11

(1)n2 2n

(2n

1)!(

x

1)2

n(1)n2 2n

(2n)!(,)的正弦级数并在

2

x

2

写出该级数的和函数，同时画出它的图形．将cos

x

在0

x

内展开成以2

为周期例6解要将f

(x)

cos

x

在(0,)内展开成以2

为周期的正弦级数cos

x

bn

sin

nx

,必须在(,)n1内对cos

x

进行奇开拓,

cos

xx

(0,

),x

0,x

(,0),

cos

x令

F

(

x)

00cos

x

sin

nxdxb

2n01[sin(n

1)

x

sin(n

1)

x]dx][

1 1

(1)n1

1

(1)n1n

1n

2m

1,

n

2mn

1o,4n(n2

1)(

n

1

)an

0,01b

1

sin

2xdx

0,2m1sin

2mx. (0

x

)(4m

1)8m

cos

x

数的和函数为在

x

22

0

cos

xxcxoxs(,0,)(2,)

x

0,,2

(,0)(,2

),sx()x和函数的图形为yo2

2的和21以2

为周期的付氏级数，并由此求级数n1n(1

x

1)内展开成将函数

f

(

x)

2

x例7解

f

(x)

2

x

(1

x

1)是偶函数,10021

a

(2

x)dx

5,1021nx1(2

x)

cosa

n10dx

2xdxx

cos

n

2n1xd

sin

nx0[(1)n

1]2n220,

4n22n

2k,

n

2k

1(k

1,2,)22452

k

1cos(

2k

1)x

(2k

1)bn

0,故

2

x

2.2

5

4k

1cos(

2k

1)x(2k

1)2(1

x

1)取x

0,由上式得22,5

42

2

k

11(2k

1)

22k

11

,(2k

1)

82221k

1k

1n11(2k

)n而1(2k

1)1

1

1,

k

1k

1k

2(2k

1)2

42n1n

8

3.61

2

4

2n2cos

n

x2

x

2证明：当０

x

时，n1例8解,4

2

6x2

x4

2设f

(x)将f

(x)在［0,]上展开成余弦级数2a0

0

(

4x2

3x

2

332

)dx

(

)

,2

12

4

3

)

cos

ndx2xx2an

0

(

4x20x

2

2

)

sin

nxdx]

0

(

)

sin

nxxn[(

4

2

2n2

0

2

22

(

x

)d

cos

nx

n2

2n22

1

.n2cos

nx2

x

2

4

2

6n1．

(0

x

)故

4

2

6xx2

2cos

n

n2n1).(A)一、选择题:1、下列级数中,收敛的是(n11n；

(B)1n1；n

n1n1n(C)

；3

2(D)(1)n1n.(A)4(

)2、下列级数中,收敛的是(

).n1n1；(B)55

4(

)n1；5n1(C)

(1)

(4)n1n1；

(D)n14

55

4(

)n1n1.自测题)(A)3、下列级数中,收敛的是(2n12n(n!)2；(B)nn3n

n!；(C)2sinn

21

n；(D)n1n1n(n

2)n

1.4、部分和数列

sn有界是正项级数

un

收敛的n1(

)(A)充分条件；(C)充要条件；(B)必要条件；(D)既非充分又非必要条件.)时,级数n1nra收敛.5、设a

为非零常数,则当((A)r

1；(C)

r

a

；(B)

r

1

；(D)

r

1

.6、幂级数

(1)n1n1(

x

1)nn的收敛区间是().(A)

(0,2)；(C)

(0,2]；(B)

[0,2)

；(D)

[0,2].7、若幂级n0nna

x的收敛半径为R1

:0

R1

;n0n

nb

x的收敛半径为R2

:0

R2

,则幂级数n0n

n(a

b

)

xn

的收敛半径至少为(

)(A)

R1

R2

；(C)maxR1

,

R2

；(B)R1

R2

；(D)minR1

,

R2

.n

k

nn28、当R

0

时,级数(1)n1是(

)(A)条件收敛；

(C)发散；(B)绝对收敛；(D)敛散性与k

值无关.n19、lim

un

0是级数

un

收敛的()n(A)充分条件；

(C)充要条件；(B)必要条件；(D)既非充分又非必要条件.10、幂级数

n(n

1)xn

的收敛区