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.z.习题3.31．计算以下积分，其中积分闭路取正向.〔1〕解：〔4〕解：〔6〕解：〔8〕解：被积函数有6个奇点，只有在圆的内部，于是函数在闭圆域上解析，则由Cauchy积分公式得4.用Cauchy积分公式计算函数沿正向圆周的积分值，然后利用圆周的参数方程证明下面积分〔1〕解：函数的奇点在积分路径的内部，而函数在闭区域上解析，于是由Cauchy积分公式得〔2〕证明：圆周的参数方程为，在它上有于是比拟等式两边的虚部得又所以7.由下面所给调和函数求解析函数〔2〕解：对u求偏导数有解法1：由Cauchy-Riemann条件得对第一式两边对*积分得两边对y求导，并且与上面所得比拟有于是得即其中c为任意实常数.从而，即由于代入上式得所以解法2：由Cauchy-Riemann方程和解析函数的求导公式可得于是其中c为任意实常数.由于代入上式得所以〔4〕解：对v求偏导数有解法1：由Cauchy-Riemann条件得对第二式两边对y积分得两边对*求导，并且与上面所得比拟有于是得即其中c为任意实常数.从而，即，由于代入上式得所以解法2：由Cauchy-Riemann方程和解析函数的求导公式可得于是其中c为任意实常数.由于代入上式得所以10.设和在简单闭路C上及其内部解析，试证：〔1〕假设在C上及其内部处处不为零，则有〔2〕假设在C上有则在C的内部有证明：〔1〕因为在简单闭路C上及其内部解析并且处处不为零，则在简单闭路C上及其内部处处解析，于是由Cauchy积分定理得〔2〕假设对于C上的任意一点有由于和在简单闭路C上及

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