等差数列的前n项和等差数列前n项和的应用NO课下检测

一、选择题1．在等差数列{an}中，S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为()A．7 B．6C．3 D．2解析：∵S2＝4，S4＝20，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4，,a3＋a4＝20－4＝16.))∴(a3＋a4)－(a1＋a2)＝12＝4d，即d＝3.答案：C2．(2022·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝()A．1 B．9C．10 D．55解析：S2＝S1＋S1＝2，可得a2＝1，S3＝S1＋S2＝3，可得a3＝S3－S2＝1，同理可得a4＝a5＝…＝a10＝1.答案：A3．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，则m＝()A．38 B．20C．10 D．9解析：因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，得：2am－aeq\o\al(2,m)＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以，am＝2，又S2m－1＝38，即eq\f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10.答案：C4．(2022·济宁高二检测)在等差数列{an}中，已知a3∶a5＝eq\f(3,4)，则S9∶S5的值是()\f(27,20) \f(9,4)\f(3,4) \f(12,5)解析：∵eq\f(S9,S5)＝eq\f(\f(9a1＋a9,2),\f(5a1＋a5,2))＝eq\f(9,5)×eq\f(a5,a3)＝eq\f(9,5)×eq\f(4,3)＝eq\f(12,5).答案：D二、填空题5．在数列{an}中，an＝4n－eq\f(5,2)，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab＝________.解析：∵an＝4n－eq\f(5,2)，∴a1＝eq\f(3,2).从而Sn＝eq\f(n\f(3,2)＋4n－\f(5,2),2)＝2n2－eq\f(n,2).∴a＝2，b＝－eq\f(1,2)，则ab＝－1.答案：－16．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.解析：由a1＝1，a2＝2且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)知，当n为奇数时，an＋2－an＝0；当n为偶数时，an＋2－an＝2.所以前100项中，奇数项为常数项1，偶数项构成以a2＝2为首项，2为公差的等差数列．∴S100＝50×2＋eq\f(50×49,2)×2＋50×1＝2600.答案：26007．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的的斜率为________．解析：由S5＝5a3＝55得，a3＝11，直线PQ的斜率k＝eq\f(a4－a3,4－3)＝4.答案：48．(2022·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.解析：法一：S9＝S4，即eq\f(9a1＋a9,2)＝eq\f(4a1＋a4,2)，∴9a5＝2(a1＋a4)，即9(1＋4d)＝2(2＋3d)，∴d＝－eq\f(1,6)，由1－eq\f(1,6)(k－1)＋1＋3·(－eq\f(1,6))＝0得k＝10.法二：S9＝S4，∴a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，∴a7＝0，从而a4＋a10＝2a7＝0，∴k＝10.答案：10三、解答题9．等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．解：数列{an}的公差d＝eq\f(a17－a1,17－1)＝eq\f(－12－－60,16)＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.由an<0，得3n－63<0，即n<21.∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数．设Sn、S′n分别表示数列{an}、{|an|}的前n项和，当n≤20时，S′n＝－Sn＝－[－60n＋eq\f(nn－1,2)×3]＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(123,2)n；当n>20时，S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋eq\f(nn－1,2)×3－2×(－60×20＋eq\f(20×19,2)×3)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(123,2)n＋1260.∴数列{|an|}的前n项和为S′n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(123,2)nn≤20，,\f(3,2)n2－\f(123,2)n＋1260n＞20.))10．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．解：(1)由题意知S6＝－eq\f(15,S5)＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝5，,a1＋5d＝－8))解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0