经济应用数学(第二版) 2-1导数的概念

§2.1

导数的概念

§2.2

导数运算

§2.3

微分

第二章导数与微分1

一.导数的定义

二.导数的几何意义§2.1导数的概念2案例如何求曲线上点处的切线的斜率？要回答这个问题,我们需要先定义曲线的切线.

切线

割线割线的斜率为：切线的斜率

一.导数的定义3何谓曲线的切线？

切线

割线当点沿着曲线趋于点时,割线便绕着点转动；当点无限趋于点时割线的极限位置是,则称直线为曲线过点处的切线.案例4

切线

割线何谓曲线的切线？当点沿着曲线趋于点时,割线便绕着点转动；当点无限趋于点时割线的极限位置是,则称直线为曲线过点处的切线.案例5

切线

割线何谓曲线的切线？当点沿着曲线趋于点时,割线便绕着点转动；当点无限趋于点时割线的极限位置是,则称直线为曲线过点处的切线.案例6

切线

割线何谓曲线的切线？当点沿着曲线趋于点时,割线便绕着点转动；当点无限趋于点时割线的极限位置是,则称直线为曲线过点处的切线.案例7

切线

割线何谓曲线的切线？当点沿着曲线趋于点时,割线便绕着点转动；当点无限趋于点时割线的极限位置是,则称直线为曲线过点处的切线.案例8

切线

割线何谓曲线的切线？当点沿着曲线趋于点时,割线便绕着点转动；当点无限趋于点时割线的极限位置是,则称直线为曲线过点处的切线.案例9

割线即

切线何谓曲线的切线？当点沿着曲线趋于点时,割线便绕着点转动；当点无限趋于点时割线的极限位置是,则称直线为曲线过点处的切线.案例10

割线即

切线割线的极限位置就是切线.案例由此,曲线上点处的切线的斜率为:11

以上计算过程是:先作割线,求出割线斜率;然后通过取极限,从割线过渡到切线,从而求得切线斜率.案例定义2.1设函数在点及其左右邻近有定义,若极限存在,则称函数

在点

可导,并称此极限值为函数

在点

的导数,记作或一.导数定义12

若上述极限不存在,则称函数在点不可导.即若记,则,且当时,有

,这样,函数在点的导数又可记作13练习1求函数在的导数.解在处,当自变量有改变量时,函数相应的改变量

,于是在的导数:用公式14练习1求函数在的导数.另解于是在的导数:用公式当自变量由3改变到时,,相应的函数的改变量,15即函数在区间上的导数定义

若函数在区间内每一点都可导,则对于每一个都有的一个导数值与之对应,这样就得到一个定义在上的函数,称为函数的导函数,记作或或或显然16练习2解求函数的导数,并求.用公式函数的导函数.先求对任意点,当自变量的改变量为,则因变量相应的改变量:

导函数由导函数再求指定点的导数值：17由练习2类似地推导,若是正整数,对函数有

进一步,我们可以得到,对任意实数,幂函数有导数公式：例如,当

时,的导数为:当

时,的导数为:18当

时,的导数为:练习3求常量函数的导数.

解对任意点,若自变量的改变量为,则总有:

于是即常数的导数等于零.19

二.导数的几何意义

函数在点的导数在几何上表示曲线在点处切线的斜率.由导数定义可知：

切线即

20由导数定义可知：若曲线

在

处的切线倾角为

(),则

(1)若,由知,倾角为锐角,在处,曲线是上升的,函数随增加而增加.21

(2)若,由知,倾角为钝角,在处,曲线是下降的,函数随增加而减少.

(3)若,由知,切线与轴平行,这样的点称为函数的驻点或稳定点.

驻点

驻点22试求出曲线在点(3,9)处的切线方程.

解

由于