概率论课程概率论第2章课件

第2章随机变量及其分布2.1随机变量及其分布函数2.4连续型随机变量及其密度函数2.3几种常见的离散型分布2.2离散型随机变量及其分布律2.6随机变量函数及其分布2.5正态分布第2章随机变量及其分布2.1随机变量及其分布函数2.1

随机变量及其分布函数一、随机变量二、随机变量的分布函数2.1随机变量及其分布函数一、随机变量二、随机变量的分布一、随机变量例

袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为一、随机变量例袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球我们记取出的黑球数为

X，则X的可能取值为1,2,3．因此,X是一个变量．但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称

X为随机变量．X的取值情况可由下表给出：我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1,2,3．由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量

X

的一个确定的取值，因此变量

X是样本空间Ω上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如

表示至少取出2个黑球这一事件，等等．

表示取出2个黑球这一事件；由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应我们定义了随机变此处用{w}表示样本空间，并非样本空间中只有一个元素w，而是用w表示所有的元素。随机变量的定义定义：设随机试验E的样本空间是Ω={w}，如果对于每一个w∈Ω，有一个实数X(w)与之对应，这样就得到一个定义在Ω上的单值实值函数X=X(w)，且对任何一个实数是随机事件，称为随机变量,简记为X。此处用{w}表示样本空间，并非样本空间中只有一个元素w，而是说明说明例1

上午8:00～9:00

在某路口观察，令Y：该时间间隔内通过的汽车数．则Y就是一个随机变量．它的取值为0，1，…．

表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；表示通过的汽车数大于

50辆但不超过100辆这一随机事件．例1上午8:00～9:00在某路口观察，令表示通过

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对随机试验结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式的不同，通常分为两类：离散型随机变量连续型非离散型其它随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随称为X的分布函数．0xxX

设X是一个随机变量,是任意实数,函数几何定义：二、随机变量的分布函数称为X的分布函数．0xxX设X是一个随机变量,是任意实概率论课程概率论第2章课件用分布函数F(x)表示的事件概率计算公式用分布函数F(x)表示的事件概率计算公式分布函数的性质(1)(3)F(x)右连续，即

(2)分布函数的性质(1)(3)F(x)右连续，即(2)

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX

的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(1)解(1)由题设,在上单调不减,右连续,并有所以是某一随机变量的分布函数.例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(1)解(1)由例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(2)(2)因在上单调下降,不可能是分布函数.所以解例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(2)(2)因在例3解(1)因为分布函数右连续,且例3解(1)因为分布函数右连续,且2.2离散型随机变量及其分布律一、离散型随机变量的分布律二、离散型随机变量的分布函数2.2离散型随机变量及其分布律一、离散型随机变量的分布律二定义如果一个随机变量仅可能取得有限个或可数无穷多个数值，则称该随机变量为离散型随机变量.设离散型随机变量X其可能的取值为称为离散型随机变量X的概率分布或概率函数，也称为分布列或分布律一、离散型随机变量的分布律定义如果一个随机变量仅可能取得有限个或可数无穷多个数值，则表格形式分布列的性质：表格形式分布列的性质：概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0.20.40.60120.0750.3250.6线条图0.20.40.6012PXPX0.0750.3250.6

012

X概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0例1袋中有1个白球和4个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布.解设X为取到白球时的取球次数X的可能取值为1,2,3,4,5不难求得因此,所求的概率分布为123450.20.20.20.20.2例1袋中有1个白球和4个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直则的分布函数为即，当时，时，当当时，当时，二、离散型随机变量的分布函数则的分布函数为即，当时，时，当当时，当时，二、离散型随机变量如图，是一个阶它在有跳跃，反之，若一个随机变量的分布函则一定是一个离散型随机变量，其概率分布亦由唯一确定.梯函数，跳跃度恰为随机变量点处的概率在数，数为阶梯函当时，)(xFxO2x1x3x......1p3p2p如图，是一个阶它在有跳跃，反之，若一个随机变量的分布函则一定X的分布函数为出现的点数小于x的概率1,2,3,4,5,6例2掷一枚骰子,设X表示出现的点数,其可能取值为没有可能的点数包含出现1点包含出现1,2点包含出现1,2,3点包含出现1,2,3,4点包含出现1,2,3,4,5点包含出现1,2,3,4,5,6点分布函数是累计概率X的分布函数为出现的点数小于x的概率1,2,3,4,5,6例例3有人对随机变量X的分布列表述如下:

-10123求

.解根据概率分布的性质所以解得(舍去)例3有人对随机变量X的分布列表述如下:-1作业P47练习2.12P51练习2.212作业P47练习2.12P51练习2.2122.3几种常见的离散型分布一、两点分布二、二项分布三、泊松(Poisson)分布四、超几何分布*2.3几种常见的离散型分布一、两点分布二、二项分布三、泊松定义若一个随机变量只有两个可能的取值,其分布为且特别地,点分布,即参数为的两则称服从处的两点分布.参数为若服从处则称服从参数为的分布.一、两点分布定义若一个随机变量只有两个可能的取值,其分布为且特别地,点分

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两例1200

件产品中,有

196

件是正品,则服从参数为0.98的两点分布.于是,4

件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定例1200件产品中,有196件是正品,则服从参数为0二、二项分布定义

若随机变量X的所有可能取值为0,1,2,,n,其概率分布为…

很显然,n重伯努利试验中成功的次数服从二项分布事实上,二项分布就是来源于n重伯努利试验模型二、二项分布定义若随机变量X的所有可能取值为0,1,2,n=1时，即P{X=0}=1-p,P{X=1}=pP{X=k}=pk(1-p)1-k

,(k=0,1)，(0-1)分布性质(1)(2)n=1时，即P{X=0}=1-p,P{X=1}=二项分布的图形特点:对于固定及当增加时,概率先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点:对于固定及当增加时,概率先是随之增加直至在图1和图2中，分别给出了当和时二项分布的图形.从图易看出：对于固定及当增加时，概率先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少.pknOn=10,p=0.7图1在图1和图2中，分别给出了当和时二项分布的图形.从图易看出：注：为不超过的最大整数.当为整数时，二项概率在和处达到最大值.可以证明，一般的二项分布的图形也具有这一性质，二项概率在达到最大值；不为整数时，且当pknOn=10,p=0.7图1注：为不超过的最大整数.当为整数时，二项概率在和处达到最大值例2

一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解每答一道题相当于做一次伯努利试验，则例2一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个解每答一道题相例3

按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品.已知某批产品的一级品率为0.2,现在从中随机地抽取20只,问20只元件中恰有k(k=0,1,2,…,20)只为一级品的概率为多少？记X为20只元件中一级品的只数,解例3按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为X,某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率。所求概率为则X~B(400,0.02),解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为X,某人进行射击，随机变量X所有可能取值为0,1,2,…,取各个值的概率称X服从参数为的泊松分布,记为X~P().(1)P{X=k}0.三、泊松(Poisson)分布性质随机变量X所有可能取值为0,1,2,…,取各个值的概率称X服泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中

,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水例5一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为6的Poisson分布，问一年中不多于两次意外断电的概率.解设一年中的意外断电次数为X所以,一年中不多于两次断电的概率为=0.06197查表(累积概率)例5一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为6的Poiss二项分布的泊松逼近对二项分布当试验次数很大时，计算其概率很麻烦.例如，要计算n=5000故须寻求近似计算方法.这里先介绍二项分布的泊松逼近，在第五章中还将介绍二项分布的正态逼近.二项分布的泊松逼近对二项分布当试验次数很大时，计算其概率很麻泊松定理在重伯努利实验中，事件在每次试验中发生的概率为若当时，为常数),则有该定理于1837年由法国数学家泊松引入！泊松定理在重伯努利实验中，事件在每次试验中发生的概率为若当时二项分布

泊松分布

可见，当n充分大,p又很小时,可用泊松分布来近似二项分布！实际计算中，时近似效果变很好.二项分布

由泊松定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等由泊松定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的次数例6

一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数可以用参数的泊松分布来描述,为了以95%以上的把握保证不脱销,问商店在月底至少应进该种商品多少件?解设该商品每月的销售数为已知服从参数的泊松分布.设商店在月底应进该种商品件,求满足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.例6一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记解设该商品每保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保,每个人一年内死亡的概率为0.005个，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过10人的概率．对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次伯努利试验，1000人就是做1000重伯努利试验，因此X~B(1000,0.005)，解由泊松定理保险公司为了估计企业的利润作业P58练习2.312作业P58练习2.3122.4连续型随机变量及其密度函数一、密度函数二、有关事件的概率三、几种常见的连续型分布2.4连续型随机变量及其密度函数一、密度函数二、有关事件的f()为X的概率密度函数,x简称密度函数或分布密度.(或分布密度函数),一、密度函数定义f()为X的概率密度函数,x简称密度函数或分布密度.(或xf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义xf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义根据定义,可以得到密度函数的如下性质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量的密度函数.根据定义,可以得到密度函数的如下性质常利用这两个性质检验一个二、有关事件的概率=0事实上二、有关事件的概率=0事实上积分中值定理积分中值定理例1设随机变量X的密度函数为求常数A及X的分布函数和

解所以例1设随机变量X的密度函数为求常数A及X的分布函数和1.如果随机变量X的密度函数为从密度函数的意义可知三、几种常见的连续型分布1.如果随机变量X的密度函数为从密度函数的意义可知三、几种常均匀分布的分布函数为均匀分布的分布函数为例2某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解以7:00为起点

0,以分为单位,依题意例2某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00解以

7:00为起点

0,以分为单位,依题意为使候车时间少于

5分钟,乘客必须在

7:10到7:15之间,或在

7:25到

7:30之间到达车站,故所求概率为即乘客候车时间少于5分钟的概率是

1/3.解以7:00为起点0,以分为单位,依题意为使候车时间少例3

设随机变量

X在

[2,5]上服从均匀分布,现对

X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

X的分布密度函数为

{X>3}

表示“对

X的观测值大于

3的概率”,解因而有设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则例3设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,2.如果随机变量

X的密度函数为则称X服从参数为

的指数分布的几何图形如图.注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间.例如，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.2.如果随机变量X的密度函数为则称X服从参数为的指指数分布的重要作用,是常用它来作为各种“寿命”的近似,如通讯、保险、随机服务系统等方面3.分布(略)易求得的分布函数指数分布的重要作用,是常用它来作为各种“寿命”的近似,如通讯例4某保险公司想开展一种新的寿险业务，被保险人需一次性缴纳保费1000元，若被保险人在10年内死亡，保险公司将赔负5000元，假设人的寿命服从参数为1/65的指数分布.试帮保险公司做出决策.解假设某人的寿命为X假设某人投保时年龄为S岁则此人再活10年以上的概率为例4某保险公司想开展一种新的寿险业务，被保险人需一次性缴纳保因此，被保险人在10年内死亡的概率为所以保险公司对该被保险人的预期收益为1000-0.1426*5000=287(元)结论:保险公司可以开展这种保险业务.因此，被保险人在10年内死亡的概率为所以保险公司对该被保险人一般化在已活s年的基础上,再活t年的概率等于寿命大于t年的概率.指数分布永远年轻一般化在已活s年的基础上,再活t年的概率等于寿命大于t年的概作业P63练习2.4124作业P63练习2.41242.5正态分布一、正态分布的密度函数及其特点二、标准正态分布三、一般正态分布与标准正态分布的关系2.5正态分布一、正态分布的密度函数及其特点二、标准正态分一、正态分布的密度函数及其特点一、正态分布的密度函数及其特点正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征概率论课程概率论第2章课件概率论课程概率论第2章课件

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如正态分正态分布下的概率计算原函数不是初等函数方法:转化为标准正态分布查表计算正态分布下的概率计算原函数不是方法:转化为标准正态分布查标准正态分布的概率密度表示为二、标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的概率密度表示为二、标准正态分布标准正标准正态分布具有如下特点标准正态分布具有如下特点例1=0.7517=1-0.9591=0.0409=0.8925=2*0.975-1=0.95=0.9591-1+0.7517=0.7108=2*(1-0.9671)=0.0658例1=0.7517=1-0.9591=0.0409=例2例2三、一般正态分布与标准正态分布的关系对一般的正态分布：X~N(,2)其分布函数作变量代换三、一般正态分布与标准正态分布的关系对一般的正态分布：X三、一般正态分布与标准正态分布的关系对一般的正态分布：X~N(,2)其分布函数作变量代换三、一般正态分布与标准正态分布的关系对一般的正态分布：X概率论课程概率论第2章课件例3=2*0.8413-1=0.6826=2*0.97725-1=0.9545=2*0.99865-1=0.9973事件的发生几乎是必然的例3=2*0.8413-1=0.6826=2*0.97

服从正态分布的随机变量X落在区间内的概率为0.9973，落在该区间外的概率只有0.0027.也就是说,X几乎不可能在区间之外取值。

由3原则知，服从正态分布的随机变量X落在区间

服从正态分布的随机变量X落在区间内的概率为0.9973，落在该区间外的概率只有0.0027.也就是说,X几乎不可能在区间之外取值。

由3原则知，服从正态分布的随机变量X落在区间例4从某地去火车站有两条路线,第一条路线经过市区,路程较短,但交通拥挤，所需时间(分钟)服从正态分布N(50,100),第二条路线经环城路，路程较长,所需时间服从正态分布N(60,16),若只有70分钟可用,应走哪一条路线?若只有65分钟呢?解

设所需时间分别为T和X,显然应走在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的路线.(1)在70分钟内,两条路线能及时赶到的概率分别为因此在这种情况下，应走第二条路线.例4从某地去火车站有两条路线,第一条路线经过市区,路程较(2)在65分钟内,两条路线能及时赶到的概率分别为因此在这种情况下，应走第一条路线.(2)在65分钟内,两条路线能及时赶到的概率分别为因此在这作业P68练习2.5234作业P68练习2.52342.6随机变量函数及其分布一、随机变量函数的定义二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布2.6随机变量函数及其分布一、随机变量函数的定义二、离散型实例两个赌徒用一枚骰子进行赌博,甲若掷出x点,则可得(或付)10x-35元,分析甲在一次掷骰子中的输赢.显然实例两个赌徒用一枚骰子进行赌博,甲若掷出x点,则可得(或付)一、随机变量函数的定义定义

分别就离散型随机变量和连续型随机变量进行讨论问题一、随机变量函数的定义定义分别就离散型随机变量和连续型随机

Y的可能值为即0,

1,

4.解例1二、离散型随机变量函数的分布Y的可能值为即0,1,4.故Y的分布律为由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.故Y的分布律为由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布Y的分布律为例2

设解Y的分布律为例2设解

第一步

先求Y=2X+8的分布函数解例3三、连续型随机变量函数的分布解例3第一步先求Y=2X+8的分布函数解例第二步

由分布函数求概率密度.第二步由分布函数求概率密度.解例4再由分布函数求概率密度.解例4再由分布函数求概率密度.概率论课程概率论第2章课件概率论课程概率论第2章课件证明X的概率密度为例5证明X的概率密度为例5概率论课程概率论第2章课件作业P71练习2.612P72习题二作业P71练习2.612P72习题二第2章随机变量及其分布2.1随机变量及其分布函数2.4连续型随机变量及其密度函数2.3几种常见的离散型分布2.2离散型随机变量及其分布律2.6随机变量函数及其分布2.5正态分布第2章随机变量及其分布2.1随机变量及其分布函数2.1

随机变量及其分布函数一、随机变量二、随机变量的分布函数2.1随机变量及其分布函数一、随机变量二、随机变量的分布一、随机变量例

袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为一、随机变量例袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球我们记取出的黑球数为

X，则X的可能取值为1,2,3．因此,X是一个变量．但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称

X为随机变量．X的取值情况可由下表给出：我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1,2,3．由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量

X

的一个确定的取值，因此变量

X是样本空间Ω上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如

表示至少取出2个黑球这一事件，等等．

表示取出2个黑球这一事件；由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应我们定义了随机变此处用{w}表示样本空间，并非样本空间中只有一个元素w，而是用w表示所有的元素。随机变量的定义定义：设随机试验E的样本空间是Ω={w}，如果对于每一个w∈Ω，有一个实数X(w)与之对应，这样就得到一个定义在Ω上的单值实值函数X=X(w)，且对任何一个实数是随机事件，称为随机变量,简记为X。此处用{w}表示样本空间，并非样本空间中只有一个元素w，而是说明说明例1

上午8:00～9:00

在某路口观察，令Y：该时间间隔内通过的汽车数．则Y就是一个随机变量．它的取值为0，1，…．

表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；表示通过的汽车数大于

50辆但不超过100辆这一随机事件．例1上午8:00～9:00在某路口观察，令表示通过

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对随机试验结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式的不同，通常分为两类：离散型随机变量连续型非离散型其它随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随称为X的分布函数．0xxX

设X是一个随机变量,是任意实数,函数几何定义：二、随机变量的分布函数称为X的分布函数．0xxX设X是一个随机变量,是任意实概率论课程概率论第2章课件用分布函数F(x)表示的事件概率计算公式用分布函数F(x)表示的事件概率计算公式分布函数的性质(1)(3)F(x)右连续，即

(2)分布函数的性质(1)(3)F(x)右连续，即(2)

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX

的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(1)解(1)由题设,在上单调不减,右连续,并有所以是某一随机变量的分布函数.例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(1)解(1)由例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(2)(2)因在上单调下降,不可能是分布函数.所以解例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(2)(2)因在例3解(1)因为分布函数右连续,且例3解(1)因为分布函数右连续,且2.2离散型随机变量及其分布律一、离散型随机变量的分布律二、离散型随机变量的分布函数2.2离散型随机变量及其分布律一、离散型随机变量的分布律二定义如果一个随机变量仅可能取得有限个或可数无穷多个数值，则称该随机变量为离散型随机变量.设离散型随机变量X其可能的取值为称为离散型随机变量X的概率分布或概率函数，也称为分布列或分布律一、离散型随机变量的分布律定义如果一个随机变量仅可能取得有限个或可数无穷多个数值，则表格形式分布列的性质：表格形式分布列的性质：概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0.20.40.60120.0750.3250.6线条图0.20.40.6012PXPX0.0750.3250.6

012

X概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0例1袋中有1个白球和4个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布.解设X为取到白球时的取球次数X的可能取值为1,2,3,4,5不难求得因此,所求的概率分布为123450.20.20.20.20.2例1袋中有1个白球和4个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直则的分布函数为即，当时，时，当当时，当时，二、离散型随机变量的分布函数则的分布函数为即，当时，时，当当时，当时，二、离散型随机变量如图，是一个阶它在有跳跃，反之，若一个随机变量的分布函则一定是一个离散型随机变量，其概率分布亦由唯一确定.梯函数，跳跃度恰为随机变量点处的概率在数，数为阶梯函当时，)(xFxO2x1x3x......1p3p2p如图，是一个阶它在有跳跃，反之，若一个随机变量的分布函则一定X的分布函数为出现的点数小于x的概率1,2,3,4,5,6例2掷一枚骰子,设X表示出现的点数,其可能取值为没有可能的点数包含出现1点包含出现1,2点包含出现1,2,3点包含出现1,2,3,4点包含出现1,2,3,4,5点包含出现1,2,3,4,5,6点分布函数是累计概率X的分布函数为出现的点数小于x的概率1,2,3,4,5,6例例3有人对随机变量X的分布列表述如下:

-10123求

.解根据概率分布的性质所以解得(舍去)例3有人对随机变量X的分布列表述如下:-1作业P47练习2.12P51练习2.212作业P47练习2.12P51练习2.2122.3几种常见的离散型分布一、两点分布二、二项分布三、泊松(Poisson)分布四、超几何分布*2.3几种常见的离散型分布一、两点分布二、二项分布三、泊松定义若一个随机变量只有两个可能的取值,其分布为且特别地,点分布,即参数为的两则称服从处的两点分布.参数为若服从处则称服从参数为的分布.一、两点分布定义若一个随机变量只有两个可能的取值,其分布为且特别地,点分

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两例1200

件产品中,有

196

件是正品,则服从参数为0.98的两点分布.于是,4

件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定例1200件产品中,有196件是正品,则服从参数为0二、二项分布定义

若随机变量X的所有可能取值为0,1,2,,n,其概率分布为…

很显然,n重伯努利试验中成功的次数服从二项分布事实上,二项分布就是来源于n重伯努利试验模型二、二项分布定义若随机变量X的所有可能取值为0,1,2,n=1时，即P{X=0}=1-p,P{X=1}=pP{X=k}=pk(1-p)1-k

,(k=0,1)，(0-1)分布性质(1)(2)n=1时，即P{X=0}=1-p,P{X=1}=二项分布的图形特点:对于固定及当增加时,概率先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点:对于固定及当增加时,概率先是随之增加直至在图1和图2中，分别给出了当和时二项分布的图形.从图易看出：对于固定及当增加时，概率先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少.pknOn=10,p=0.7图1在图1和图2中，分别给出了当和时二项分布的图形.从图易看出：注：为不超过的最大整数.当为整数时，二项概率在和处达到最大值.可以证明，一般的二项分布的图形也具有这一性质，二项概率在达到最大值；不为整数时，且当pknOn=10,p=0.7图1注：为不超过的最大整数.当为整数时，二项概率在和处达到最大值例2

一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解每答一道题相当于做一次伯努利试验，则例2一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个解每答一道题相例3

按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品.已知某批产品的一级品率为0.2,现在从中随机地抽取20只,问20只元件中恰有k(k=0,1,2,…,20)只为一级品的概率为多少？记X为20只元件中一级品的只数,解例3按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为X,某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率。所求概率为则X~B(400,0.02),解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为X,某人进行射击，随机变量X所有可能取值为0,1,2,…,取各个值的概率称X服从参数为的泊松分布,记为X~P().(1)P{X=k}0.三、泊松(Poisson)分布性质随机变量X所有可能取值为0,1,2,…,取各个值的概率称X服泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中

,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水例5一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为6的Poisson分布，问一年中不多于两次意外断电的概率.解设一年中的意外断电次数为X所以,一年中不多于两次断电的概率为=0.06197查表(累积概率)例5一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为6的Poiss二项分布的泊松逼近对二项分布当试验次数很大时，计算其概率很麻烦.例如，要计算n=5000故须寻求近似计算方法.这里先介绍二项分布的泊松逼近，在第五章中还将介绍二项分布的正态逼近.二项分布的泊松逼近对二项分布当试验次数很大时，计算其概率很麻泊松定理在重伯努利实验中，事件在每次试验中发生的概率为若当时，为常数),则有该定理于1837年由法国数学家泊松引入！泊松定理在重伯努利实验中，事件在每次试验中发生的概率为若当时二项分布

泊松分布

可见，当n充分大,p又很小时,可用泊松分布来近似二项分布！实际计算中，时近似效果变很好.二项分布

由泊松定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等由泊松定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的次数例6

一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数可以用参数的泊松分布来描述,为了以95%以上的把握保证不脱销,问商店在月底至少应进该种商品多少件?解设该商品每月的销售数为已知服从参数的泊松分布.设商店在月底应进该种商品件,求满足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.例6一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记解设该商品每保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保,每个人一年内死亡的概率为0.005个，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过10人的概率．对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次伯努利试验，1000人就是做1000重伯努利试验，因此X~B(1000,0.005)，解由泊松定理保险公司为了估计企业的利润作业P58练习2.312作业P58练习2.3122.4连续型随机变量及其密度函数一、密度函数二、有关事件的概率三、几种常见的连续型分布2.4连续型随机变量及其密度函数一、密度函数二、有关事件的f()为X的概率密度函数,x简称密度函数或分布密度.(或分布密度函数),一、密度函数定义f()为X的概率密度函数,x简称密度函数或分布密度.(或xf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义xf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义根据定义,可以得到密度函数的如下性质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量的密度函数.根据定义,可以得到密度函数的如下性质常利用这两个性质检验一个二、有关事件的概率=0事实上二、有关事件的概率=0事实上积分中值定理积分中值定理例1设随机变量X的密度函数为求常数A及X的分布函数和

解所以例1设随机变量X的密度函数为求常数A及X的分布函数和1.如果随机变量X的密度函数为从密度函数的意义可知三、几种常见的连续型分布1.如果随机变量X的密度函数为从密度函数的意义可知三、几种常均匀分布的分布函数为均匀分布的分布函数为例2某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解以7:00为起点

0,以分为单位,依题意例2某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00解以

7:00为起点

0,以分为单位,依题意为使候车时间少于

5分钟,乘客必须在

7:10到7:15之间,或在

7:25到

7:30之间到达车站,故所求概率为即乘客候车时间少于5分钟的概率是

1/3.解以7:00为起点0,以分为单位,依题意为使候车时间少例3

设随机变量

X在

[2,5]上服从均匀分布,现对

X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

X的分布密度函数为

{X>3}

表示“对

X的观测值大于

3的概率”,解因而有设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则例3设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,2.如果随机变量

X的密度函数为则称X服从参数为

的指数分布的几何图形如图.注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间.例如，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.2.如果随机变量X的密度函数为则称X服从参数为的指指数分布的重要作用,是常用它来作为各种“寿命”的近似,如通讯、保险、随机服务系统等方面3.分布(略)易求得的分布函数指数分布的重要作用,是常用它来作为各种“寿命”的近似,如通讯例4某保险公司想开展一种新的寿险业务，被保险人需一次性缴纳保费1000元，若被保险人在10年内死亡，保险公司将赔负5000元，假设人的寿命服从参数为1/65的指数分布.试帮保险公司做出决策.解假设某人的寿命为X假设某人投保时年龄为S岁则此人再活10年以上的概率为例4某保险公司想开展一种新的寿险业务，被保险人需一次性缴纳保因此，被保险人在10年内死亡的概率为所以保险公司对该被保险人的预期收益为1000-0.1426*5000=287(元)结论:保险公司可以开展这种保险业务.因此，被保险人在10年内死亡的概率为所以保险公司对该被保险人一般化在已活s年的基础上,再活t年的概率等于寿命大于t年的概率.指数分布永远年轻一般化在已活s年的基础上,再活t年的概率等于寿命大于t年的概作业P63练习2.4124作业P63练习2.41242.5正态分布一、正态分布的密度函数及其特点二、标准正态分布三、一般正态分布与标准正态分布的关系2.5正态分布一、正态分布的密度函数及其特点二、标准正态分一、正态分布的密度函数及其特点一、正态分布的密度函数及其特点正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征概率论课程概率论第2章课件概率论课程概率论第2章课件

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如正