通信原理考研辅导经典笔记考研辅导

§8最佳接收要点：通信系统的统计模型、最佳接收机的原理和结构最佳接收机的性能分析最佳基带系统§8o1通信系统的统计模型图8.1数字通信的统计模型数字通信系统的统计模型如图8.1所示。发送的消息对应于信源，（消息是信息的载体）,消息的集合U就构成所谓的超商至7旗（例如，由26个字母组成的英语消息空间）。消息要通信，必须转化成适合于信道传输的信号（即通常意义下的编码与调制），并且它是-一对应的，那么消息空间中的消息就一一映射到那号空间X中的信号。在信号空间中，信号被设计成适合于信道传输的形式，对于带通型的信道，则信号应该是带通型的信号；对于基带型信道，信号应该是基带型信号。在某一个码元传输时间内，消息空间中发送的消息是随机产生的，因此对应于消息空间的传输信号也是随机的，但是山于信号空间中对应各消息的信号是确定的（如二进制2PSK信号空间中，两个信号分别是土Acos2犹1）,经过信道后由于信道白噪声的加入，使接收信号在接收端变成了随机的信号。例如，对于二进制调制信号的接收信号为：±Acos2/f+n（t）o假设接收时载波和时间是同步的，则在某个码元时间内，从接收机的角度看，接收机收到信号空间中某个经过噪声污染的信号，但是它并不知道当前码元时间内传送的是什么消息。接收机的主要任务是确定一种判断方法，以接收到的信号为基础判断当前的发送信息是什么？确定判决方法是容易也是多样的，但是什么样的判决方法是最佳的呢？这就是数字信号的最佳接收机试图解决的问题。此处最佳的含义一般指通信误码率最小。接收机根据接收信号Y，判断X。它的工作一股可以分为（或者可以等效成）两部分，一部分把接收的波形处理后得到一个判决依据R，叫“判决量”，另一部分进行判决。如图8-2示。TOC\o"1-5"\h\z ►信号识别 ► ―y（r） ,R 、i ►判决8；梃W ►M决 ―^ ►、~——— J图8.2AWGN信道下的接收机AWGN信道下接收信号的统计特性理想AWGN信道下，假设发送端前后码元的发送是统计独立的，且接收端载波定时同步，则在任意码元时间间隔内，接收信号可以表示为y0）=xa）+〃a）,其中〃“）是均值为0,双边功率谱密度为区的高斯白噪声，X。）是发送信号经过信道后在接收端收到的信号分量，x（f）e{sW）,S2（f）..3Ma）},这里将集合X={s«）,S2⑺.•.Sm。）}称为信号空间，设信号映射将信源符号U={Xl,X2,...,XM}——映射至信号空间X={s,（t）,s2（t）...sM（/））。X（t） 带宽为B的|y（f）=X（r）+nB（/）->1 '—>滤波器 》〃⑴▲图8.3理想AWGN信道下数字接收分析的模型如图8.3所示，对接收信号y«）进行奈奎斯特抽样，得到M）=M4）+"&），o</,.<ts其中T,是码元间隔。假设滤波器是理想的，〃8（。是窄带的高斯过程，其均值为0、方差为〃,当B无限宽时，信道就是理想AWGN信道。对〃A。进行抽样，抽样速率为28,则各抽样点之间是互相独立的、均值为0、方差为〃,出的高斯随机变量。在T,时间内，抽样点数为N=T,2B,抽样间隔为。=」一。必）...>（八）I取）,尤（4）…））= 1 _（叫-血）尸 1 f_=£c））2=n万二e2斓=（。）2渴1=0[2勿2（/.N1 -^~^7〉心）一工《））24= 1 ,2MA（2〃°B力产2

当B很大时,1 当B很大时,1 dtQ〃oB兀)n'2ei（2加心严2(y(r)-x(f))2dr(8-1)§8o2最佳接收原理及其结构由前述可知，接收问题是一个后验判决的问题，数字通信中，判决输出的是有限集中的元素（与输入是有限集中的元素对应），根据后验概率最大判决准进行判决能使系统的平均误码率最低。.MAP准则（最大后验概率准则）最大后验概率（MAP）准则描述如下：“如果「（%«）及（。）＞「匹"（。,，=1,2...“及"）），则判决为不⑴”“如果p（xm|r）＞p（x"= |y）,则判决为xmn即：判决输出为X,=argmaxP（X“,|丫）。对于二进制数字通信系统来说，则变成：“P（So«）|y（r））＞P（S|（1）|ya））,判决为即：舞瑞端”则判决为。则判决为1P(x(r)=So(f)|则判决为1P(x(t)=s,(z)Iy(0).最大似然准则（ML准则）根据Bayes准则，后验概率与先验概率的有如下关系:p（x/）=p（yp（x/）=p（y|x）p（x）最大,(8-2)最大,(8-2)因此，使尸（%|丫）最大，就是使p（x〃"丫）=P"p（y|x,”）p（x,“）：p（y|x,y,“）p（x,）

p（y）p（y）所以，最大后验概率准则变成“p(y।xm)p(xj>p(y|Xi*m)p(Xj*m),判决为xj实现上述最大后验概率准则的充分条件为：«f(y|Xm)P(Xn)>f{y|X(36m)P(X()，判决为 (8-3)即符合最大似然准则的判决一定能满足最大后验概率准则。其中，lx』称为信号X,”的似然函数，对于二元通信，上述准则变成f(Y|X0)P(X0)>f(Y|X,)P(X,).判决为0；反之，判决为1” (8-4)采用最大后验概率准则需要已知后验概率分布，计算起来比较不方便，ML准则直接利用信道的转移概率，分析起来会方便些，并且满足ML准则一定满足最大后验概率准则。以下采用ML准则作为我们的分析基础。.最大似然准则下的最佳接收机1)相关接收机下面先从二元数字通信入手，最终推广到M进制的情况。假设发送端，消息空间U的取值只有两种可能(即0、1),经过调制后将0、1一一对应成信号空间中的两个信号/«),花。)，经过信道后，在某个码元间隔时间内，接收到的信号y(t)=xl(t)+n(t)根据最大似然准则式8-4,判决的规则应该如下：“〃y|Xo)P(Xo)>〃y|X1)P(XJ,判决为0；反之，判决为1”由将式(8-1)带入上述判决规则，得/("。)=—"'""心=6£和旧,)-％(讲+")-』(讨皿>生L2判为0f(y\xi)6々:飙’11西" p(x。)'为便于计算，将上式两边取对数，化简后得到，判为0；反之判为1。 (8-5)假设发送0、1等概时，可以得到如下的判决规则：fy(t)x0(t)dt-^E0>£'y(r)x,⑺力一;E1时,判决为0f --E0<I'y(f)X](r)力一，£\时，判决为1。力 2 4 2这里，£0=£1x0(t}2dt,E1=£xx(tydt因此，根据这种规则构造的接收机具有最佳性能，这种结构的接收机构造如图8.4示:

二元相关最佳接收机形式也可以如卜.图8.5所示:图8.5二元最佳接收机结构2同理，M进制的相关最佳接收机的结构如下图8.6：图8.6M进制最佳接收机结构例1、双极性二元码(NRZ)假设二进制信息0、1对应的信号波形如下，且假设0、1等概出现,+iM吟，发1x(r)=<-\|r|<—,发0。■问如何构造对上述信号进行最佳接收的接收机？解：因为0、1等概，且E0=E1=力=1所以，最佳接收机应满足fy")x()(i)力>£'y(t)x{(t}dt,判为o即-2，y⑺力〉0,判为0所以，最佳接收机的结构可以构造如下：2)匹配滤波器最佳接收机还可以有另外的一种结构，即匹配滤波器。通信系统的误码率与输出的信噪比有关，接收端输出信噪比越大，则系统的误码率越小。因此，如果在每次判决前，输出的信噪比都是最大的，则该系统一定是误码率最小的系统。遵从这种考虑原则，可以得到匹配滤波器的概念。接收机通过匹配滤波器使在抽样时刻输出信噪比最大。匹配滤波器原理假设线性滤波器的输入端是信号与噪声的叠加5(r)=x(t)+〃(r),且假设噪声n(t)是白N噪声，其功率谱密度？(/)=寸，信号的频谱为X(7)。问题：设计一个滤波器使输出端的信噪比在某时刻达到最大。假设该滤波器的系统响应函数为“(/),系统冲击响应为/?”)，则输出信号y(t)=s0(t)+no(t)其中，在4时刻，信号的功率为15„(r0)|2输出噪声的功率谱密度Pn(/)=y-1〃(/)/输出噪声平均功率为P〃=1 |"(/)「df所以，％时刻输出的信噪比为:

%二&g)|2IJX(/)”(/)/叫。Pn%二&g)|2IJX(/)”(/)/叫。Pn£ylW)l2#根据Schwarts不等式，।rx(/)y(/)疗12Krix(ni2#riK(m2可J-co J-x J-x(8-6)(8-7)可以得到「IX⑺”ZE,2(8-8)当H(f)=KXIf)”?叫时等式成立。因此，如果设计一个滤波器，它的系统响应函数为//(/)=0(/)*/2咻时，滤波器输出信噪比最大。•匹配滤波器结构匹配滤波器的冲激响应h(t)为”(/)=KX(f)*eT2* (8-9)两边取傅立叶反变换，得到h(t)=Kx(t0-t)' (8-10)如果输入信号x(f)是实信号,则果f)=Kx(t0-t)把以上的结论用在数字通信ho假设符号的传输速率则在接收端同样地需要每隔T,时间进行一次判决，且希望在每T,时刻的输出信噪比最大，将上述的J用A带入，得到匹配滤波器如下：h(t)=Kx(Ts-r)»匹配滤波器与相关接收机的关系由匹配滤波器的冲激响应函数力。)=KxJ-t),当接收端输入为S«)=X[«)+〃“)时，在相对于X』。的匹配滤波器端输出信号r(r)=[5(r)/?(r-r]dr=[ +n](T)]Kx](/-Tx+r)dr

=K£'x1(rjx,(r+t-Ts)dT+jKn{(v)xx(t-Ts+T)dr当f=T，时，得到r(7；)=K/七(r)x,(r)Jr+Kfn,⑺演(r)Jr= 力 (相关接收机形式)可以看到，在1=7；的取样点上，匹配滤波器与相关接收机的结果是等价的。图8.7匹配滤波器形式的最佳接收机结构由上分析可见，匹配滤波器形式的最佳接收机与相关形式的最佳接收机其性能一样。3)正交展开的相关接收机*由于数字调制信号是有限集信号，因此数字信号可以展开成正交函数的线性和形式，即k=[将上式带入AWGN信道下的最大似然准则(式8-4),并用式8-1得到f(y(0~sm(t))2dt-n0InP(X,“)<£(y(t)-s^m(t))2dt-n0InP(X^m)(8-11)N将y(f)=Z%£Q)，其中力•=j'y(f)A(f)力带入式8-11中的积分式，得到k=\(y(t)-sm(t))2dt=£y(t)2dt-2^'y(t)sm(t)dt+^'sm(t)2dtf^rN NN'y")2力-21Zsm，0)y⑺力+[XZsQm/⑺力⑺力1N N N=L-v*一2tssm+£/A=1 &=1 k=\

=X(%f厅 (8一⑵jt=l所以，最大似然准则变成£(九-s,.)2-〃01np一5注)2-〃oInP(XJ,判为X”,，*=i t=i(8-13)举例说明该判决准则是判决调制星座图(正交展开的二维信号)的方法，如果定义欧式距离为信号之间的距离的话，即［2=((,«)一%«))2力=火(九一5成)2,则判决准则k=\实际可以理解成：“距离接收信号欧式距离最近的星座点即为最佳判决输出二如QPSK,16QAM信号的星座图及其判决区域等。最佳接收机的正交展开形式，决“抨利In，决“抨利In由上可以得到正交展开形式的最佳接收机，如下图。图8.8正交展开形式的最佳接收机y(r)正交展开后的统计特性N N Ny(f)=Sm")+n(t)= + +〃")-Z〃kf《)jt=l *=l k=\(8-14)这里，九=’.+〃*,〃*=j〃⑺人⑺力。可以证明，%之间是互相独立的随机变N量，且均值为0,方差为％/2。由于0(。=〃(。-与％是不相关的，即从«=1。(。中是不知道任何关于s,“(r)的信息的，因此忽略它对判决的结果没有影响。即E[o(t)yk]=E凡⑷⑺]+E[nko(t)]=E[nko(t)]NE[n（t）n（T）]fk（T）dr-2凤〃,4）/,（0

f=l=~-/*（/）--yA（O=O （8-15）所以，1 （力一%1）2 rqf（yk1^）=/g2，，/=£〃/]=U （8-16）、/2my2 2§8o3接收机的性能分析1、QPSK信号的系统性能分析(2001年考研题)2、MASK信号的系统性能分析(有时间的话)。3、带码间干扰的系统的计算。§8o4最佳基带系统最佳基带系统的设计原则：保证系统是抽样点无码间干扰的系统。保证收发匹配。1、理想信道下的最佳基带系统什么是理想信道？理想信道就是对信号衰减为1,噪声为加性高斯白噪的信道模型。最佳基带传输系统的传递函数〃(7)=Gr(/)C(/)Gr(/)要满足无码间干扰条件，又要符合最佳接收机形式。因为是理想信道，信道的传递函数是常数，所以〃(/)=Gt(/)Gr(/)要满足奈奎斯特无码间串扰条件。如果我们令接收滤波器GR(/)=Gr(/)*eT2",则接收机与发射机形成匹配形式，可以保证判决时信噪比最大。因此综合以上结果，设计最佳基带系统应按2步设计：(1)、根据频谱的要求设计无码间干扰系统的传递函数〃(/)(2)、令Gr(/)=VWi，GR(/)=VWk，2"举例1,假设某二元通信系统的信息速率为1200bits/s,采用基带传输，已知信道的带宽为1200Hz,请设计最佳通信方式，并画出系统框图和必要的设计参数。解：为了适应信道的带宽要求，必须设计在1200Hz带宽内无码间干扰的传输系统，根据无码间干扰的准则，我们可以得到整个系统的传递函数应为。=1的升余弦函数。因此H(f)=21l+cos叽]Gr(/)=7W).GR(f)=y[H(f)e-^例题分析：最佳基带系统的性能分析（99年考研题10题）2、非理想信道下的最佳基带系统*非理想信道下的最佳基带系统设计与理想信道下一样，只不过由于信道非理想，通常在设计无码间干扰传递函数前，先对信道进行理想化，这在实际系统中•般用均衡技术解决。然后按照理想信道的最佳基带传输系统进行设计。§9信道编码与差错控制要点：1、掌握差错控制编码的基本概念（码距、最小码距、编码率、纠错能力、检错能力、随机差错、突发差错）2、掌握基本的差错控制编码原理，（纠检错能力与最小码距的关系），差错控制方式（FEC、ARQ、混合）3、简单差错控制编码（奇偶校验、行列奇偶校验，纠错码+交织）4、线性分组码（汉明码的最小码距、设计、生成矩阵、监督矩阵概念）5、循环码（生成多项式、生成矩阵、监督矩阵、编码器）6、卷积码（结构、格状图、树图、网格图、编码、译码*）7、信道编码的译码方法：最大似然序列译码、最短汉明距译码§9o1信道差错及其控制方法应用信道编码能有效地减少信道译码差错，相应地如果要求一定的传输质量，信道编码的应用还允许减少发射功率。信道编码的主要原理是在传输信息的同时加入信息冗余（与信源编码正好相反），通过信息冗余来达到信道差错控制的目的。当接收机利用该冗余信息来译码时，此时不需要反馈信道，这种方式就称为前向纠错译码：当接收机利用该冗余信息对传输信息进行差错检验并将检验结果反馈，发送端根据反馈结果决定是否用发信息时，这种方式就称为自动重复要求（ARQ）。信道编码一般可以分成两大类，即分组码和卷积码。分组码是基于严格的代数理论建立的一种有效的信道编码;分组码编码是将输入信息分成不同的组,对各组信息分别独立编码,加入冗余信息，因此分组码传输时，组与组之间是独立的，其译码也是分组独立译码。卷积码编码是将输入信息与一固定结构的编码器进行卷积，卷积的输出作为传输信息。由于卷积的关系，卷积码的输出信息是前后关联的，因此译码时，卷积码一般采用序列译码的方式。I、差错控制的目的及其需要性

由于信道传输不可避免的噪声及其他影响，通过在发送端提供信息冗余来提供信息的检验和差错控制，使通信系统达到高的可靠性，就是差错控制编码的基本任务。差错控制编码的基本思路:在发送端将被传输的信息附上一些监督码元，这些多余的码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联（约束）。接收端按照既定的规则校验信息码元与监督码元之间的关系，•旦传输发生差错，则信息码元与监督码元的关系就受到破坏，从而接收端可以发现错误乃至纠正错误。2、信道差错的模式随机差错差错的出现是随机的，一般而言差错出现的位置是随机分布的。这种情况一般是由信道的加性随机噪声引起的。一般将这种信道称为幽极信道.突发差错差错的出现是一连串出现的。这种情况如移动通信中信号在某一段时间内发生衰落，造成串差错；光盘上的条划痕等等。这样的信道称为整套道，混合差错既有突发错误又有随机差错的情况。这种信道称之为海合信道。3、差错控制的基本方法检错重发（ARQ）检错重发：在接收端根据编码规则进行检查，如果发现规则被破坏，则通过反向信道要求发送端重新发送，直到接收端检查无误为止。ARQ系统具有各种不同的重发机制：如可以停发等候重发、X.25协议的滑动窗口选择重发等。ARQ系统需要反馈信道，效率较低，但是能达到很好的性能。前向纠错前向纠错（FEC）：发送端发送能纠正错误的编码，在接收端根据接收到的码和编码规则，能自动纠正传输中的错误。不需要反馈信道，实时性好，但是随着纠错能力的提高，编译码设备复杂。混合方式（混合ARQ）结合前向纠错和ARQ的系统，在纠错能力范围内，自动纠正错误，超出纠错范围则要求发送端重新发送。它是•种折中的方案。§9o2信道编码的基本知识及码的纠检错能力例1,假设发送的信息0、1（等概），采用2PSK方式，最佳接收的系统误比特率为现在假设匕=1。一3（即平均接收I。。。个中错一个）。如果将信息0编码成00，信息1编码成11,还是采用刚才的系统，则在接收端：如果发送00,收到01、10,我们知道发生了差错，要求发送端重新传输，直到传送正确为止，因此只有当收到11时，我们才错误地认为当前发送的是1。因此在这种情况下发2生译码错误的概率是一匕2；同理，如果发送的是11,只有收到00时才可能发生错误译码，因此在这种情况下发生译码错误的概率是2所以采用00、11编码并采用ARQ方式的系统误比特率为Pe\一、纠错编码的分类1、分组码(n,k)分组码将k个比特编成n个比特一组的码字(码组)(Codewords),通常将分组码表示为(n,k)形式，因此输入有2*种组合，输出码字空间具有2"种组合(n>k),(n,k)编码器实际上是从输入码字空间到输出码字空间的一种一一映射,输出实际上是在输出码字空间中挑出的2k个许用码字。2、卷积码(n,k,N)卷积码是另外一种编码方法，它也是将k个信息比特编成n个比特，但k和n通常很小，特别适合以串行形式进行传输，时延小。与分组码不同，卷积码编码后的n个码元不仅与当前段的k个信息有关，还与前面的N-1段信息有关，编码过程中互相关联的码元个数为nN。二、纠错编码的基本原理设I为输入码字空间，C为输出码字空间，(n,k)编码规则力I-C为一一映射。若I空间中的码字用1= …/°)k元组表示，c空间中的码字用C=(c“_|C时2…c0)n元组表示，CpCjeC,4表示码字q第k个比特的值。定义1、码字间的汉明距%=£(q*㊉CjQ，㊉表示比特异或。*=1码字间的汉明距即为两个码字间不相同的比特数。例如，码字(1100111)与码字(1011001)之间的汉明距为5。定义2、码字的码重卬码字中的比特1的个数。例如，码字(1100111)的码重为5。定义3、最小码距“min码空间中任意两个码字间最小的汉明距。即dmin= 。Cj,CjeC最小码距与码的纠错、检错性能之间的关系：为了检测e个错误，要求最小码距dminNe+1设码字C发生的差错为e,由于最小码距为dmin，则当e2dmM时，C可能错为其他的可用码字，导致不能检测出差错的发生。因此，为了检测e个错误，要求最小码距

mm2e+1。为了纠正t个错误，要求最小码距2e+1。设所有码字均具有纠正t个错误的能力，设码字C发生差错为3为了不使差错后的码字落入其他码字的纠错能力范围，因此要求码字C与其他码字的距离至少为2t+l,即min22f+1。为了纠正t个错误，同时检测e个错误，要求最小码距"皿仙Nr+e+122f+1。当码字C要求能同时纠t个错误，同时还能检测e个错误，那么若码字C发生e个差错，则它不能落在另外码字的纠错能力t内，因此要求Ne+f+1。§9o3简单的信道编码1、奇偶校验码这是一种最简单的检错码，在计算机数据传输中得到广泛应用。假设奇偶监督码的码字表示为：则偶校验码：㊉a_2㊉…㊉（即偶数个1）奇校验码：㊉。吁2㊉…㊉4=1（即奇数个1）可见这种码的最小码距为2,只能检1个错。2、二维奇偶校验码为了提高奇偶校验码对突发错误的检测能力，可以考虑用二维奇偶校验码。将若干奇偶校验码排成若干行，然后对每列进行奇偶校验，放在最后一行。

TOC\o"1-5"\h\zan-\ an-2 〃02 2 2an-\2 …c.3、交织码突发信道造成突发差错，突发差错的特点是差错集中，要求编码的纠错能力强，而一般的纠错编码对随机差错的纠错能力强。解决这个矛盾的基本方法是采用纠错编码加交织编码的方法。对信息进行纠错编码后，再进行一次交织编码。交织编码将待传输的信息比特组成块,在传输时按照列顺序进行传输，在接收端乂按照行的顺序检验是否差错。由于突发错误是成串发生的，经过这样的传输后错误被分散了。在移动通信中，由于信道的衰落经常造成突发错误，因此经常在进入信道传输前，先将输入的信息比特交织，将突发错误尽可能分散成随机错误，然后用其它编码方式来纠正随机的错误。编码(15,11)/能纠一个错2,，K02,，K01617K30MMMM136137K150交织(行进列出)1,16,31,...,136,2,17,...,137,...,15,30,...,150MMM137K150反交织信道MMM137K150反交织1,16,3k...」.*,2,17,...,137,...,15,30,...,150信道传输差错§9o4线性分组码一、线性分组码的概念及性质若码字AeC,A=(/M2,…,*)，eGF(2),满足线性条件：n也(/=1,2,...,n-k) (9-1)则称该(n,k)码为线性分组码。这里&eG/(2),其中称厢…_h2} h22…h2nri—hn-k、lh〃_k,2 …^n-k,n__为校验矩阵(监督矩阵)，这里H矩阵的各行是线性不相关的。从上可以知道，(n,k)码构成线性n维空间的k维子空间。线性分组码的线性条件可以写成矩阵形式，即:AHt=0.(9-2)若A，4是（n,k）线性码中的码字，则构成线性n维空间的k维子空间。线性分组码的线性条件可以写成矩阵形式，即:AHt=0.(9-2)若A，4是（n,k）线性码中的码字，则A+4也是线性码（n,k）中的码字，即满足线性性。线性分组码具有如下两个性质：1、线性性（包含全零码字，封闭性）。2、最小码距等于除全零码外的码字的最小码重。1110100例1、（7,4）汉明码的校验矩阵为〃=01110101101001则（7,4）汉明码的输出码字满足即{%+%+=0%+%+=0%+。2+。4+。7=0%=%+。2+a3<a6=a2+a3+a4a1=61]+勺+%若输入信息为U=（%,。2，。3，。4），编码输出为C=U•G=[ti]a2a3a41000001001000101011101101011这里称G为（7,4）码的生成矩阵。从上例可以看到，若校验矩阵具有形式H从上例可以看到，若校验矩阵具有形式H=[PI]，则生成矩阵为G=[lP]。所有的线性分组码均可以通过生成矩阵G来表示编码器结构。二、线性分组码的译码当信道传输出现差错后，则接收到的码字A'=A+E,接收端通过校验矩阵进行校验运算，即A'H「=S,S称为校验子，S=EH,只与差错向量E有关，因此可以通过校验子S的值来检验传输是否出现差错或对差错进行纠正。三、汉明码及其设计汉明码是一类能纠正一个传输错误的线性分组码，若校验子的列数为n-k,则校验子可以对应错误向量E的2"一"种情况，错误向量E中为1的位置表示传输出现差错。当校验子的不同值分别对应只有一个位置出错情况时，所得到的线性分组码为汉明码。因此汉明码（n,k）满足关系〃=2"*-1,能纠正1个传输错误，其最小码距为3。（n,k）汉明码的监督矩阵的n列正好是n-k个比特的组合（全零除外）。例2,（15,11）汉明码的监督矩阵为

11H=111H=11111111100010110110111000010010100100110001其中各列正好是4比特除全零外的全部组合。例3、(7,4)汉明码的设计如果取k=4,则可以确定n>=7„因此，可以用3个校验子来确定传输的7个位置是否出错。假设传输时的码字为5a4。3。2%即)，如果IS2S3与错码的位置对应如下:S]S2s3错码位置S|S2s3错码位置001。0101010a}110a5100a2111许Oil000无错根据上述的真值表，我们可以得到如下的关系:S[=勺+。4+。5+。6S2=%+。3+。5+。6S3=4+/+。4+。6在发送端编码时，信息位。3，。4，。5，。6的取值取决于输入的信息比特，因此它们是随机变化的。监督位。2，卬，。0应根据信息位的取值按监督关系来确定，即监督位应该使上三式的取值为0。我们可以得到：a2=a4+a5+a6a,=a3+a5+a6a0=a3+a4+a6因此，给出信息位a6a5a4a3后，根据上式可以算出监督位外卬即，从而得到(7,4)的所有码组。a645a4。3a24aoa6a5a4a300000001000111

0001Oil1001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110Oil11101000111000mi111«611101110101011000]a.上述关系可以写成如下矩阵的形式:«611101110101011000]a.即HAt=01101101011011010011010,A=[a6a5a4a3a2a]aQ]<>01例：上例中(7,4)码，若接收端收到码字为A'=(1010110),S=HA'r=(100),可以查表得到错误图样是a2位置错，即e=0000100,所以纠错后的码字为1010010,译码输出为1010«四、生成矩阵G与监督矩阵H的关系A=M•G,且=0所以，H»Gt•Mt=0 >H•Gt=0 >G»Ht=0对于任何线性分组码而言，上述关系总是存在的，即G・〃t=0。-1110我们再来看，在上述的例子中，H={p(n_k)xkIn_k\,其中P=11011011-11rg=[/4-”“)]，其中Q=；；i=pt011实际上，上述关系可以通过关系G”r=0来求得。rpT-[lkQ_=PT+Q=0,所以Q=P7。Jn-k_五、系统码与非系统码假设信息位为[*_山“_2，如果编码后的码组为如下形式：lan-ian-2-an-kan-k-l-ao]1其中*…4是监督位，则称这种码为系统码。即系统码经过编码后的码组中前k个就是信息位，后n-k是监督位。如果不存在上述关系，则称为非系统码。由以上定义可以看到，我们刚才讨论的(7,4)码是系统码。只有系统码才有关系。=尸"系统码和非系统码都有性质：GHt=0o§9o5循环码循环码是一类特殊的线性分组码，它的特点是具有循环性，即任何许用码字的循环移位仍然是一个许用码字。循环码具有特殊的代数性质，这些性质有助于按照要求的纠错能力系统地构造这类码，并且简化译码算法。循环码还有易于实现的特点，很容易用带反馈的移位寄存器实现其硬件。因此，循环码在计算机系统和通信中得到广泛的应用。一、循环码的结构为了用代数理论的方法研究循环码的特性，经常将循环码表示成码多项式的形式：定义：码字C=(%7，＜?〃_2，・・・。0)的码多项式如下：TOC\o"1-5"\h\zc(x)=cn.xM-1+c“7xn~2+...+c,x4-cn (0-3)\，n—i n—L iu其中，X、CieGF(2).码字。=(%,7_2，.“,％)的循环移位1计为。'=(C“+i，C”+2,…，Co，%,...C.T的则c'(x)=c■,x"1+...+cnx'+…+c.o (0-4)、，n—i—i v n—i可以证明3(x)=xc(x)mod(xn4-1)o证明：XC(X)=Cn_}Xn4-Cn_2Xn~l+...+CQX=c„1+...+cnx+cn.+c„[(x"-1)n—£ un—\n-I、 /由于在GF(2)中，减法即为加法，因此命题得证。可以推论得到c'(x)=x'c(x)mod(x0-1)»根据代数理论，还可以证明如下结论：定理一、GF(2)上的循环码(n,k)具有唯一的生成多项式g(x),且g(x)为该循环码中最低基次的码字多项式，循环码中的其他码字可以表示成c(x)=/(x)g(x)。证明：设循环码(n,k)中存在两个最低箱次的码字多项式，则根据循环码的线性性，将这两个码字相减，得到的码字多项式仍属于该循环码，但其慕次降低，这与假设矛盾，因此循环码中最低某次的码字多项式唯设g(x)=g0+g/+-+grxr是循环码中的一个码字，由循环性和线性性得到c(x)=(c0+c,x+...+ )g(x)也是循环码中的码字。若c(x)=a(x)g(x)+b(x),b(x)是累次低于r的多项式，由循环性和线性性知b(x)=c(x)-a(x)g(x)也是循环码中的码字，若b(x)#0,则存在一个码字具有比g(x)更低次幕的码字，这是不可能的。因此，b(x)=0o即循环码中的任意码字多项式可以表示成c(x)=/(x)g(x)。定理二、(n,k)循环码的生成多项式g(x)是多项式x"-1的因子，且哥次为n-k。证明：设g(X)=go+g|X+...+g,/,则由循环性和线性性x"Tg(x)=(x"-l)+b(x)这里b(x)=/(x)g(x)也是循环码中的码字多项式。因此，Z-1=(xn-r+/(x))g(x)即g(x)是x"-1的因子。另外，为了产生2k个不同的码字，要求c(x)=/(x)g(x)具有2卜个不同多项式，即/(X)最高次第为k-1次第，因此g(x)的次索为n-k。根据上述结论，只要知道循环码的牛.成多项式g(x)就可以完全确定循环码的所有许用码组,

因为循环码的所有的许用码组均是g(x)的倍式。二、循环码的生成矩阵与监督矩阵由于循环码的码字多项式是生成多项式g(x)的倍式，且根据线性码的生成矩阵的特性，(n,k)码的生成矩阵可以由(n,k)码中k个不相关的码组构成。根据以上两点，可以挑选出k个线性不相关的循环码组的码多项式如下：1、非系统码的生成矩阵xig(x)G(x)= "" (0-5).g(x).输入信息码元为(“一即一…加。)时，相应的输出循环码组多项式为：T(x)=(恤_1,叫-2…加o)G(x)=(/n*_1X*T+mk_2xk~2+...+m0)g(x)=M(x)g(x)例1：已知(7,4)循环码的生成多项式为g(x)=d+/+1,求生成矩阵。解：G(x)=尤3+x2+1)X"(X+x~+1)x(x3+x2+解：G(x)=X，+X?+1-1101000'0110100所以，G=00110100001101如输入信息为(1001)时，编码输出为(1001011).2、系统码的生成矩阵系统码定义为：(n,k)系统码的码组中前k个比特是信息比特，后n-k个比特是监督位。若已知生成多项式g(x),则在系统码中，许川码组应该具备如下的形式:T(x)=m.,xn~1+m.,x"~2+...+m...xn~k+r(x)= +mk_2xk^2+...+m0)xn~k+r(x)=M(x)g(x)

其中，r(x)的次数小于等于n-k-1。实际匕上式表示了如何生成系统码，即将信息码多项式升n-k次，然后以g(x)为模，求出余式«幻。例：已知(7,4)系统循环码的生成多项式为g(x)=d+/+],求生成矩阵。解：系统码的生成矩阵形式肯定是IkQ,因此选择信息多项式为XyIo将/提升n-k=3次，得到一,求/除以g(x)的余式得到x=x+xmodg(x)x5=x+1modg(x)x=x+x+1modg(x)G(x)=表示成矩阵形式,x3=x+1modg(x)G(x)=表示成矩阵形式,+X+1■2+1得到0010三、循环码的编码和译码1.系统循环码的编码器(除法器电路)系统循环码最容易实现的方式是将信息码多项式升n-k次基后除以生成多项式，然后将所得余式置于升幕后的信息多项式后。T(x)=mk_ixn^1+mk_2x"~2+...+mox"~k+r(x)=(mli_ixk~l+mk_2xk~2+...+m0)xn~k+r(x)三M(x)g(x)例：已知(7,4)系统循环码的生成多项式g(x)=jc3+x2+\,若信息码为1001,

求编码后的循环码。解：信息码多项式M(x)=l+1,xyM(x)

g(x)X，+ +X，xyM(x)

g(x)—： =X+X+X+1+x3+x2+1因此，编码后的码组为(1001011).多项式除法可以用带反馈的线性移位寄存器来实现。可以通过如下图电路构造系统循环码的编码器。图9-1系统循环码的编码器电路在输入前k个信息比特时，开关Ki、2闭合，冷断开，宜接输出系统位信息；当输入k比特信息完毕后，开关Ki、2断开，冷闭合，输出系统校验位信息。2.循环码的译码用于纠错目的的循环码译码器原理将接收到的码组进行除法运算，如果除尽，则说明正确传输：如果未除尽，则在寄存器中的内容就是错误图样，根据错误图样可以确定一种逻辑，来确定差错的位置，从而达到纠错的目的。常见的循环码译码器有梅吉特译码器。用于检错目的，然后用ARQ方式的循环码的原理将接受到的码组进行除法运算，如果除尽，则说明传输无误；如果未除尽，则表明传输出现差错，要求发送端甫发。用于这种目的码经常被称为循环冗余校验码，即CRC校验码。CRC校验码由于编码电路、检错电路简单且易于实现，因此得到广泛的应用。在通过MODEM传输文件的协议如ZMODEM协议中均用到了CRC校验技术。CRC校验码是循环码的推广，一般来说CRC码不再具有循环性，但是CRC码的所有许用码组是生成多项式的倍数。§9o6BCH码*§9。7RS§9o8卷积码分组码把k个信息比特的序列编成n个比特的码组，每个码组的n-k个校验位仅与本码组的k个信息位有关，而与其他码组无关。为了达到一定的纠错能力和编码效率，分组码的码组长度•般都比较大。编译码时必须把整个信息码组存储起来，由此产生的译码时延随n的增加而增加。卷积码是另外一种编码方法，它也是将k个信息比特编成n个比特，但k和n通常很小，特别适合以串行形式进行传输，时延小。与分组码不同，卷积码编码后的n个码元不仅与当前段的k个信息有关，还与前面的N-1段信息有关，编码过程中互相关联的码元个数为nN。卷积码的纠错性能随N的增加而增大，而差错率随N的增加而指数下降。在编码器复杂性相同的情况下，卷积码的性能优于分组码。但卷积码没有分组码那样严密的数学分析手段，目前大多是通过计算机进行好码的搜索。卷积码的结构和描述一、卷积码的一般结构卷积码编码器的形式如图所示，它包括：•个由N段组成的输入移位寄存器，每段有k个，共Nk个寄存器；一组n个模2和相加器，一个由n级组成的输出移位寄存器。卷积码编码时，每个时刻输入k个比特，输出n个比特。由图9-2可以看到，n个输出比特不仅与当前的k个输入信息有关，还与前（N-l）k个信息有关。通常将N称为约束长度，把卷积码记为（n,k,N）,当k=l时，N-1就是寄存器的个数。二、卷积码的描述描述卷积码的方法有两类：图解法和解析表示。图解法包括：树图、状态图、网格图。解析法包括：矩阵形式、生成多项式形式。以如下的结构为例说明各种描述方法。图90-3 （7,5）卷积码结构1、树图根据图90-3,可以得到当前时刻寄存器值、下一时刻寄存器值、输入、输出的关系下表9-1：表9-1当前输入11FonfonFonro-

mo当前寄存器状态0110120000010110101111aaccbbdD当前输出C1C21100001101101001下一寄存器状态1000100011011101babadcdC根据上表可以画出如下的树状图(图9-4)：2、状态图图9-5(7,5)卷积码状态图 图9-6(7,5)卷积码网格图3、网格图将状态图中的状态排开，可以得到卷积码的网格图，如上图示。例1,输入为1101110,输出为：110101000110014、生成多项式表示定义gl=[glO，gu，gl2]，g2=[g20，g21，g22]，则上述结构为g[=7，g2=5,这里用8进制表示g”g2加0G=[glO加0G=[glO，gu，gl2】外,m2m0Cl=[g20，g21，g22〕m\叫(0-6)定义gKfOMgio+guO+goOZ=1+0+02gzOXgzo+gzN+gzzA=1+D2 (0-7)设输入信息/，仇为2，...的多项式为M(O)=%+仇。+%。2+43+....,则可以得到输出G(o)=M(o)gW)C2(D)=M(D)g2(D)最终输出是孰(。),。2(。)的相同次数项的排列。例，输入为1101110..M(D)=1+D+D3+D4+D5+...C}(D)=\+D5+...C2(D)=\+D+D2+D4+...则最后输出为110101000110...可以看到，卷积码的输出是输入序列与g1,g2的卷积。§9o9信道编码的译码•最大似然序列译码假设信道是无记忆的，(即前后符号的概率分布是统计独立的)，发送的序列为(七"1，七,2，“工可)，接收序列为(必，必，…打)，贝I已知接收序歹“(必，力，…以)的情况下，如何最佳判决输入的序列？设调制方式为2PSK,信道噪声为加性高斯白噪，其双边噪声功率谱密度为N。/2,发送序列为等概的+1、-1序列，经过最佳接收后接收序列y1=xmi+n'i=l,2”..,NN其中n是均值为0,方差为」的高斯变量，则发送序列的似然函数为2

]〃/(必，为“弘141，/2“鼻)=小，、"/2IP(N。兀)i=i1 1 ，加f)(No乃产2根据最大似然准则，选择具有最大似然概率的输入序列作为判决结果是最佳判决，山上式可见，比较似然函数的大小就是比较X(%—x,＞的小大。1=1令2=£(y,一(,)2，选择使。“最小的序列又二=(七„“£12，・/„„.)作为判决输出，i=l能使系统的性能最佳(误码率最小)。硬判决当2PSK的解调端输出的符号经过判决输出一1、1,然后再经过译码的形式，称这样的译码为硬判决译码，即编码信道的输出是一1、1的硬判决信息。可以看到，硬判决的最大似然译码实际上是寻找与接收序列汉明距最小的输入序列。当y,,x而取值为一1、1时，。”=支(%一工而)2与序列(M,必，“0\)与序列.•./、)的汉明距平方成正比。!=]即2=4服软判决当2PSK的解调端输出的符号没有经过判决，而是直接输出模拟量，然后经过译码的形式，称这样的译码为软判决译码，即编码信道的输出是没有经过判决的匹配滤波器的输出。可以看到，软判决的最大似然译码实际上是寻找与接收序列欧式距离最小的输入序列。一般而言,由于硬判决在译码前被判决了一次，信息有所损失，软判决比硬判决的性能要好l-2dBo例如：已知编码{(0000)(0101)(0011)(0110)},2PSK调制将0映射为+1,1映射成一1,经过解调后收到码组(020.5,-0.3,0.2),此时按硬判决则解调后判决输出为(0010),因此最小汉明距的码组为(0011)、(0110).(0000),因此译码判决可以是上述三个中的任何•个，而若采用软判决，则接收码组与各编码码组的欧式距离平方分别为3.32、8.62、2.82、4.02,因此最后判决结果应为0011。§10正交编码和伪随机序列要点：正交编码与码分多址(CDMA)伪随机序列(m序列及其性质)m序列的应用§10o1正交编码与码分多址.几个概念互相关系数设长为n的编码中码元只取+1、-1,x和y是其中两个码组X=(X”X2...X“)，y=(%,y2…%)，其中七,%€(+1,-1)则X、y间的互相关系数定义为p{x,y)=~2_4xiyi (10-1)如果用。表示+1、1表示-1,则互相关系数也可以写成/、A一0 ,P(x,y)=-~- (10-2)A+D其中A是相同码元的个数，D为不同码元的个数。自相关系数自相关系数定义为]£2")=一£七七3 (10-3)〃,=1其中下标的计算按模n计算。正交编码若码组Vx,yeC,(C为所有编码码组的集合)满足夕(x,y)=0,则称C为正交编码。即：正交编码的任意两个码组都是正交的。例1：已知编码的4个码组如下：S,=(+l,+l,+l,+l);S2=(u,-l,-l);S3=(1,-l,-l,l);S4=(1-1,1-1)可以计算得到任意两个码组互为正交。双正交编码由正交编码及其反码便组成双正交编码。例3：正交编码(1,1,1,1)(1,1,0,0)(1,0,0,1)(1,0,1,0)反码为(0,0,0,0)(0,0,1,1)(0,1,1,0)(0,1,0,1)双正交码中任意两个码组间的互相关系数为0或-1。.哈达玛矩阵哈达玛矩阵在正交编码的构造中具有很重要的作用。哈达玛矩阵的构成如下：2阶哈达玛矩阵

4阶哈达玛矩阵H2h2/一/可以证明，哈达玛矩阵的所有行之间互相正交，所有列之间互相正交。哈达玛矩阵经过行列交换后得到的矩阵仍然正交，沃尔什矩阵可以通过哈达玛矩阵按交变的次数排列顺序构成。例4：构造四阶的Walsh矩阵如下：'1111'11-1-1W=1-1-111-11-13.码分多址通信码分多址通信的概念是利用码之间的正交性在同时、同频的情况卜.进行多址复用通信。设具有n个用户，每个用户的所用的码P1"),P2(f)…P,,。)互相正交，即'='，每个用户的信息为叫⑺,加2⑺…%⑺，则白 [0iwj码分复用后多用户信号为5(r)=mi(t)pt(r)coscoct (10-4)i=l接收端只要通过相关接收的方法，就可以分离出相应的用户信息。/n((r)=2£s[t}p\t)coscdctdt= +2 £irij(r)pj(r)/?,(/)cos2a>ctdt(10-5)由于在每个码元时间内，信号不变，再由正交性可以得到上式后面一项为Z吗⑺『Z吗⑺『+cos20/]t〃=0.(10-6)因此就从符合信号中分离出第j路信号。同理，其他路的信号也可以这样分离，实现了多路复用的功能。可以看到，码分多址CDMA中，每个用户占用相同的时间、相同的频段、不同的码字：而时分多址TDMA是每个用户占用相同的频段、不同的时隙；频分复用FDMA是占用相同的时间、不同的频段。§10o2伪随机序列(m序列及性质和构造)伪随机序列是一种可人为重复产生的类似于噪声的序列。为了说明伪随机序列的特性，先来看一看噪声序列的特性，如果对高斯白噪进行抽样，并将抽样值进行正负判决，抽样值为正则输出“1”，反之输出为“0”，这样就得到一个噪声序列。这样的噪声序列具有如下一些特性：（1）序列中0、1个数出现概率相等（2）序列中具有相同长度的连0和连1的概率相等。如果我们将连0或连1的长度称为0或1的游程的话，即0、1的游程分布是等概的。并且由概率知识我们可以知道，游程为1的概率为1/2,游程为2的概率为1/4,游程为n的概率为1/2"。（3）该序列的自相关系数为冲激函数。伪随机序列是具有上述噪声序列的特性，且可以再现的一种序列。常用的伪随机序列包括m序列、Gold序列，其中m序列又是构造Gold序列的基础。.m序列的产生最长线性反馈移位寄存器序列m序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称,它是由带线性反馈的移位寄存器产生的周期最长的序列。先看如下的例子：图10.1m图10.1m序列发生器图10.2非m序列发生器TOC\o"1-5"\h\z初始状态： 1000 10001100 11001110 01101111 10110111 01011011 00100101 00011010 100011010110001110010100001000011000可以看到，图5.1的输出的周期为15,除去全0外，其输出是周期最长的的序列。为了能以尽可能少的级数产生尽可能长的序列，而一个n级反馈移存器可能产生的最长周期为2〃-1,则反馈电路如何连接才能输出序列最长是本节要讨论的问题。一般而言，线性移位寄存器序列可以由下图构成：,图10.3线性移位寄存器序列结构图m序列的特征方程移存器的结构用特征方程表示：f(X)=CQ4-C1X+...4-CnXW (10-7)/=0m序列的递推方程m序列的母函数至G(x)=aQ+aix+...+anxn+.・・=Z〃X (10-9)&=o.几个有用的定理用来构造m序列定理一、/(x)G(x)=A(x),其中〃*)为次数低于/*)的次数的多项式。证明：G(x)=£aW=£名91尤1/=fqx'fajxik=Q k=Qi=l i=lk=QTOC\o"1-5"\h\zi-\ k=0〃 n=Z。/'(a_/T+)+Zqx'G(x)1=1 i=l(1+Zjx')G(x)=/,Ctx，a_tx~l)t=l i=lCo=1得到如下关系：f(x)G(x)=h(x)可以看到，〃(x)的次数小于n。当电路给定后，/i(x)只取决于初始状态。定理二、一n级线性反馈移位寄存器的相继状态具有周期性，周期为NW2"-1。证明：反馈寄存器状态取决于前•状态，因此只要产生的状态与前面某一时刻相同，则以后的状态肯定是循环的，因此具有周期性。移存器•共有n个，因此只有2"种组合，因此经过它的周期最大为2"。而在线性结构中，全0状态的下一状态为0,因此在长周期的序列中，寄存器状态不应该出现全0,因此寄存器状态周期N定理三、若序列4={4}具有最长周期N=2"-l,则其特征多项式/(x)应为既约多项式。证明：用反证法。若/(x)=/|(x)/2(x)则：G(x)=UD=逊+忸口f(x)/(x)f2(x)且有 的次数〃1，〃2满足〃I+〃2=〃。可以将上述序列看成2个序列的和，因此他们的周期分别为N”N2,根据定理二，N=LCM(Ni,N2)<(2n'-1)(2"2-1)=2"-2"'-2"2+1<2H-3<2"-1不是最长序列。定理四、一个线性移位寄存器的特征多项式/(x)若为既约的，则由其产生的序列A={4}的周期等于使f(x)能整除的(xN+1)最小正整数p。证明：q^=G(x)=5y11cx/(x) *=0=%+a]x+.・・4+(6Zq+4Z|X+...)+x"(a0+...)+...=(1+x"+X?”+...)(<7q+u^x+…an-x'i)1 / N-1、= -(i7n4~ +...4~,X)IN、uI /v-i ，+X经整理后，得到h(x)(\+xN)/(x)JV-I二旬+axx+...+aN_xx因此，/(x)是(1+x")的因子，即周期为N的序列的f(x)整除能(1+”)。反之，若/(x)能整除(1+xn),令其商为bn+b.x+...+hf..x^'v1 /V—I则因为/(x)为既约的，因此序列的长度与初始状态无关，取初始状态为000」G(x)=h(x)_1f(x)