等差数列等差数列答案

答案与评分标准一、选择题（共15小题）1、已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（）A、﹣2 B、﹣C、 D、2考点：等差数列。专题：计算题；方程思想。分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．解答：解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=﹣，故选B．点评：本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．2、已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（）A、4 B、5C、6 D、7考点：等差数列。专题：计算题。分析：将a2+a8用a1和d表示，再将a5用a1和d表示，从中寻找关系解决，或结合已知，根据等差数列的性质a2+a8=2a5求解．

解法2应用了等差数列的性质：{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq．特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则am+an=2ap．3、已知等差数列{an}中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，则数列{bn}的前5项和等于（）A、30 B、45C、90 D、186考点：等差数列。分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，可得an，进而得到bn，然后利用前n项和公式求解即可．解答：解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得；∴an=3n，∴bn=a2n=6n，且b1=6，公差为6，∴S5=5×6+=90．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．4、已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是（）A、15 B、30C、30 D、64

解法2应用了等差数列的性质：{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq．特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则am+an=2ap．5、等差数列{an}中，已知，a2+a5=4，an=33，则n为（）A、48 B、49C、50 D、51考点：等差数列。专题：计算题；方程思想。分析：先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出an的表达式，然后令an=33，解方程即可．解答：解：设{an}的公差为d，∵，a2+a5=4，∴+d++4d=4，即+5d=4，解得d=．∴an=+（n﹣1）=，令an=33，即=33，解得n=50．故选C．点评：本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用．6、“点Pn（n，an）（n∈N*）都在直线y=x+1上”是“数列{an}为等差数列”的（）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件C、充要条件 D、既不充分不必要条件7、一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A、﹣2 B、﹣3C、﹣4 D、﹣5考点：等差数列。专题：计算题。分析：设等差数列{an}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差．解答：解：设等差数列{an}的公差为d，所以a6=23+5d，a7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=﹣4．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．8、在等差数列{an}中，a2=4，a6=12，则公差d=（）A、1 B、2C、±2 D、8考点：等差数列。专题：计算题。分析：由题设知，由此能求出公差d的值．解答：解：∵等差数列{an}中，a2=4，a6=12，∴，解得a1=2，d=2．故选B．点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列通项公式的合理运用．9、已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（）A、以7为首项，公差为2的等差数列 B、以7为首项，公差为5的等差数列C、以5为首项，公差为2的等差数列 D、不是等差数列考点：等差数列。专题：计算题。分析：直接根据数列{an}的通项公式是an=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．解答：解：因为an=2n+5，所以a1=2×1+5=7；an+1﹣an=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．10、在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（）A、101 B、49C、99 D、10211、某工厂生产化工产品210件，全部为三个批次的产品，其中A、B、C三个批次的产品数量成等差数列，现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，则应从B批次产品中抽取的数量为（）A、35 B、30C、25 D、20考点：等差数列；分层抽样方法。专题：计算题。分析：由分层抽样的定义知样本中A、B、C三个批次的产品数量也成等差数列，故设抽取的数量分别为x﹣d，x，x+d；再由样本容量为60求出x．解答：解：由题意知A、B、C三个批次的产品数量成等差数列，故设从A、B、C三个批次的产品抽取的数量分别为：x﹣d，x，x+d；∵抽取一容量为60的样本，∴3x=60，解得x=20．故选D点评：题考查了分层抽样的定义即样本的结构和总体的结构一致，利用三个数成等差数列时的设法：x﹣d，x，x+d和样本的容量为60求解．12、已知数列{an}，那么“对于任意的n∈N*，点Pn（n，an）都在直线y=3x+1上”是“数列{an}为等差数列”的（）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件考点：等差数列。专题：计算题。分析：对于任意的n∈N*，点Pn（n，an）都在直线y=3x+1上，得到an=3n+1，即数列{an}为等差数列，即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，反过来不成立．解答：解：∵对于任意的n∈N*，点Pn（n，an）都在直线y=3x+1上，∴an=3n+1，∴数列{an}为等差数列即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，数列{an}为等差数列不一定得到点Pn（n，an）都在直线y=3x+1上，∴后者不一定推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．13、在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（）A、23 B、24C、25 D、26考点：等差数列。专题：综合题。分析：根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．

14、数列{an}满足an+1=an﹣3（n≥1）且a1=7，则a3的值是（）A、1 B、4C、﹣3 D、6考点：等差数列。专题：计算题。分析：根据题意得到数列{an}是等差数列，结合公比与首项可得数列的通项公式，进而求出答案即可．解答：解：根据题意可得：数列{an}满足an+1=﹣an﹣3，所以an+1﹣an=﹣3，所以数列{an}为等差数列，且公差为﹣3，a1=7，所以数列的通项公式为：an=10﹣3n，则a3的值是1．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的定义，以及等差数列的通项公式，此题属于基础题型在高考中一般以选择题或填空题形式出现．15、已知数列{an}满足an+1+an﹣1=2an，n＞2，点O是平面上不在L上的任意一点，L上有不重合的三点A、B、C，又知，则S2022=（）A、1004 B、2022C、2022 D、1005考点：等差数列；平行向量与共线向量。专题：计算题。分析：首先由三点共线可得a2+a2022=1，又因为an+1+an﹣1=2an，n＞2，所以{an}为等差数列，利用等差数列的性质及前n项和公式求解即可．解答：解：∵A、B、C三点共线，∴，∴，∴，∵，∴a2+a2022=1，∵an+1+an﹣1=2an，n＞2，∴{an}为等差数列，∴s2022===1005．故选D．点评：本题在应用等差数列的性质及前n项和公式的同时，还用到了共线向量基本定理，是一道综合性题目．二、填空题（共5小题）16、在等差数列{an}中，若a5=8，a9=24，则公差d=4．

17、已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则a1=2．考点：等差数列。专题：计算题。分析：令n=1，代入Sn计算即可．解答：解：a1=S1=12+1=2故答案为：2点评：对于任意数列{an}，Sn=a1+a2+…+an，特殊的，当n=1时，S1=a1．18、在等差数列{an}中，若a3+a9+a27=12，则a13=4考点：等差数列。专题：计算题。分析：将a3+a9+a27用a1和d表示，再将a13用a1和d表示，从中寻找关系解决．解答：解：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a3+a9+a27=a1+2d+a1+8d+a1+26d=3a1+36d=12；∴a1+12d=4；∴a13=a1+12d=4．故答案为4．点评：本题用到了基本量a1与d，还用到了整体代入思想，是简单的基础题．19、等差数列{an}中，a2=9，a5=33，{an}的公差为8．考点：等差数列。专题：计算题。分析：由题设知，由此能求出公差d的值．解答：解：∵等差数列{an}中，a2=9，a5=33，∴，解得a1=1，d=8．故答案为：8．点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列通项公式的合理运用．20、定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差．已知向量列是以为首项，公差的等差向量列．若向量与非零向量垂直，则=．考点：等差数列；数量积判断两个平面向量的垂直关系。专题：新定义；向量法。分析：根据题目中所给的定义，写出向量列的表示式，可以横标和纵标分别看成等差数列写出通项，根据两个向量垂直，数量积为零，写出xn与xn+1之间的关系，根据要求的结论，本题需要用叠乘来解决．解答：解：∵向量列是以为首项，公差的等差向量列．∴=（n，3）∵向量与非零向量垂直，∴=0∴nxn+3xn+1=0，∴=﹣，∴=﹣，…=﹣把前面的式子相乘，得到=﹣=﹣．点评：本题是一个新定义问题，考查学生的理解能力，是一个综合题，用到数列的通项，和求数列通项的方法，还有向量垂直的充要条件．解本题的关键是理解题意．三、解答题（共8小题）21、由大于0的自然数构成的等差数列{an}，它的最大项为26，其所有项的和为70；（1）求数列{an}的项数n；（2）求此数列．考点：等差数列。专题：计算题。分析：不妨设最大项是ansn==70因为{an}是自然数序列，所以n（a1+an）=140，140可以被n整除，又an＜a1+an=140/n，an=26，所以n＜=5．又a1=a1+an﹣an=140/n﹣26＜an=26，所以n＞=3．d=（an﹣a1）/（n﹣1）=（52﹣140/n）/（n﹣1）当n=4，5时对应的d=17/3，6．故n=5，an=6n﹣4．当最大项是a1时，同理可求得：n=5，an=32﹣6n，即可求出

（2）由（1）知当an=26，n=5时，an=6n﹣4，数列为2，8，14，20，26当a1=26，n=5时，an=32﹣6n，数列为26，20，14，8，2所以答案为2，8，14，20，26或26，20，14，8，2点评：解答本题的关键在于自然数列的首项，公差，通项都是正整数，然后根据等差数列的性质求解，希望学生在作此题前要熟练掌握等差数列的求和公式和通项公式22、已知整数数列{an}满足：a1=1，a2=2，且2an﹣1＜an﹣1+an+1＜2an+1（n∈N，n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）将数列{an}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：…依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5+b100的值；（3）令（b为大于等于3的正整数），问数列{cn}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．考点：等差数列；数列的应用。专题：规律型。分析：（1）由数列{an}是整数数列，结合2an﹣1＜an﹣1+an+1＜2an+1，可得2an=an﹣1+an+1，根据等差数列的定义，推出{an}是等差数列，进而求出其通项公式；（2）仔细读题，找到其循环规律，确定bn是第几个循环中的第几行中各数之和是解题的关键．（3）由（1）（2）的结论，求出cn的表达式，利用等比数列的定义，得到关于b、n的关系式，然后分n=1，n=2，n≥3分别讨论，即可得出结论．解答：解：（1）因为数列{an}是整数数列，所以an是整数，所以2an﹣1，an﹣1+an+1，2an+1都是整数．又2an﹣1＜an﹣1+an+1＜2an+1（n∈N，n≥2），所以2an=an﹣1+an+1，即数列{an}是首项为1，公差d=a2﹣a1=1的等差数列，所以an=n．（2）设每一个循环（4行）记为一组，由于每一个循环含有4行，故b100是第25个循环中的第4行中各数之和．由循环分组规律知，每个循环共有10项，故第25个循环中的第4行内的4个数分别为数列{an}中的第247项至第250项，又an=n．所以b100=247+248+249+250=994．b5=a11=11，所以b5+b100=11+994=1005．（3）因为，设数列{cn}中，cn，cn+1，cn+2成等比数列，即cn+12=cn•cn+2，所以（2+nb+b+b•2n）2=（2+nb+b•2n﹣1）（2+nb+2b+b•2n+1）化简得b=2n+（n﹣2）•b•2n﹣1（*）当n=1时，b=1，等式（*）成立，而b≥3，故等式（*）不成立；当n=2时，b=4，等式（*）成立；当n≥3时，b=2n+（n﹣2）•b•2n﹣1＞（n﹣2）•b•2n﹣1≥4b，这与b≥3矛盾，故等式（*）不成立．综上所述，当b≠4时，数列{cn}中不存在连续三项等等比数列；当b=4时，数列{cn}中存在连续三项等等比数列，这三项依次是18，30，50．点评：本题在应用等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的同时，还考查了学生的逻辑推理能力，运算能力以及对公式的灵活运用能力，是一道综合性很强的题目．23、在数列{an}中，已知a1=p＞0且log2（an+1an）=2n+1．（1）若数列{an}是等差数列，求的p值．（2）求数列{an}的前n项和Sn．考点：数列的求和；等差数列。专题：计算题。分析：由已知可知an•an+1=22n+1，a1=p，代入可求a2，a3（1）若数列{an}为等差数列，则2a2=a1+a3，可求p（2）由已知可知数列的奇数项、偶数项分别为等比数列，分类讨论求和即可（2），∴Sn=（n=2k，k∈N+）Sn=（n=2k﹣1，k∈N+）点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解，等比数列的前n项和的求解，求和时体现了分类讨论的基本思想，这是高中数学的重要思想．24、在数列{an}中a1=1，当n≥2时，an，Sn，Sn﹣成等比数列．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列前n项的和Tn．

解答：解：（1）∵成等比数列，∴，∴又∴是以1为首项，2为公差的等差数列．（4分）又（2）由（1）知，∴，当n≥2时，又∴又当n≥2时，又当n=1时，Tn=﹣1满足上式，∴（14分）点评：等差数列与等比数列是高考中所考查的数列试题的基本类型，此试题主要考查利用等差数列的定义证明等差数列，还要注意构造特殊数列的方法；另外，由递推公式求通项的应用也是本题的一个重点，求解中要注意应用定义，灵活构造．25、数列{an}中，an=32，sn=63，（1）若数列{an}为公差为11的等差数列，求a1；（2）若数列{an}为以a1=1为首项的等比数列，求数列{am2}的前m项和sm′．考点：数列的求和；等差数列。专题：计算题；方程思想。分析：（1）由数列为等差数列，根据条件，用首项和公差分别表示通项和前n项和建立方程组求解．（2）由数列为等比数列，根据条件，用首项和公比分别表示通项和前n项和建立方程组求解．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，这里用的首项和公差，公比，应用了方程思想．26、设数列设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2﹣2Sn﹣ansn+1=0，n=1，2，3…（1）求a1，a2；（2）求证：数列{}是等差数列，并求Sn的表达式．考点：数列递推式；等差数列。专题：综合题。分析：（1）当n=1时，由已知得a12﹣2a1﹣a12+1=0，解得．同理，可解得．（2）由题设Sn2﹣2Sn+1﹣anSn=0．an=Sn﹣Sn﹣1，所以Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0.，，由此能够证明数列{}是等差数列，并能求出Sn的表达式．解答：解：（1）当n=1时，由已知得a12﹣2a1﹣a12+1=0，解得．同理，可解得．（4分）

点评：第（1）题考查数列中第1项和第2项的求法，解题时要注意函2数题考查等差数列的证明和数列前n项和的求法，解题时要注意合理地进行等价转化．27、函数的最小值为an，最大值为bn，且，数列{Cn}的前n项和为Sn．（1）求数列{cn}的通项公式；（2）若数列{dn}是等差