弯曲应力课件

1第十一章弯曲应力材料力学1第十一章弯曲应力材料力学

如AB段梁受弯时，横截面上只有弯矩而没有剪力，该段梁的变形称为纯弯曲。弯曲应力PPaaABQMxx纯弯曲：－++剪切弯曲：

某段梁弯曲时横截面上既有弯矩又有剪力。PPPaPa§11-1引言如AB段梁受弯时，横截面上只有弯矩而§11-2梁横截面上的正应力弯曲应力一、纯弯曲变形现象观察bdacabcdMM（1）所有纵向线都变成了曲线，且仍然相互平行，靠近上部的缩短，下部伸长。（2）所有横向线仍保持为直线，(平面假设)

且仍垂直于变形后的纵向线(无剪应变-无剪应力)。§11-2梁横截面上的正应力弯曲应力一、纯弯曲变形现象观察4弯曲应力中性层纵向对称面中性轴

由（1）知上部的纤维缩短，下部的纤维伸长，中间必有一层纤维既不缩短也不伸长，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。∴在梁的横截面上，以中性轴为界，一侧受拉，另一侧受压。4弯曲应力中性层纵向对称面中性轴由（1）知上部的纤维A1B1O1O弯曲应力abcdAB)))OO1)dqrxyy二、弯曲正应力计算公式的推导（一）变形几何关系：如图：OO1为中性层，AB为距中性层为y的纵向纤维，设：变形后中性层的曲率半径为，两横截面夹角为d，则有：对于给定截面，为常数，右式表明，横截面上某点的纵向应变与该点到中性轴的距离成正比。dxA1B1O1O弯曲应力abcdAB)))OO1)dqrxyy横截面的正应力分布图（二）物理关系：弯曲应力sxsx

纵向纤维都在纵向受拉伸或压缩，其应力-应变关系满足胡克定律。∴横截面上任一点的正应力与其到中性轴的距离成正比。横截面的正应力分布图（二）物理关系：弯曲应力sxsx7（三）静力学关系：

横截面上的微力dA组成平行于x轴的空间平行力系，满足以下三个静力关系：（1）横截面对中性轴z轴的静矩为零,即中性轴过截面形心弯曲应力7（三）静力学关系：横截面上的微力dA8一、静矩的定义(与力矩类似)dAzyyz静矩与形心截面对z轴的静矩：截面对y轴的静矩：静矩与截面形状、大小、轴的位置有关静矩的量纲：[长度]3（m3,cm3,mm3）静矩可能为正为负或等零。8一、静矩的定义(与力矩类似)dAzyyz静矩与形心截面对z9二、静矩与形心的关系dAzyyz形心坐标C由力矩的等效关系得到静矩的另一公式：若z、y轴通过形心C，则yC=zC=0，因此Sz=Sy=0。即：截面对其形心轴的静矩等于零。反之，若截面对某轴的静距为零，则该轴必过其形心。9二、静矩与形心的关系dAzyyz形心坐标C由力矩的等效关系弯曲应力EIz—梁的抗弯刚度（2）—曲率计算公式因此——截面对中性轴的惯性矩——纯弯曲时梁横截面上任一点的正应力计算公式弯曲应力EIz—梁的抗弯刚度（2）—曲率计算公式因此——截面111.应用正应力计算公式时，可不考虑M、y的正负号，以绝对值代入，最后再由梁的变形和点的位置来确定是拉应力还是压应力。

2.对于剪切弯曲，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小，因此上述的正应力计算公式也适用于剪切弯曲。

3.只要梁有一个纵向对称面（如：工字形、T字形、圆形等），且外力作用下发生平面弯曲，则上述的正应力计算公式仍然适用。111.应用正应力计算公式时，可不考虑M、y的正负号，以绝12*典型截面惯性矩的计算1、矩形截面zybhydy同理§11-4惯性矩与平行移轴定理12*典型截面惯性矩的计算1、矩形截面zybhydy同理§113zyD2、实心圆截面已知则由对称性知所以同理，空心圆截面13zyD2、实心圆截面已知则由对称性知所以同理，空心圆截面14平行移轴定理（与转动惯量类似）以形心C为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴zC,yC则某微元dA在两坐标系的位置关系为：dAzyyzrabCzCyC14平行移轴定理（与转动惯量类似）以形心C为原点，建立与原坐15注意：1、C点必须为形心，即：zC、yC必须是形心轴。2、式中的a、b是代数值。（可能取负值。）同理可得b为轴z与zC的轴距a为轴y与yC的轴距平行移轴公式：15注意：同理可得b为轴z与zC的轴距a为轴y与yC的轴距平（四）最大正应力：

弯曲应力DdDd=a矩形截面：实心圆截面：空心圆截面：Wz—抗弯截面模量（四）最大正应力：弯曲应力DdDd=a矩形截例1受均布载荷作用的简支梁试求：（1）1—1截面上1、2两点的正应力；及此截面上的最大正应力；（2）全梁的最大正应力；（3）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：画M图,求截面弯矩30例1受均布载荷作用的简支梁试求：（1）1—1截面上1、2两弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力18030弯曲应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1求曲率半径弯曲应力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030求曲率半径弯曲应力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M20弯曲应力例：已知，求最大弯曲正应力。16281448解：确定中性轴的位置z'Cz单位：cm计算最大正应力20弯曲应力例：已知§11-4梁横截面上的剪应力2、两点假设：与中性轴等距处，其剪应力相等。

剪应力与剪力平行；1、研究方法：隔离体平衡。

在梁上取微段，如图b；

微段上取一隔离体,

如图c。弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxN1xyzN2ttb图a图b图c由隔离体平衡条件，得A*——隔离体侧面面积§11-4梁横截面上的剪应力2、两点假设：与中性轴等距处弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxN1xyzN2ttb图a图b图c由剪应力互等定理，得同理得为隔离体的侧面积A*对中性轴z的静矩

b—截面的宽度Iz

—全横截面对中性轴z的惯性矩A*弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(23对于矩形截面，有将代入剪应力沿截面高度按二次抛物线规律分布,如图示。

可见，在横截面的上下边缘，即处，在中性轴(y=0处),剪应力最大,Qτ23对于矩形截面，有将代入剪应力沿弯曲应力其它截面梁横截面上的剪应力*研究方法与矩形截面同,剪应力的计算公式亦为：其中:Q——截面剪力；Sz*——横截面上距中性轴为y横线以外部分的面积A*对中性轴z的静矩；Iz

——整个截面对中性轴z轴之惯性矩；b

——y点处截面宽度。弯曲应力其它截面梁横截面上的剪应力*研究方法与矩形截面同,剪25*几种常见截面的最大弯曲剪应力1、工字形截面梁的剪应力I.腹板上的剪应力

腹板内距中性轴为y的点的剪应力为：

可见,腹板的剪应力按二次抛物线规律分布。

弯曲应力25*几种常见截面的最大弯曲剪应力1、工字形截面梁的剪应力26在中性轴(y=0),剪应力最大,最大值为

在腹板与翼缘交界处,剪应力最小,通常情况下，腹板厚度b远小于翼缘宽度B，因此，与相差不大，从而可认为腹板上的剪应力大致为均匀分布。

弯曲应力26在中性轴(y=0),剪应力最大,最大值为在腹板与翼缘交27又，有关理论证明，工字形截面梁的腹板承受的剪力Q1≈(0.95~0.97)Q，这表明横截面的剪力绝大部分由腹板承担，翼缘只承担极小的一部分（通常可忽略不计，而认为剪力全部由腹板承担）。因此，工字形截面梁的腹板上的剪应力可近似计算如下：

（bh为腹板的横截面面积）

II.翼缘上的剪应力

由前述知，翼缘所承担的剪力Q2≈(0.03~0.05)Q

，即翼缘只承担极小的一部分剪力，因而其剪应力也小，又由于其剪应力分布规律复杂，故通常忽略不计。

弯曲应力27又，有关理论证明，工字形截面梁的腹板承受的剪力Q1≈(0弯曲应力I.圆形截面：式中:Q为截面的剪力;A为圆截面面积.可见，圆形截面上的最大剪应力是平均剪应力的倍。与精确解相比，误差约为4%

。2、圆形和圆环形截面梁最大剪应力也都发生在中性轴上,且沿中性轴均匀分布。其值分别为：

II.圆环形截面：式中：Q为截面的剪力，r0为圆环的平均半径，

t为圆环的壁厚，A为圆环形截面面积。可见，圆环形截面上的最大剪应力是平均剪应力的2倍。

弯曲应力I.圆形截面：式中:可见，圆形截面上的最大剪应力是平§11-5

梁的正应力和剪应力强度条件弯曲应力一、梁的弯曲正应力强度条件：(A)拉压许用应力相同（塑性材料）的梁最大正应力（绝对值）应在许可应力范围之内。即：危险截面和危险点的判定（等截面梁）危险截面——弯矩绝对值最大的截面危险点——危险面上距中性轴最远点§11-5梁的正应力和剪应力强度条件弯曲应力一、梁的弯曲正弯曲应力(B)拉压许用应力不等（脆性材料）的梁最大压应力（绝对值）应分别小于许用应力：危险截面和危险点的判定（等截面梁）I)Z为对称轴时(如矩形)，+max与-max在同一截面上。危险截面——弯矩绝对值最大的截面危险点——危险截面的最上缘和最下缘II)Z轴不是对称轴时(如T形截面),+max与-max可能不在同一截面上。可能危险截面——最大正弯矩、最大负弯矩所在截面可能危险点——可能危险截面的最上缘或最下缘弯曲应力(B)拉压许用应力不等（脆性材料）的梁危险截面和危险31二、梁的剪应力强度条件：梁在荷载作用下产生的最大剪应力不能超过材料的许用剪应力,即：

进行梁的正应力强度和剪应力强度计算时,一般对于细长梁（梁的跨度与截面高度之比l/h>5

）,梁的强度主要由正应力强度条件控制,因此,选择梁的截面时,一般是先按正应力强度条件进行选择,选好截面后,再校核剪应力强度条件。但对于下列情况：（1）粗短梁；（2）支座附近有较大集中力的梁；（3）腹板较薄的工字梁；（4）木梁（顺纹抗剪能力差）。梁的剪应力强度条件可能会起控制作用，一般还要进行剪应力强度校核。31二、梁的剪应力强度条件：梁在荷载作用下产生的最大剪应力不32

工字型截面梁发生剪切弯曲时，正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴上，该处的正应力为零。在腹、翼相交处，Q和M均很大，是可能的危险点，它的强度应按强度理论进行计算（第13章讲）。sMQtts32工字型截面梁发生剪切弯曲时，正应力的最大Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：弯曲应力三、强度条件应用：

依此强度条件可进行三方面计算：Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：弯曲应力三、强度条件解：画内力图求危面内力例矩形(bh=0.12m0.18m)截面木梁，[]=7MPa，[]=0.9MPa，试求最大正应力和剪应力之比，并校核梁的强度。弯曲应力q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x解：画内力图求危面内力例矩形(bh=0.12m0求最大应力并校核强度应力之比弯曲应力q=3.6kN/mxM+Q–+x求最大应力并校核强度应力之比弯曲应力q=3.6kN/mxy1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例

T字形截面的铸铁梁受力如图,铸铁的[+]=30MPa,[-]=60MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm,y2=88mm,Iz=763cm4，试校核此梁的强度。弯曲应力P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kN·m4kN·mM画危面应力分布图，找危险点y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例T校核强度弯曲应力y1y2Gx2.5kNm-4kNmM画危面应力分布图，找危险点A3A4A1A2校核强度弯曲应力y1y2Gx2.5kNm-4kNmM画危38例：悬臂梁由三块木板粘接而成。长度为1m。胶合面的许可切应力为[胶]=0.34MPa，木材的[]=10MPa，[]=1MPa，求许可载荷。弯曲应力38例：悬臂梁由三块木板粘接而成。长度为1m。胶合面的许可切39弯曲应力解：1.作梁的剪力图和弯矩图Q(x)M(x)xxFFl＋－39弯曲应力解：1.作梁的剪力图和弯矩图Q(x)M(x)xx402.按正应力强度条件计算许可载荷3.按切应力强度条件计算许可载荷弯曲应力402.按正应力强度条件计算许可载荷3.按切应力强度条件计414.按胶合面切应力强度条件计算许可载荷5.梁的许可载荷为弯曲应力414.按胶合面切应力强度条件计算许可载荷5.梁的许可载荷42弯曲应力所谓梁的合理设计，指的是在满足梁的强度要求前提下，尽量少用材料。对于梁来说，弯矩处于主导地位、剪力是次要因素，因此，梁的设计，主要是依据弯曲正应力的强度条件进行设计的，我们也仅从弯曲正应力强度条件出发讨论梁的合理截面。§11-6

梁的合理设计42弯曲应力所谓梁的合理设计，指的是在满足梁的强度要求前提下43弯曲应力弯曲正应力强度条件提高弯曲强度的方法可从两个方面考虑：1外荷载总值不变的情况下，使Mmax尽量小一些。2截面积不变的情况下，使Wz尽量大一些。43弯曲应力弯曲正应力强度条件提高弯曲强度的方法可从两个方面44弯曲应力提高弯曲强度的常用措施一、降低Mmax1.合理配置荷载p++LMM尽量将集中力分散为几个较小的集中力或均布力。44弯曲应力提高弯曲强度的常用措施一、降低Mmax1.合理45弯曲应力qL0.2L0.2LMML2.合理配置支座q45弯曲应力qL0.2L0.2LMML2.合理配置支座q46弯曲应力二、提高Wz(在保持截面面积不变的前提下)PbhPbh(1)(2)1、合理放置截面46弯曲应力二、提高Wz(在保持截面面积不变的前提下)Pbh47弯曲应力zDzD10.8D12.

尽量将材料放置到远离中性轴的地方47弯曲应力zDzD10.8D12.尽量将材料放置到远离48弯曲应力zaaa13a1z48弯曲应力zaaa13a1z49弯曲应力工字型截面优于矩形截面，矩形截面优于圆形截面。圆环形截面优于圆形截面。截面形状圆形矩形槽钢工字钢工程中，可将作为衡量截面合理性的指标。(d=h)49弯曲应力工字型截面优于矩形截面，矩形截面优于圆形截面。截50弯曲应力3.选择截面形状时还应考虑材料特性塑性材料：选择中性轴为对称轴的截面，使得：脆性材料：

选择中性轴为非对称轴的截面，并使中性轴偏于材料强度弱的一边。尽量使得y1y250弯曲应力3.选择截面形状时还应考虑材料特性塑性材料：选择51三、使用等强度梁梁上每个截面的最大正应力都等于[]，称为等强度梁。弯曲应力xPL－MLP51三、使用等强度梁梁上每个截面的最大正应力都等于[]，称52弯曲应力PML/2L/2+鱼腹梁52弯曲应力PML/2L/2+鱼腹梁53弯曲应力[例]主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料和截面尺寸均相同，则副梁的最佳长度a为多少？53弯曲应力[例]主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提54弯曲应力解：主梁AB:ABM+54弯曲应力解：主梁AB:ABM+55弯曲应力PaCD副梁CD:由得MPa/4+55弯曲应力PaCD副梁CD:由得MPa/4+56弯曲应力例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［σt］和［σc］，则y1和y2的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）最佳就是指梁危险截面上最大弯曲拉压应力同时达到许用应力。解：56弯曲应力例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压§11–7

斜弯曲组合变形

当外力不作用在截面的纵向对称面内时，变形后梁的挠曲线并不在荷载平面内，此时梁不是发生平面弯曲，而是发生所谓的斜弯曲。

§11–7斜弯曲组合变形当外力不作用在截面的纵向组合变形现以一矩形截面悬臂梁为例说明梁发生斜弯曲时的应力和变形计算如下：

yLPxzxPzPy1.外力分解每个分力单独作用时,发生基本变形—平面弯曲

Py=Pcos

Pz=Psin组合变形现以一矩形截面悬臂梁为例说明梁发生斜弯曲时的应力和变组合变形yLPxzxPzPy2.计算截面x上各基本变形的弯矩(上拉、下压)(后拉、前压)弯矩Mz、My的符号规定：使截面x上位于第一象限的点受拉为正，反之为负.组合变形yLPxzxPzPy2.计算截面x上各基本变形的弯组合变形yLPxzxPzPy3.分别计算弯矩Mz,My在截面内引起的正应力：

各基本变形的正应力分布如下图:组合变形yLPxzxPzPy3.分别计算弯矩Mz,My在截组合变形4.由叠加原理,得截面x内的任意点的正应力为:---斜弯曲正应力计算公式

公式表明：斜弯曲时,横截面上的正应力σ是y、z的线性函数,所以,正应力σ的分布规律是一平面。

组合变形4.由叠加原理,得截面x内的任意点的正应5.设中性轴上点的坐标为y0、z0，由于中性轴上点的正应力等于零，所以有：

——中性轴（或零线）方程MzMyzy中性轴P①当IzIy时，

，中性轴不再垂直于荷载作用面，即变形平面与力平面不重合，此时梁发生斜弯曲;②当Iz=Iy时，

=，即变形平面与力平面重合，此时梁发生平面弯曲。如：正方形、圆形截面梁。5.设中性轴上点的坐标为y0、z0，由于中性轴上点的正应力等MzMyzy中性轴P6.最大正应力及强度条件在危险截面距离中性轴最远的点，就是最大正应力作用点。本例中的矩形截面悬臂梁的最大正应力发生在固定端截面的a点（最大拉应力）和c点（最大压应力），强度条件为：

MzMyzy中性轴P6.最大正应力及强度条件组合变形例1：图示为No.32a工字钢简支梁AB，已知跨中荷载P=30kN，α=150，l=4m，材料为A3钢，其[σ]=160MPa，试校核梁的正应力强度。

解:1.将力P沿y、z轴分解,得:Py=Pcosα

，Pz=Psinα

组合变形例1：图示为No.32a工字钢简支梁AB，已知跨中荷组合变形2.查型钢表得：32a工字钢的3.校核梁的正应力强度所以，梁的正应力强度足够。附：本题中，若α=00，则梁发生平面弯曲，此时组合变形2.查型钢表得：3.校核梁的正应力强度所以，梁的正应例3、图示悬臂梁，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力[σ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1)截面为矩形，h=2b；(2)截面为圆形。

解：（1）（2）例3、图示悬臂梁，已知F1=800N，F2=1.6kN，l§11–8

拉(压)弯组合变形组合变形以一矩形截面悬臂梁为例说明梁发生拉伸与弯曲组合变形的应力计算如下：

§11–8拉(压)弯组合变形组合变形以一矩形截面悬臂梁为组合变形2.内力分析绘制轴力图和弯矩图，可见固定端面为危险截面。1.外力分析P作用在梁的纵向对称面xy平面内，则力P可分解为:组合变形2.内力分析1.外力分析组合变形3.应力分析绘制横截面上各基本变形的应力分布图:组合变形3.应力分析组合变形应力叠加:正应力叠加后，横截面上正应力分布规律可能有三种情况:组合变形应力叠加:正应力叠加后，横截面上正应力分布规律可能有组合变形4.强度条件①材料拉压性能相同（塑性材料）②材料拉压性能不同（脆性材料）组合变形4.强度条件①材料拉压性能相同（塑性材料）②材料组合变形例4已知P=20kN,=15°，l=1.2m，A=9.2103mm2，Iz=26.1106mm4，[+]=20MPa

，[－]=80MPaPy=Psin=5.18kNPx=Pcos=19.3kNMz=48Px=926N.m解：1）外力分解并平移y1=48mm，y2=142mm，试校核其正应力强度.组合变形例4已知P=20kN,=15°，l=1.组合变形(KN)3）绘制内力图——N，M图2）外力分组:组合变形(KN)3）绘制内力图2）外力分组:组合变形(KN)ABA截面2.1MPa9.7MPa28.7MPa7.6MPa30.8MPa4）危险点应力计算组合变形(KN)ABA截面2.1MPa9.7MPa28.7M组合变形(KN)ABB截面2.1MPa1.68MPa4.98MPa3.76MPa2.88MPa组合变形(KN)ABB截面2.1MPa1.68MPa4.98组合变形5）强度校核:梁的强度满足。组合变形5）强度校核:梁的强度满足。组合变形偏心拉伸（压缩）外力特点：外力平行轴线，但与轴线不重合。oPA(yP,zP)zyx组合变形偏心拉伸（压缩）外力特点：外力平行轴线，但与轴线不组合变形oPA(yP,zP)zyx1.外力分析

将力P向形心平移，得到一个等效力系：轴向压力P和两个作用在互相正交的纵向对称面内的力偶my

=PzP，mz

=PyPPmymz轴向压力P——引起轴向压缩my——绕y轴转动的平面弯曲mz——绕z轴转动的平面弯曲组合变形oPA(yP,zP)zyx1.外力分析组合变形2.内力分析ozyxPMyMzx对任意横截面，有:轴力N=－P弯矩My=－my=－PzP

(前拉,后压)弯矩Mz=－mz=－PyP

(左拉,右压)(规定:使横截面第一象限内的点受拉的弯矩为正)组合变形2.内力分析ozyxPMyMzx对任意横截面，有:组合变形3.应力分析E(y,z)对横截面上任意点：ozyxPMyMzx组合变形3.应力分析E(y,z)对横截面上任意点：ozyxP组合变形E(y,z)ozyxPMyMzx

在实