结构动力学计算课件

Review动荷载(DynamicLoad)的定义与分类；动力学研究的内容、任务；动力自由度(DynamicDegreeofFreedom)Review动荷载(DynamicLoad)的定义与分类10.2单自由度无阻尼体系的自由振动

Free-VibrationofSDOFSystemwithoutDampingSDOF：singledegreeoffreedom10.2单自由度无阻尼体系的自由振动SDOF：singl教学内容

自由振动微分方程的建立：刚度法、柔度法

自由振动微分方程的解解的物理意义教学内容自由振动微分方程的建立：刚度法、柔度法重要性单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估算，如：水塔、单层厂房等。单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力体系分析的基础。

重要性单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估质点的达朗伯(d’Alembert)原理

在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。1.自由振动方程的建立要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，这里介绍建立在达朗伯原理基础上的“动静法”。

形式上的平衡方程，实质上的运动方程。Formulationtheequationoffree-vibration质点的达朗伯(d’Alembert)原理在质点运动的任一yk悬臂梁-质量模型

刚度法(Stiffnessmethod)建立振动微分方程的2种方法yk悬臂梁-质量模型刚度法(Stiffnessmetho理论力学知识的回顾：弹簧-振子模型-kyykm惯性力

（Inertiaforce）:与加速度的方向相反弹性力-ky（Elasticforce）：与位移方向相反约束反力和惯性力的平衡yO描述下其运动过程？yOk—刚度系数（Stiffnesscoefficient）：使弹簧发生单位变形时所需施加的力。理论力学知识的回顾：弹簧-振子模型-kyykm惯性力从力系平衡角度建立自由振动微分方程的方法称为刚度法(Stiffnessmethod).k—刚度系数（Stiffnesscoefficient）：使结构发生单位位移时所施加的力。yk-kyyOyO从力系平衡角度建立自由振动微分方程的方法称为刚度法(Sti

刚度法列运动方程的步骤建立体系的坐标系，确定坐标原点；取质量为隔离体，进行受力分析（需考虑惯性力）；列平衡方程；刚度法列运动方程的步骤建立体系的坐标系，确定坐标原点；OY建立图示体系的竖向运动方程：重力的影响分析以平衡位置为坐标原点OykW以静力平衡位置建立坐标，可不考虑重力的影响，总位移为动位移与静位移之和。OY建立图示体系的竖向运动方程：重力的影响分析以平衡位置为坐EImEI例1.用刚度法列体系的运动方程lmEIEIlP=1l单自由度体系运动方程的通用形式k=?，静力学知识为基础图乘法EImyOEImEI例1.用刚度法列体系的运动方程lmEIEIlP=柔度法(Flexibilitymethod)F=1不同方法得到相同的表达式柔度的定义和物理意义？与刚度的关系？单位荷载引起的结构的变形ykkyO受力分析，求外力作用下体系的位移从柔度的概念出发，分析结构的变形，建立运动方程柔度法(Flexibilitymethod)F=1不同方

柔度法列运动方程的步骤在质量上沿位移方向施加惯性力；求外力（包括惯性力）引起的质量的位移；令该位移等于体系的位移；柔度法列运动方程的步骤在质量上沿位移方向施加惯性力；求例2.用柔度法建立体系的运动方程lmEIEIl图乘法yOyP=1l例2.用柔度法建立体系的运动方程lmEIEIl图乘法yOy柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。例3：用柔度法列运动方程=1lmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/4柔度法步骤：例3：用柔度法列运动方程=1lmEIlEIl/2例4.求图示体系的自振频率和周期。=1解：mEIllm/2EIEIll自由度数判断：1个例4.求图示体系的自振频率和周期。=1解：mEIllm/2E2.自由振动微分方程的解,

C1、C2为由初始条件确定的待定常数高等数学知识2.自由振动微分方程的解,C1、C2为由初始条件确定结构动力学计算课件振幅：Amplitude初始相位角：Initialphaseangle振幅：Amplitude初始相位角：Initialphas3.基本概念及其物理意义为质点重力沿振动方向作用时引起的质点静位移圆频率自振周期频率在2π个单位时间内的振动次数，单位Rad/sy(t+T)=y(t)单位时间内的振动次数，单位s-1或者Hz3.基本概念及其物理意义为质点重力沿振动方向作用时引起的质结构自振周期的一些重要性质：⑴自振周期是结构固有特性，仅与结构的质量和刚度有关，与外界影响无关，外界扰动只能影响振幅，不能改变自振周期；⑵要改变结构的自振周期，只能从改变结构质量或刚度入手；⑶自振周期是结构动力性能的一个重要数量标志。结构自振周期的一些重要性质：例5.如图所示等截面简支梁，截面抗弯刚度EI，跨度为l。在梁的跨度中点有一个集中质量m。如果忽略梁本身的质量，试求梁的自振周期T和圆频率ω。

mEIP=1EI例5.如图所示等截面简支梁，截面抗弯刚度EI，跨度为l。在例6.求图示外伸梁的自振频率，不计梁的质量。若在初始给质量一个初速度v0，求自由振动的响应（振幅和相位）

EIP=1m自由度个数判断：1个自振频率计算公式计算k或δ：静力学知识初始条件：自由振动的响应为：例6.求图示外伸梁的自振频率，不计梁的质量。若在初始给质4.振动特征

VibrationCharacteristicDisplacementAccelerationInertiaForce

惯性力大小与位移成正比，且方向总是相同。注意：是与位移y(t)同向。4.振动特征VibrationCharacteris由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，把微分方程转化为代数方程，使计算得以简化。DisplacementInertiaForce

在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值；由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值处建立例7.求图示体系的自振频率k单自由度体系列幅值方程时，最大惯性力应与位移方向相同例7.求图示体系的自振频率k单自由度体系列幅值方程时，最大Homework可不抄写题目，但应标明题号，写出详细的求解过程。补充题：求图示体系自振频率。设梁端重物的质量为m，梁与弹簧的质量不计，并讨论体系自振频率随弹簧弹性刚度k的变化规律。lEImk

10-310-410-5Homework可不抄写题目，但应标明题号，写出详细的求解过m2mAy(t)2y(t)3y(t)练习1.列出体系的运动方程，并求自振频率。m2mlllkA习题课yO方法1：根据受力分析，列运动方程单自由度体系运动方程通用形式m2mAy(t)2y(t)3y(t)练习1.列出体系的运m2mAA方法2：列幅值方程yO2A3A列运动方程时，惯性力是一个整体，其方向与位移同向；列幅值时，惯性力幅值其方向与位移同向。m2mAA方法2：列幅值方程yO2A3A列运动方程时，惯性层间侧移刚度EImEIll对于带刚性横梁的刚架（剪切型刚架），当两层之间发生相对单位水平位移时，两层之间所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度。1EImEIEI画弯矩图？位移法层间侧移刚度EImEIll对于带刚性横梁的IIEI1=mhk练习2.计算图示刚架的频率和周期。

StiffnesscoefficientIIEI1=mhk练习2.计算图示刚架的频率和周期。S练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时的自振频率，自重忽略不计。练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时的自振频率，自重忽HorizontalVibration：Anti-symmetricalLoad+symmetricalStructure-----FlexibilityMethodHorizontalVibration：Anti-symmHorizontalVibration：-----StiffnessMethodP280HorizontalVibration：-----StifVerticalVibration：symmetricalLoad+symmetricalStructure-----FlexibilityMethodVerticalVibration：symmetricalVerticalVibration：-----StiffnessMethodSDOF的自振频率采用柔度法和刚度法进行计算。一般来说，当结构为静定，或超静定次数较低，便于计算柔度系数时，采用柔度法；当超静定次数较高，便于计算刚度系数时，则刚度法较为方便。如结构具有对称性，可利用对称性进行简化计算。VerticalVibration：-----StiffP=1练习4.图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2ml/2l/2ml/2l/2mFlexibilityCoefficient:P=15l/323l/16l/2结构约束越强,其刚度越大，自振动频率也越大。据此可得：P=1练习4.图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质1θ练习5.求图示结构的自振圆频率解法1：求

kθ=1/hMBA=kh=MBCklhmI→∞EIBAC1h解法2：求

δ1θ练习5.求图示结构的自振圆频率解法1：求kθ=1/h练习6.求图示结构的自振频率lEImk1k11k11kStiffnesscoefficient弹簧串联：每个弹簧承受的荷载相等，都等于外荷载。弹簧并联：每个弹簧的变形相等。练习6.求图示结构的自振频率lEImk1k11k11kSt练习7.求图示结构的自振频率，梁的分布质量不计，支座的弹簧刚度系数为k。P=1δ1P=1l/2l/4关键：柔度系数，柔度系数的概念沿W的振动方向施加单位力，位移δ由两部分组成：由于弹性支座变形产生的δ1和由于杆件变形产生的δ2。（1）求δ1：只有弹簧变形，杆件不变形（2）求δ2：只有杆件变形，弹簧不变形Wl0.5l0.5lBCAEIkΔRB练习7.求图示结构的自振频率，梁的分布质量不计，支座的弹簧练习8.求图示结构的自振频率1有几个自由度？m/2lEIm/2EIEIEIl求刚度系数容易还是柔度系数容易？理解k的物理意义！！！k练习8.求图示结构的自振频率1有几个自由度？m/2lEImHomework补充题：图示桁架，在跨中结点上有一集中质量m，求体系自振圆频率。各杆EA为常数，质量不计。提示：m2d2dd自由度数判断：1个，竖向振动；转化为求刚度系数或柔度系数；求柔度系数容易，如何求？回顾下桁架结构的位移计算。Homework补充题：图示桁架，在跨中结点上有一集中质量mReview动荷载(DynamicLoad)的定义与分类；动力学研究的内容、任务；动力自由度(DynamicDegreeofFreedom)Review动荷载(DynamicLoad)的定义与分类10.2单自由度无阻尼体系的自由振动

Free-VibrationofSDOFSystemwithoutDampingSDOF：singledegreeoffreedom10.2单自由度无阻尼体系的自由振动SDOF：singl教学内容

自由振动微分方程的建立：刚度法、柔度法

自由振动微分方程的解解的物理意义教学内容自由振动微分方程的建立：刚度法、柔度法重要性单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估算，如：水塔、单层厂房等。单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力体系分析的基础。

重要性单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估质点的达朗伯(d’Alembert)原理

在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。1.自由振动方程的建立要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，这里介绍建立在达朗伯原理基础上的“动静法”。

形式上的平衡方程，实质上的运动方程。Formulationtheequationoffree-vibration质点的达朗伯(d’Alembert)原理在质点运动的任一yk悬臂梁-质量模型

刚度法(Stiffnessmethod)建立振动微分方程的2种方法yk悬臂梁-质量模型刚度法(Stiffnessmetho理论力学知识的回顾：弹簧-振子模型-kyykm惯性力

（Inertiaforce）:与加速度的方向相反弹性力-ky（Elasticforce）：与位移方向相反约束反力和惯性力的平衡yO描述下其运动过程？yOk—刚度系数（Stiffnesscoefficient）：使弹簧发生单位变形时所需施加的力。理论力学知识的回顾：弹簧-振子模型-kyykm惯性力从力系平衡角度建立自由振动微分方程的方法称为刚度法(Stiffnessmethod).k—刚度系数（Stiffnesscoefficient）：使结构发生单位位移时所施加的力。yk-kyyOyO从力系平衡角度建立自由振动微分方程的方法称为刚度法(Sti

刚度法列运动方程的步骤建立体系的坐标系，确定坐标原点；取质量为隔离体，进行受力分析（需考虑惯性力）；列平衡方程；刚度法列运动方程的步骤建立体系的坐标系，确定坐标原点；OY建立图示体系的竖向运动方程：重力的影响分析以平衡位置为坐标原点OykW以静力平衡位置建立坐标，可不考虑重力的影响，总位移为动位移与静位移之和。OY建立图示体系的竖向运动方程：重力的影响分析以平衡位置为坐EImEI例1.用刚度法列体系的运动方程lmEIEIlP=1l单自由度体系运动方程的通用形式k=?，静力学知识为基础图乘法EImyOEImEI例1.用刚度法列体系的运动方程lmEIEIlP=柔度法(Flexibilitymethod)F=1不同方法得到相同的表达式柔度的定义和物理意义？与刚度的关系？单位荷载引起的结构的变形ykkyO受力分析，求外力作用下体系的位移从柔度的概念出发，分析结构的变形，建立运动方程柔度法(Flexibilitymethod)F=1不同方

柔度法列运动方程的步骤在质量上沿位移方向施加惯性力；求外力（包括惯性力）引起的质量的位移；令该位移等于体系的位移；柔度法列运动方程的步骤在质量上沿位移方向施加惯性力；求例2.用柔度法建立体系的运动方程lmEIEIl图乘法yOyP=1l例2.用柔度法建立体系的运动方程lmEIEIl图乘法yOy柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。例3：用柔度法列运动方程=1lmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/4柔度法步骤：例3：用柔度法列运动方程=1lmEIlEIl/2例4.求图示体系的自振频率和周期。=1解：mEIllm/2EIEIll自由度数判断：1个例4.求图示体系的自振频率和周期。=1解：mEIllm/2E2.自由振动微分方程的解,

C1、C2为由初始条件确定的待定常数高等数学知识2.自由振动微分方程的解,C1、C2为由初始条件确定结构动力学计算课件振幅：Amplitude初始相位角：Initialphaseangle振幅：Amplitude初始相位角：Initialphas3.基本概念及其物理意义为质点重力沿振动方向作用时引起的质点静位移圆频率自振周期频率在2π个单位时间内的振动次数，单位Rad/sy(t+T)=y(t)单位时间内的振动次数，单位s-1或者Hz3.基本概念及其物理意义为质点重力沿振动方向作用时引起的质结构自振周期的一些重要性质：⑴自振周期是结构固有特性，仅与结构的质量和刚度有关，与外界影响无关，外界扰动只能影响振幅，不能改变自振周期；⑵要改变结构的自振周期，只能从改变结构质量或刚度入手；⑶自振周期是结构动力性能的一个重要数量标志。结构自振周期的一些重要性质：例5.如图所示等截面简支梁，截面抗弯刚度EI，跨度为l。在梁的跨度中点有一个集中质量m。如果忽略梁本身的质量，试求梁的自振周期T和圆频率ω。

mEIP=1EI例5.如图所示等截面简支梁，截面抗弯刚度EI，跨度为l。在例6.求图示外伸梁的自振频率，不计梁的质量。若在初始给质量一个初速度v0，求自由振动的响应（振幅和相位）

EIP=1m自由度个数判断：1个自振频率计算公式计算k或δ：静力学知识初始条件：自由振动的响应为：例6.求图示外伸梁的自振频率，不计梁的质量。若在初始给质4.振动特征

VibrationCharacteristicDisplacementAccelerationInertiaForce

惯性力大小与位移成正比，且方向总是相同。注意：是与位移y(t)同向。4.振动特征VibrationCharacteris由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，把微分方程转化为代数方程，使计算得以简化。DisplacementInertiaForce

在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值；由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值处建立例7.求图示体系的自振频率k单自由度体系列幅值方程时，最大惯性力应与位移方向相同例7.求图示体系的自振频率k单自由度体系列幅值方程时，最大Homework可不抄写题目，但应标明题号，写出详细的求解过程。补充题：求图示体系自振频率。设梁端重物的质量为m，梁与弹簧的质量不计，并讨论体系自振频率随弹簧弹性刚度k的变化规律。lEImk

10-310-410-5Homework可不抄写题目，但应标明题号，写出详细的求解过m2mAy(t)2y(t)3y(t)练习1.列出体系的运动方程，并求自振频率。m2mlllkA习题课yO方法1：根据受力分析，列运动方程单自由度体系运动方程通用形式m2mAy(t)2y(t)3y(t)练习1.列出体系的运m2mAA方法2：列幅值方程yO2A3A列运动方程时，惯性力是一个整体，其方向与位移同向；列幅值时，惯性力幅值其方向与位移同向。m2mAA方法2：列幅值方程yO2A3A列运动方程时，惯性层间侧移刚度EImEIll对于带刚性横梁的刚架（剪切型刚架），当两层之间发生相对单位水平位移时，两层之间所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度。1EImEIEI画弯矩图？位移法层间侧移刚度EImEIll对于带刚性横梁的IIEI1=mhk练习2.计算图示刚架的频率和周期。

StiffnesscoefficientIIEI1=mhk练习2.计算图示刚架的频率和周期。S练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时的自振频率，自重忽略不计。练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时的自振频率，自重忽HorizontalVibration：Anti-symmetricalLoad+symmetricalStructure-----FlexibilityMethodHorizontalVibration：Anti-symmHorizontalVibration：-----StiffnessMethodP280HorizontalVibration：-----StifVerticalVibration：symmetricalLoad+symmetricalStructure-----FlexibilityMethodVerticalVibration：symmetricalVerticalVibration：-----StiffnessMethodSDOF的自振频率采用柔度法和刚度法进行计算。一般来说，当结构为静定，或超静定次数较低，便于计算柔度