高考论坛新课标数学理一轮教师备课练习61不等关系与不等式(含答案详析)

第六章不等式及不等式选讲第一节不等关系与不等式[考情展望]1.观察相关不等式的命题真假及数式的大小比较.2.观察与不等式相关的充分必要条件的判断.3.观察和函数、数列等知识的综合应用．一、实数的大小序次与运算性质的关系a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0.二、不等式的性质1．对称性：a>b?b<a；(双向性)2．传达性：a>b，b>c?a>c；(单向性)3．可加性：a>b?a＋c>b＋c；(双向性)a>b，c>d?a＋c>b＋d；(单向性)4．可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd；(单向性)5．乘方法规：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)；(单向性)nn6．开方法规：a>b>0?a>b(n∈N，n≥2)；(单向性)117．倒数性质：设ab＞0，则a＜b?a＞b.(双向性)真、假分数的性质若a＞b＞0，m＞0，则(1)真分数的性质：ba＜

b＋m，b＞a＋ma

b－m(b－m＞0)a－m(2)假分数的性质：ab＞

a＋ma，＜b＋mb

a－m(b－m＞0)b－m．对于实数2＞bc2”的()1a，b，c，“a＞b”是“acA．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件【剖析】a＞bD/?ac2＞bc2，如c＝0时，ac2＝bc2，但ac2＞bc2?a＞b，∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件．【答案】B2．在城区限速40km/h的路标，指示司机在前面路段行驶时，应使汽车的速度v不高出40km/h，写成不等式就是()A．v＜40km/hB．v＞40km/hC．v≠40km/hD．v≤40km/h【答案】D3．已知a，b为非零实数，且a＞b，则以下不等式必然建立的是()4411A．a＞bB.a＜bC．|a|＞|b|D．2a＞2b【剖析】当a＝1，b＝－2时，A、B、C均不正确，由y＝2x的单调性知，D正确．【答案】D1与3＋1的大小关系为________．4.2－1【剖析】12＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，－(3＋1)＝(2－11＜3＋1.2－1【答案】1＜3＋12－15．(2012·湖南高考)设a>b>1，c<0，给出以下三个结论：①ac>bc；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③【剖析】11∵a>b>1，∴a<b.又c<0，c>，故①正确．bc当c＜0时，y＝x在(0，＋∞)上是减函数，又a>b>1，∴ac<bc，故②正确．∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.∵a>b>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确．【答案】D．·天津高考设，∈，则“－2＜0”是“a＜b”的()6(2013)abR(ab)·aA．充分而不用要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件【剖析】2建立，则＜建立；而当＝，由不等式的性质知(a－b)·a＜0aba02不行立，因此(a－b)2是a＜b的充分而不用要条a＜b成马上，(a－b)·a＜0·a＜0件．【答案】A考向一[099]应用不等式表示不等关系(1)某地规定当地最低生活保障金不低于300元，上述不等关系写成不等式为________．(2)某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不高出1000万元的资本购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．依照需要，A型汽车最少买5辆，B型汽车最少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．【思路点拨】(1)“不低于300元”的含义为“大于等于300元”．(2)“最少”及“不高出”的含义分别为“大于等于”和“小于等于”．【试一试解答】(1)设最低生活保障金为x元，则x≥300.【答案】x≥300(2)设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则x、y满足40x＋90y≤1000，x≥5，y≥6，x，y∈N*.规律方法11.本例2在求解时，常因忽略变量x，y∈N*致误.2.求解此类问题必然要正确将题目中文字语言转变成数学符号语言如不等式等，特别是注意“不高出”、“最少”、“低于”表示的不等关系，同时还应试虑变量的实质意义.考向二[100]不等式的性质及应用ab(1)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则以下命题：①ad＞bc；②d＋c＜0；a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中能建立的命题为________．2(2)已知函数f(x)＝ax＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．(2)把f(－2)表示成mf(－1)＋nf(1)的形式是解题的要点．用待定系数法也许以a、b为桥梁，利用方程思想解题．【试一试解答】(1)∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，则ad＜bc，(1)错误．由a＞0＞b＞－a，知a＞－b＞0，又－c＞－d＞0，因此a·(－c)＞(－b)·(－d)，即ac＋bd＜0，bac＋bd＋＝＜0，故(2)正确．ccd显然a－c＞b－d，∴(3)正确．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴(4)正确．【答案】②③④(2)法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.m＋n＝4，m＝3，于是得解得n－m＝－2，n＝1，∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.－1＝a－b，法二由于f1＝a＋b，∴a＝f－1＋f1，b＝f1－f－1.22∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.故5≤f(－2)≤10.规律方法21.解题时，易忽略不等式性质建立的条件，或“招惹是非”自造性质致使推理判断失误.2.由a＜fx，y＜b，c＜gx，y＜d，求Fx，y的取值范围，可利用待定系数法解决，即设Fx，y＝mfx，y＋ngx，y，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得Fx，y的取值范围.对点训练(1)设b＜a，d＜c，则以下不等式中必然建立的是()A．a－c＜b－dB．ac＜bdC．a＋c＞b＋dD．a＋d＞b＋c－1≤α＋β≤1，试求α＋3β的取值范围．(2)若α，β满足1≤α＋2β≤3，【剖析】(1)由不等式的同向可加性可知C正确．【答案】C(2)设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.x＋y＝1，

x＝－1，由

解得x＋2y＝3，

y＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.考向三[101]比较大小m2x(1)已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝x－1，试比较f(a)与f(b)的大小；(2)比较aabb与abba(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)的大小．【思路点拨】(1)计算出f(a)与f(b)，用作差法或综合法比较大小；(2)幂式比较大小，用作商法比较大小．【试一试解答】(1)法一∵f(a)＝m2a，f(b)＝m2b，a－1b－122ab∴f(a)－f(b)＝ma－mb＝m2－a－1b－1a－1b－12ab－1－ba－12b－a，＝m·＝m·a－1b－1a－1b－1当m＝0时，f(a)＝f(b)；当m≠0时，m2＞0，又a＞b＞1，∴f(a)＜f(b)，即f(a)≤f(b)．法二∵f(x)＝m2x＝m21＋1，x－1x－1∴f(a)＝m21＋1，f(b)＝m21＋1，a－1b－1由于a＞b＞1，∴a－1＞b－1＞0，∴1＋11＜1＋，a－1b－11＝m21当m＝0时，m21＋1＋，a－1b－1即f(a)＝f(b)；21211＋1＋，当m≠0时，m＜mb－1a－1即f(a)＜f(b)，∴f(a)≤f(b)．(2)依照同底数幂的运算法规，采用作商法，aabbabbaaababba＝a－b－＝b－，a当a＞b＞0时，b＞1，a－b＞0，则

ab

a－babba＞1，∴ab＞ab，a当b＞a＞0时，0＜b＜1，a－b＜0，aababba则b－＞1，∴ab＞ab，当a＝b＞0时，aa－b＝1，b∴aabb＝abba，综上知aabb≥abba(当且仅当a＝b时取等号)．规律方法31.第(1)中，若注意到m2≥0，亦可构造函数φ(x)＝x(x＞1)，x－1判断出φ(x)是减函数，f(a)≤f(b)．2．(1)“作差比较法”的过程可分为四步：①作差；②变形；③判断差的符号；④作出结论．其中要点一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方a等．(2)“作商比较法”的依照是“b＞1，b＞0?a＞b”，在数式构造含有幂或根式时，常采用比商法．对点训练若a＞b＞0，试比较aa＋bb与ab＋ba的大小．【解】(aa＋bb)－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(ab)＝(a－b)2(a＋b)，a＋b＞0，(a－b)2＞0，∴(aa＋bb)－(ab＋ba)＞0，∴aa＋bb＞ab＋ba.易错易误之十一不等式变形中盲目扩大范围————[1个示模范]————[1个防错练]—————(2012·陕西高考改编)设函数f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N*，b，c∈R)．1(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明f(x)在区间2，1内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最大值和最小值．【解】(1)当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋－，x1111×1＜0，f2f(1)＝2n－21∴f(x)在区间2，1内有零点，又当x∈12，1时，f′(x)＝n·xn－1＋1＞0，1∴f(x)在2，1上是单调递加的，1∴f(x)在2，1内存在唯一零点．(2)法一由n为偶数，且|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，1≤f－1≤1，∴1≤f1≤1.0≤b－c≤2，即－2≤b＋c≤0.本例2在求解中常犯以下错误：,∵n为偶数，且|f－1|≤1，|f1|≤1，0≤b－c≤2，∴2≤b＋c≤0.因此－1≤b≤1，且－2≤c≤0.,∴－7≤b＋3c≤1，,故b＋3c的最大值为1，最小值为－7.出错原因为：1忽略字母b、c相互限制的条件，片面将b，c切割开来致使字母范围发生变化.多次运用同向不等式相加这一性质，不是等价变形，扩大变量的取值范围，致使最值求解错误.作上述不等式组表示的可行域，以下列图．b令t＝b＋3c，则c＝3－3.平移b＋3c＝0，知直线过原点O时截距最大，过点A时截距最小，∴t＝b＋3c的最大值为0＋3×0＝0；最小值为0＋3×(－2)＝－6.f－1＝1－b＋c，法二由题意知f1＝1＋b＋c，解得b＝f1－f－1，c＝f1＋f－1－222，∴b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3.又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，∴－6≤b＋3c≤0.当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.【防范措施】办理该类问题的方式常有两种：利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后经过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围.运用线性规划，依照t＝b＋3c的几何意义，数形结合求t的最值.已知函数f(x)＝ax2－c，且f(1)∈[－4，－1]，f(2)∈[－1,5]，求f(3)的取值范围．【解】法一(以a、c为桥梁，方程组思想)