泛函分析讲义第八章课件

第八章有界线性算子和连续线性泛函§1有界线性算子和连续线性泛函§2有界线性算子空间和共轭空间第八章有界线性算子和连续线性泛函§1有界线性算子和连1算子：从赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映射。算子可以说是函数和函数之间的对应。泛函：如果Y是数域，则称这种算子为泛函。本章主要研究线性算子和线性泛函，首先引入线性泛函和线性算子的概念，证明赋范线性空间中线性算子的连续性等价于有界性，并引出有界线性算子的一个基本的量，即算子的范数，证明有界线性算子全体按算子范数成为一个赋范线性空间。主要内容：算子：从赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映射。算子可2§1有界线性算子和连续线性泛函

设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对于任何D

，及数成立1、线性算子和线性泛函则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D(T)，TD称为T的值域，记为R(T)，当T取值于实（或复）数域时，就称T为实（或复）线性泛函。§1有界线性算子和连续线性泛函设X和Y是两个同为3

（1）设X是线性空间，是一给定的数，对任何，令2、线性算子和线性泛函的例子显然，T是X到X中的线性算子，称为相似算子。当时，称为恒等算子；当时，称为零算子。

（2）对每个，规定由积分的线性性质，可知T是到中的线性算子。若令则是上线性泛函。若令T是线性算子，称为乘法算子。（1）设X是线性空间，是一给定的数，对任何4

（3）对每个，规定由导数运算的线性性质，可知T是到中的线性算子，称为微分算子。若令，则是上线性泛函。（4）矩阵与线性算子的对应性：设是n维线性空间，在中取一组基，则对任何可以唯一的表示成，对每一个方阵，作到中算子T如下：当时，令其中。显然这样定义的T是线性算子，称为线性变换。算子由方阵唯一确定。（3）对每个，规定由导数运算53、线性算子的有界性与连续性

（1）连续性定理

设X，Y都是赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，如果T在某一点D(T)上连续，则T在D(T)上处处连续。

该定理说明，要验证线性算子T的连续性，只需要验证T在某一点连续。又相当于下面要引进的有界性。

（2）有界线性算子

设X，Y都是赋范线性空间，T是X的线性子空间D(T)到Y的线性算子，如果存在常数，是对所有D(T)，有则称T是D(T)到Y中的有界线性算子。3、线性算子的有界性与连续性（1）连续性定理6

换句话说，设X，Y是两个赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，如果算子T将其定义域中每个有界集映射成Y中的有界集，就称T是有界线性算子，简称为有界算子。不是有界的算子成为无界算子。显然，赋范线性空间中的相似算子显然是有界算子。

（3）连续性与有界性的关系

设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件为T是X上连续算子。注意区别有界算子与有界函数。换句话说，设X，Y是两个赋范线性空间，T是X到Y的线7

4、算子的范数

T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子，称为算子T在D(T)上的范数。若T为有界线性算子，则其范数是有限数，有并非所有算子都有界。例如微分算子，P[0,1]为C[0,1]的子空间，令，则，但，所以，T是无界算子。4、算子的范数若T为有界线性算子，则其范数是有限数，8§2有界线性算子空间和共轭空间

1、有界线性B(X

→

Y)

算子全体所成空间

设X，Y都是赋范线性空间，B(X→Y)是X到Y的有界线性算子全体，当A，BB(X→Y),是任意一个数时，规定

则B(X→Y)按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间。

定理1

设X是赋范线性空间，Y是巴拿赫空间时，B(X→Y)也是巴拿赫空间。§2有界线性算子空间和共轭空间1、有界线性B(X9

2、连续线性泛函全体所成空间

设X是赋范线性空间，令表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称为共轭空间。

定理2

任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。

例如：

的共轭空间为。

的共轭空间为，其中

定义：设X和Y是两个赋范线性空间，T是X到Y中的线性算子，并且对所有，有则称T是X到Y中的保距算子，如果T又是映射到Y上的，则称T是同构映射，此时称X与Y同构。（了解作用）2、连续线性泛函全体所成空间定理2任何赋范10

1、内积定义则与内积定义为其中表示的复共轭，并且内积与向量的长度有以下关系：引言：有限维空间中向量的范数相当于向量的模，但是在有限维欧几里的空间中还有一个重要的概念----两个向量的夹角，特别是两个向量的正交，所以在赋范线性空间当中，引入向量的内积来描述模与夹角，建立内积空间。1、内积定义则与内积定义为其中112°

其中为任意实（或复）数；

内积性质：（有限维复欧式空间）1°且等价于3°

2°12

则称为的内积，称为内积空间。2、内积、内积空间：设是复线性空间，如果对中任何两个向量，有一复数与之对应，并且满足下列条件1°且等价于（正定性）2°

其中为任意实（或复）数(对第一变元的线性）；3°

(对第二变元的共轭线性）；则称为的内积，称为内133、Schwarz不等式：设按内积成为内积空间，则对于中任意向量，成立不等式当且仅当与线性相关时，不等式中等号才成立。

4、定理：设是内积空间，令则是上的范数，称为由内积导出的范数。

结论：内积空间按内积导出的范数成为赋范线性空间。5、定义：完备的内积空间称为Hilbert空间。3、Schwarz不等式：设按内积14例如：不成为内积空间。

例如：

.设定义，则按此内积也成为Hilbert空间。

内积空间的特征性质（平行四边形公式）：

.例如：不成为内积空间。例如：15泛函分析讲义第八章课件16泛函分析讲义第八章课件17注意：赋范线性空间成为内积空间的条件是范数满足平行四边形公式。并非每个赋范线性空间都是内积空间。例如：LP[a,b]注意：18§2投影定理1.点到集合的距离设X是度量空间，M是X的非空子集，x是X中一点，称为点x到M的距离。2.凸集设X是线性空间，x，y是X中两点，称集合为X中联结x和y的线段。如果M是X的子集，对M中任何两点x，y，必有，则称M为X中的凸集。§2投影定理1.点到集合的距离2.凸集19定理1极小化向量定理设X是内积空间，M是X中非空凸集，并且按X中由内积导出的距离完备，那么对于每个x∈X，存在唯一的y∈M，使得

推论1设X是内积空间，M是X完备子空间，则对每个x∈X，存在唯一的y∈M，使得

定理1极小化向量定理设X是内积空间，M是X中非空凸集，并20泛函分析讲义第八章课件21泛函分析讲义第八章课件22第八章有界线性算子和连续线性泛函§1有界线性算子和连续线性泛函§2有界线性算子空间和共轭空间第八章有界线性算子和连续线性泛函§1有界线性算子和连23算子：从赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映射。算子可以说是函数和函数之间的对应。泛函：如果Y是数域，则称这种算子为泛函。本章主要研究线性算子和线性泛函，首先引入线性泛函和线性算子的概念，证明赋范线性空间中线性算子的连续性等价于有界性，并引出有界线性算子的一个基本的量，即算子的范数，证明有界线性算子全体按算子范数成为一个赋范线性空间。主要内容：算子：从赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映射。算子可24§1有界线性算子和连续线性泛函

设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对于任何D

，及数成立1、线性算子和线性泛函则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D(T)，TD称为T的值域，记为R(T)，当T取值于实（或复）数域时，就称T为实（或复）线性泛函。§1有界线性算子和连续线性泛函设X和Y是两个同为25

（1）设X是线性空间，是一给定的数，对任何，令2、线性算子和线性泛函的例子显然，T是X到X中的线性算子，称为相似算子。当时，称为恒等算子；当时，称为零算子。

（2）对每个，规定由积分的线性性质，可知T是到中的线性算子。若令则是上线性泛函。若令T是线性算子，称为乘法算子。（1）设X是线性空间，是一给定的数，对任何26

（3）对每个，规定由导数运算的线性性质，可知T是到中的线性算子，称为微分算子。若令，则是上线性泛函。（4）矩阵与线性算子的对应性：设是n维线性空间，在中取一组基，则对任何可以唯一的表示成，对每一个方阵，作到中算子T如下：当时，令其中。显然这样定义的T是线性算子，称为线性变换。算子由方阵唯一确定。（3）对每个，规定由导数运算273、线性算子的有界性与连续性

（1）连续性定理

设X，Y都是赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，如果T在某一点D(T)上连续，则T在D(T)上处处连续。

该定理说明，要验证线性算子T的连续性，只需要验证T在某一点连续。又相当于下面要引进的有界性。

（2）有界线性算子

设X，Y都是赋范线性空间，T是X的线性子空间D(T)到Y的线性算子，如果存在常数，是对所有D(T)，有则称T是D(T)到Y中的有界线性算子。3、线性算子的有界性与连续性（1）连续性定理28

换句话说，设X，Y是两个赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，如果算子T将其定义域中每个有界集映射成Y中的有界集，就称T是有界线性算子，简称为有界算子。不是有界的算子成为无界算子。显然，赋范线性空间中的相似算子显然是有界算子。

（3）连续性与有界性的关系

设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件为T是X上连续算子。注意区别有界算子与有界函数。换句话说，设X，Y是两个赋范线性空间，T是X到Y的线29

4、算子的范数

T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子，称为算子T在D(T)上的范数。若T为有界线性算子，则其范数是有限数，有并非所有算子都有界。例如微分算子，P[0,1]为C[0,1]的子空间，令，则，但，所以，T是无界算子。4、算子的范数若T为有界线性算子，则其范数是有限数，30§2有界线性算子空间和共轭空间

1、有界线性B(X

→

Y)

算子全体所成空间

设X，Y都是赋范线性空间，B(X→Y)是X到Y的有界线性算子全体，当A，BB(X→Y),是任意一个数时，规定

则B(X→Y)按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间。

定理1

设X是赋范线性空间，Y是巴拿赫空间时，B(X→Y)也是巴拿赫空间。§2有界线性算子空间和共轭空间1、有界线性B(X31

2、连续线性泛函全体所成空间

设X是赋范线性空间，令表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称为共轭空间。

定理2

任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。

例如：

的共轭空间为。

的共轭空间为，其中

定义：设X和Y是两个赋范线性空间，T是X到Y中的线性算子，并且对所有，有则称T是X到Y中的保距算子，如果T又是映射到Y上的，则称T是同构映射，此时称X与Y同构。（了解作用）2、连续线性泛函全体所成空间定理2任何赋范32

1、内积定义则与内积定义为其中表示的复共轭，并且内积与向量的长度有以下关系：引言：有限维空间中向量的范数相当于向量的模，但是在有限维欧几里的空间中还有一个重要的概念----两个向量的夹角，特别是两个向量的正交，所以在赋范线性空间当中，引入向量的内积来描述模与夹角，建立内积空间。1、内积定义则与内积定义为其中332°

其中为任意实（或复）数；

内积性质：（有限维复欧式空间）1°且等价于3°

2°34

则称为的内积，称为内积空间。2、内积、内积空间：设是复线性空间，如果对中任何两个向量，有一复数与之对应，并且满足下列条件1°且等价于（正定性）2°

其中为任意实（或复）数(对第一变元的线性）；3°

(对第二变元的共轭线性）；则称为的内积，称为内353、Schwarz不等式：设按内积成为内积空间，则对于中任意向量，成立不等式当且仅当与线性相关时，不等式中等号才成立