拉普拉斯变换(2)(共57张PPT)VIP

13-1拉普拉斯变换的定义第13章拉普拉斯变换13-2拉普拉斯变换的性质13-3拉普拉斯反变换13-4运算电路13-5应用拉普拉斯变换分析电路第1页，共57页。§13-1拉普拉斯变换的定义对于一阶电路、二阶电路，根据基尔霍夫定律和元件的VCR列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求解微分方程。对于含有多个动态元件的复杂电路，用经典的微分方程法来求解比较困难（各阶导数在t=0+时刻的值难以确定）。拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。时域微分方程频域代数方程拉氏变换拉氏逆变换求解时域解优点：不需要确定积分常数，适用于高阶复杂的动态电路。第2页，共57页。相量法：正弦运算简化为复数运算拉氏变换定义：一个定义在[0，∞）区间的函数f(t)，它的拉氏变换定义为：式中：s=+j(复数)

f(t)称为原函数，是t的函数。

F(s)称为象函数，是s的函数。第3页，共57页。拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，若存在正的有限值M和c，使得对于所有t满足：则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。积分下限从0

开始，称为0

拉氏变换。积分下限从0+

开始，称为0+

拉氏变换。积分下限从0开始，可以计及t=0时f(t)所包含的冲激。第4页，共57页。傅立叶变换拉氏反变换：如果F(s)已知，由F(s)到f(t)的变换称为拉氏反变换，它定义为：特殊情况：当=0，s=j，且积分下限为－∞时，拉氏变换就是傅立叶变换第5页，共57页。(2)单位阶跃函数(1)指数函数(3)单位冲激函数例13-1求以下函数的象函数。第6页，共57页。§13-2拉普拉斯变换的基本性质一、线性第7页，共57页。例13-2若：上述函数的定义域为[0，∞]，求其象函数。第8页，共57页。二、导数性质1.时域导数性质第9页，共57页。例13-3应用导数性质求下列函数的象函数：第10页，共57页。推广：第11页，共57页。2.频域导数性质第12页，共57页。第13页，共57页。三、积分性质第14页，共57页。第15页，共57页。四、延迟性质1.时域延迟f(t)(t)ttf(t-t0)(t-t0)t0f(t)(t-t0)tt0第16页，共57页。例13-5求图示矩形脉冲的象函数1Ttf(t)TTf(t)第17页，共57页。2、频域平移性质第18页，共57页。积分小结：微分第19页，共57页。§13-3拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法：(1)利用公式(2)对F(S)进行部分分式展开象函数的一般形式：第20页，共57页。利用部分分式F(S)分解为：第21页，共57页。第22页，共57页。第23页，共57页。例13-6解：令D(s)=0，则s1=0，s2=－2，s3=－5第24页，共57页。第25页，共57页。K1、k2也是一对共轭复根第26页，共57页。第27页，共57页。第28页，共57页。第29页，共57页。第30页，共57页。小结：1.)n=m时将F(S)化成真分式1.由F(S)求f(t)的步骤2.)求真分式分母的根，确定分解单元3.)求各部分分式的系数4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。2.拉氏变换法分析电路正变换反变换第31页，共57页。第32页，共57页。相量形式KCL、KVL元件复阻抗、复导纳相量形式电路模型§13-4运算电路类似地元件运算阻抗、运算导纳运算形式KCL、KVL运算形式电路模型第33页，共57页。2.电路元件的运算形式R：u=Ri1.运算形式的电路定律+u-iR+U(S)-I(S)R第34页，共57页。则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。－－－特殊情况：当=0，s=j，且积分下限为－∞时，拉氏变换就是傅立叶变换由换路前电路计算uc(0-),iL(0-)步骤：uc(0-)/sLi(0-)对于一阶电路、二阶电路，根据基尔霍夫定律和元件的VCR列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求解微分方程。K1、k2也是一对共轭复根如L、C有初值时，初值应考虑为附加电源§13-3拉普拉斯反变换f(t)称为原函数，是t的函数。)求真分式分母的根，确定分解单元对于一阶电路、二阶电路，根据基尔霍夫定律和元件的VCR列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求解微分方程。L:SLi(0-)/S+

U(S)-I(S)I(S)Li(0-)+

U(S)-SLi+u-L第35页，共57页。+u-iC:IC(S)1/SCuc(0-)/S+UC(S)-＋－+UC(S)-

Cuc(0-)1/SCIC(S)第36页，共57页。ML1L212+u1-+u2-L1i1(0-）Mi2(0-）Mi1(0-）L2i2(0-）+U2(S)-+U1(S)-I1(S)I2(S)SL1SL2+－SM＋－－+－+第37页，共57页。(s)U+1(s)-m

RI(S)+U2-U1(S)+u1-+u2-u1Ri＋－第38页，共57页。运算阻抗运算形式欧姆定理+u-iRLC+U(S)-I(S)RSL1/SC第39页，共57页。运算阻抗+u-iRLC+U(S)-I(S)RSL1/SC－＋＋－uc(0-)/sLi(0-)第40页，共57页。3.运算电路运算电路如L、C有初值时，初值应考虑为附加电源RRLLCi1i2Ee(t)时域电路物理量用象函数表示元件用运算形式表示RRLSL1/SCI1(S)E/SI2(S)＋－第41页，共57页。例5Ω1F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-uc+

-iL时域电路t=0时打开开关t>0运算电路200.5S-++-1/S25/S2.55IL(S)UC(S)第42页，共57页。§5.拉普拉斯变换法分析电路步骤：1.由换路前电路计算uc(0-),iL(0-)2.画运算电路图3.应用电路分析方法求象函数4.反变换求原函数例1：200V30Ω0.1H10Ω-uc+1000μFiLt=0时闭合k,求iL，uL。V第43页，共57页。t=0时打开开关k,拉普拉斯变换法分析电路利用部分分式F(S)分解为：US1LuLUS2§13-2拉普拉斯变换的基本性质例13-3应用导数性质求下列函数的象函数：uc(0-)/sLi(0-)f(t-t0)(t-t0)则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。＋iL+＋)求真分式分母的根，确定分解单元由F(S)求f(t)的步骤拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。例13-5求图示矩形脉冲的象函数§13-3拉普拉斯反变换(2)画运算电路200/S300.1s0.5101000/S100/SIL(S)I2(S)例1：200V30Ω0.1H10Ω-uc+1000μFiL第44页，共57页。200/S300.1s0.5101000/S100/SIL(S)I2(S)I1(S)I2(S)第45页，共57页。(4)反变换求原函数第46页，共57页。第47页，共57页。求UL(S)UL(S)200/S300.1s0.5101000/S100/SIL(S)I2(S)?第48页，共57页。RC+ucis(t)例13-10求冲激响应R1/SC+Uc(S)IS1第49页，共57页。tuc(V)0tic例13-11图示电路已处于稳态，t=0时将开关S闭合，已知us1=2e-2tV,us2=5V,R1=R2=5,L1=1H,求t≥0时的uL(t).SR1R2

＋iL+＋

US1L

uLUS2－－－

第50页，共57页。

R1R2

＋+＋

UL(s)－－－

sL－

Li(0-)+①第51页，共57页。ML1L2R1R2＋us－Si1i2例13-12图示电路，已知R1=R2=1，L1=L2=0.1H，M=0.5H，us=1V，试求：t=0时开关闭合后的电流i1(t)和i2(t)。sL1sL2＋－R1R2sM第52页，共57页。t=0时打开开关k,求电流i.例.13-13+-UskR1L1L2R2i1i20.3H0.1H10V2Ω3Ω第53页，共57页。10/S20.3S1.530.1SI