概率论与数理统计：第五章 大数定律与中心极限定理2

客观背景5.2中心极限定理

在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和）影响所形成的。

例如：炮弹落点与目标的偏差，受瞄准、空气阻力、炮弹或炮身结构等着许多随机因素综合影响。每个随机因素的对着弹点（随机变量和）所起的作用都是很小的。那么着弹点服从怎样分布？

如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大，则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布。

自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见。

这就是独立随机变量之和所特有的规律性：当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？高斯

由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量。即考虑与随机变量Xk(k=1,2,…,n)之和有关的变量讨论Yn的极限为何种分布——中心极限定理例：20个0-1分布之和的分布X1~f(x),X1+X2~g(x)，X1+X2+X3~h(x)几个(0,1)上均匀分布的和的分布0123xfgh考虑均匀分布的随机变量，求的统计特性。当N=2时，的可以由下式得到卷积的过程如下图所示：当N=2时计算可得把和标准正态分布进行比较，如下图所示5.2.1定理四（独立同分布下的中心极限定理）的分布函数Fn(x)，对任意x满足则前n个随机变量的和的标准化量

设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，服从同一分布（independentidenticallydistributed，i.i.d）具有数学期望和方差注：

一般情况下，虽然很难求出

的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布。1、定理四表明，当n充分大时，i.i.d随机变量之和及其标准化量近似服从正态分布，即2、独立同分布中心极限定理的另一种形式为其中则称随机变量序列{Yn}依分布收敛于Y，或称分布函数序列{Fn(y)}弱收敛于F(y)。3、设随机变量序列Y1,Y2,…,Yn,…对应的分布函数序列F1(y),F2(y),…,Fn(y),…，随机变量Y对应的分布函数为F(y)。若所以，定理四可以叙述为：i.i.d随机变量序列前n项和的标准化序列{Yn}依分布收敛于Y~N(0,1)。均匀分布的随机变量的和的统计特性看不出统计规律进行归一化会如何？均匀分布的随机变量归一化之后的统计特性5.2.2定理五（李雅普诺夫中心极限定理）设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，数学期望和方差为记，若存在正数，使得当时，则随机变量之和的标准化量的分布函数Fn(x)对任意x，满足注：1、定理五表明，当n充分大时，独立随机变量之和及其标准化量近似服从正态分布，即2、无论Xk呈什么分布，只要定理的条件（独立、n充分大）得到满足，就近似服从正态分布。这就是正态分布在概率论中占重要地位的原因之一。5.2.3定理六（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理）

设随机变量(n=1,2,…)服从参数n,p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，有【证明】由第四章知识，可将分解为n个相互独立，且服从同一两点分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和：其中Xk的分布律为：

由于E[Xk]=p,D(Xk)=p(1−p)(k=1,2,…,

n)，由定理四得注：定理六表明，当n很大，0<p<1是一个定值时（或者说np(1-p)也不太小时），二项分布变量的分布近似正态分布N(np,np(1-p))。即【例1】于是【解】即有【例2】（车间供电问题）某车间有200台车床，在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车。设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦。问应供应多少瓦电就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?【解】对每台车床的观察作为一次试验，每次试验是观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率0.6，共进行200次独立重复试验。用X表示在某时刻工作着的车床数，依题意X~B(200,0.6)。

设需要N台车床工作，现在的问题是：求满足P{X≤N}≥0.999的最小N（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦）。由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理于是这里np=120,np(1-p)=48由3σ准则，此项为0。，查正态分布函数表得

也就是说,应供应142千瓦电就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。，从中解得N≥141.5,即所求N=142。故【例3】【解】（1）以Xk(k=1,2,…,400)表示第k个学生来参加会议的家长数，则其分布律为对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布（1）求参加会议的家长数X超过450的概率；（2）求有1名学生家长来参加会议的学生人数不多于340的概率。Xk012pk0.050.80.15易知由定理四知即有于是（2）以Y记有一名家长参加会议的学生数，则Y~b(400,0.8)。由定理6得5.2.4课堂练习1、根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命相互独立。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。16只元件的寿命的总和为且E[Xi]=100,D(Xi)=10000。解答1：设第i只元件的寿命为Xi

,i=1,2,…,16。由题设知，诸Xi独立，依题意，所求为P(Y>1920)，E[Y]=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,P(Y>1920)=1−P(Y1920)

=1−(0.8)=1−0.7881=0.21195.2.4课堂练习2、在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码。设

（1）至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09~0.11之间的概率至少是0.95?（2）用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率。（1）设应取球n次，0出现频率为由中心极限定理解答2：欲使，即查表得，从中解得

所以，至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09~0.11之间的概率至少是0.95。（