概率的基本性质 省赛获奖

3.1.3概率的基本性质学习目标：1.了解事件间的包含关系和相等关系.2.理解互斥事件和对应事件的概念及关系．(难点、易混点)3.会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率．(重点)4.了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算．[自主预习·探新知]1．事件的关系与运算(1)事件的关系：定义表示法图示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系A⊆B且B⊆AA＝B事件互斥若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅事件对立若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝U(2)事件的运算：定义表示法图示并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)2.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：[0,1]．(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(4)若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.[基础自测]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)互斥事件一定是对立事件． ()(2)事件A与B的并事件的概率一定大于事件A的概率． ()(3)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B一定是对立事件． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有()A．A⊆B B．A⊇BC．A＝B D．A<BA[由事件的包含关系知A⊆B.]3．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则()A．A⊆B B．A＝BC．A与B互斥 D．A与B对立C[由于事件A与B不可能同时发生，故A、B互斥．]4．一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为，中二等奖的概率为，则不中奖的概率为________.0．65[中奖的概率为＋＝，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－＝.][合作探究·攻重难]互斥事件与对立事件的判定某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.[思路探究]eq\x(是否可能同时发生)→eq\x(判断是否互斥)→eq\x(是否必有一个发生)→eq\x(判断是否对立)[解](1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．[规律方法]判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件.[跟踪训练]1．一个射手进行一次射击，有下面四个事件：事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6.则()A．A与D是互斥事件 B．C与D是对立事件C．B与D是互斥事件 D．以上都不对A[由互斥、对立事件的定义可判断A选项正确．]事件的关系及运算在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．[解](1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.[规律方法]1.两个事件之间的关系有包含关系、相等关系、互为互斥事件、互为对立事件，判断两个事件的关系，只需要根据这些关系的定义进行判断即可.2.进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件.[跟踪训练]2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？[解](1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3个红球，故C∩A＝A.互斥事件与对立事件的概率公式及应用[探究问题]1．在同一试验中，对任意两个事件A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？提示：不一定，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．2．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B是否一定对立？试举例说明．提示：A与B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝1，但A、B不对立．在数学考试中，小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是，在70分～79分的概率是，在60分～69分的概率是，在60分以下的概率是，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；(2)小明数学考试及格的概率．[思路探究]小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分～89分”“90分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件．[解]分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.(2)法一：小明数学考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＋＝.法二：小明数学考试不及格的概率是，所以小明数学考试及格的概率是1－＝.母题探究：1.(变结论)本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率．[解]分别记小明的成绩“在90分以上”，“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”在“60分以下”为事件A、B、C、D、E，则这五个事件彼此互斥．∴小明成绩在80分以下的概率是：P(C∪D∪E)＝＋＋＝.2．(变条件)一盒中装有各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．[解]法一：(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法二：(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).[规律方法]1.只有当A、B互斥时，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当A、B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立.2.复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－)求解.[当堂达标·固双基]1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为()A．0个 B．1个C．2个 D．3个C[对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③对，①错；又A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，④错；只有A、B对立时，P(A)＝1－P(B)才成立，⑤错．]2．P(A)＝，P(B)＝，则P(A∪B)等于()A． B．C． D．不确定D[因为A与B的关系不确定，故P(A∪B)的值不能确定．]3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品B[至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．]4．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黑球的概率是________．0．3[摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率为1－－＝.]5．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”[