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文档简介
-.z.在前面的"胡不归〞问题中,我们见识了"kPA+PB〞最值问题,其中P点轨迹是直线,而当P点轨迹变为圆时,即通常我们所说的"阿氏圆〞问题.所谓"阿氏圆〞,是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念,在平面内,到两个定点距离之比等于定值〔不为1〕的点的集合叫做圆.如下列图,A、B两点,点P满足PA:PB=k〔k≠1〕,则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.以下给出两种证明法一:构造角分线先复习两个定理〔1〕角平分线定理:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,则AB:AC=DB:DC.证明:利用等积法,即AB:AC=DB:DC〔2〕外角平分线定理:如图,在△ABC中,外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB:AC=DB:DC.证明:在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACD≌△AED〔SAS〕,CD=ED且AD平分∠BDE,则DB:DE=AB:AE,即AB:AC=DB:DC.接下来开场证明:如图,PA:PB=k,作∠APB的角平分线交AB于M点,根据角平分线定理,MA:MB=PA:PB=k,故M点为定点,即∠APB的角平分线交AB于定点;作∠APB外角平分线交直线AB于N点,根据外角平分线定理,NA:NB=PA:PB=k,故N点为定点,即∠APB外角平分线交直线AB于定点;又∠MPN=90°,定边对定角,故P点轨迹是以MN为直径的圆.中考专题训练阿氏圆模型阿氏圆〔阿波罗尼斯圆〕:平面上两定点A、B,则所有满足的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿氏圆.在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A〞型相似〔也叫"母子型相似〞〕+两点间线段最短,解决带系数两线段之和的最值问题.观察下面的图形,当P在⊙O上运动时,用PA、PB的长在不断的发生变化,但的比值却始终保持不变.解决阿氏圆问题,首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法.则如何应用"阿氏圆〞的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基此题目:例.∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点.〔1〕求的最小值为.〔2〕求的最小值为.阿氏圆根本解法:构造相似阿氏圆一般解题步骤:AP+kBP第一步:连接动点和圆心C〔将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接〕,即连接CP、CB;第二步:计算这两条线段长度的比;第三步:在CB〔即定边〕上取点M,使得第四步:连接AM,与圆C交点即为点P;第五步:计算AM的长度,即为AP+kBP的最小值.实战演练:1.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D为△ABC内一动点,且满足CD=2,则的最小值为.2.点A〔4,0〕,B〔4,4〕,点P在半径为2的⊙O上运动,则的最小值是.3.点A(-3,0),B〔0,3〕,C〔1,0〕,假设点P为⊙C上一动点,且⊙C与y轴相切.〔1〕求的最小值;〔2〕求△ABP面积的最小值.4.在平面直角坐标系中,A〔2,0〕,B〔0,2〕,C〔4,0〕,D〔3,2〕,P是△AOB外部的第一象限内一动点,且∠BPA=135°,则2PD+PC的最小值是__________.5.⊙O半径为1,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为弧AB上一动点,试求的最小值.稳固练习:1.如图,在△ABC中,∠B﹦90°,AB﹦CB﹦2,以点B为圆心作⊙B与AC相切,点P为圆B上任一动点,则的最小值是.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,⊙A与BC相切于点E,在⊙A上任取一点P,求的最小值.3.〔1〕如图1,正方形ABCD的边长为4,⊙B的半径为2,点P是⊙B上的一个动点,则PD+PC的最小值;〔2〕如图2,正方形ABCD的边长为9,⊙B的半径为6,点P是⊙B上的一个动点,则PD+PC的最小值为;〔3〕如图3,菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,则PD+PC的最小值为.4.如图1,抛物线y=a*2+(a+3)*+3(a≠0)与*轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在*轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作*轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.〔1〕求a的值和直线AB的函数表达式;〔2〕设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,假设,求m的值;〔3〕如图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E′A+E′B的最小值.问题提出:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,CB=4,CA=6,C半径为2,P为圆上一动点,连结AP、BP,求AP+1/2BP的最小值。(1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有CD/CP=CP/CB=1/2,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP.∴PD/BP=1/2,∴PD=1/2BP,∴AP+1/2BP=AP+PD.请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+1/2BP的最小值为___.(2)自主探索:在"问题提出〞的条件不变的情况下,1/3AP+BP的最小值为___.(3)拓展延伸:扇形COD中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是CDˆ上一点,求2PA+PB的最小值。反过来复原:如图,点A,B在⊙O上,OA=OB=12且OA⊥OB点C是OA的中点,点D在OB上且OD=10,动点P在⊙O上,则PC+1/2PD的最小值是多少?如下列图所示,在OA延长线上取点E,使得AE=OA连接OP,PE。因为OC/OP=1/2=OP/OE从而△OCP∽△OPE〔SAS〕从而,PC/EP=1/2,即PE=2PC则,PE+PD=2PC+PD=2〔PC+1/2PD〕则只要求出PE+PD最小值,再除以2即可得到所求问题的解。很显然,当P点落在DE连线与圆O的交点P'上时,PE+PD取得最小值。此时,PE+PD=DE=√〔OD^2+OE^2〕=√〔10^2+24^2〕=26则,PC+1/2PD的最小值即为26/2=13。(1)如图1,正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+1/2PC的最小值和PC−1/2PC的最大值;(2)如图2,正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,则PD+2/3PC的最小值为___,
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