七年级数学整式的乘法(教师讲义带)6109

第2章：整式的乘除与因式分解一、基础知识1.同底数幂的乘法：mnmnaam,n不变，指数相加。mnmn2.幂的乘方：(a)am,n乘。nnn3.积的乘方：(ab)abn分别乘方，再把所得的幂相乘。4.整式的乘法：（1）单项式的乘法法例：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，关于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法例：单项式与多项式相乘，就是依据乘法分派律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示：a+b+c)=a、b、c都表示单项式)（3）多项式的乘法法例：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式能够用语言表达为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a－a2－b；其构造特征是：公式的左侧是两个一次二项式的乘积，而且这两个二项式中有一项为哪一项完全相同的，另一项则是互为相反数，右侧是乘式中两项的平方差.（2）完整平方公式：完整平方公式能够用语言表达为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(22；(a－b)2－2；其结构特色是：左侧是“两个数的和或差”的平方，右侧是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是，且符号由左侧的“和”或“差”来确立.在完全平方公式中，字母a、b都拥有宽泛意义，它们既能够分别取详细的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3)×2+22＝9x2－－+4，或许(3x+y－2)2＝9x2－－+4，或许(3x+y－2)＝(3x)2+2×3x(y－2)+(y－2)2＝+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把当作是完整平方公式中的，2当作是b；后者是把3x当作是完整平方公式中的a，y－2当作是1（3）添括号时，假如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；假如括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。乘法公式的几种常有的恒等变形有：（1a22＝(a22＝(a－2ab＝(－2（2ab＝12［(2－（22＝14［()2－(a－2］＝22abab

.22（3(2+(a－2＝22.（4()22+c2.利用上述的恒等变形，我们能够快速地解决相关看似与乘法公式没关的问题，而且还会收到事半功倍的成效.6.整式的除法：mnmnaaaa0，，n都是正整数，而且mn底数幂相除，底数不变，指数相减。（）01(0)aa，任何不等于0的数的0次幂都等于1.（）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，关于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。7.因式分解观点：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。8．常用的因式分解方法：（）提公因式法：把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，此中一个因式是各项的公因式(abc)是mambmc除以所得的商，像这类分解因式的方法叫做提公因式法。i多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。ii公因式的组成：①系数：各项系数的最大条约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂。（）公式法：22（1）常用公式平方差：ab(aab)完整平方：22abb(ab)22a（2）常有的两个二项式幂的变号规律：①2n2n(a(ba)；②2n12n1(ab)(ba)n为正整数）2（）十字相乘法2ⅰ二次项系数为1的二次三项式xpxq中，假如能把常数项q分解成两个因式b的积，而且ab等于一次项系数中p，那么它就能够分解成2xpxq2xabxabxaxb2ⅱ二次项系数不为1的二次三项式axbxc中，假如能把二次项系数a分解成两个因数1,a2的积，把常数项c分解成两个因数1,c的积，而且2a等于一次项系数b，那么它就能够分解成：1cac2212bxcaax2acacxccaxa1xaa2xc2。12122112（）分组分解法ⅰ定义：分组分解法，合用于四项以上的多项式，比如22abab没有公因式，又不可以直接利用分式法分解，可是假如将前两项和后两项分别联合，把原多项式分红两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。比如：22

22(ab)(a(ab)(ab)(ab)(ab)(ab1)，abab=这类利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。ⅱ原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但一定使各组之间能持续分解。ⅲ有些多项式在用分组分解法时，分解方法其实不独一，不论如何分组，只要能将多项式正确分解即可。二、经典例题第一部分整式的乘除【例1】例题以下运算正确的选项是（）5510B.a5·a5=a10C．a·520a4）=a9A.a【思路点拨】选支是整式的加法运算，归并得2a5；选支正确；选支为同底数幂运算应指数相加，而不是相乘，故为a·59；选支为幂的乘方运算，应底数不变，指数相乘，为（a4）520．【分析】本题应选Ｂ．【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，必定要学好，学习它时注意领会从特别到一般、从详细到抽象，有层次的进行归纳抽象，归纳原理．【例2】以下运算正确的选项是（）3A.(－x)2x36B.(x)3(25C．2(2)2224xxx．(2xx2)3862)386【思路点拨】选支错在把指数相乘，实质应相加(－x)2?x32·x5；选支错在符号不对，负的偶次幂为正，负的奇次幂为负，32(x)(=32xx=5x；选支中积的乘方运算出现漏乘项错误，222224x(2x)=4x2x=224x4x0；选支运算正确．【分析】本题应选Ｄ．【规律总结】幂的乘方与积的乘方，是学习整式乘法的基础．导出幂的乘方的依据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质．同学们要真实理解幂的乘方法的性质，这样才不致混杂性质而运算犯错．【例3】以下运算在正确的选项是（）A.55210xxxB.358(x)(xC.2333(2xy)4x24xyD.11122(x3y)(x3y)x9y224[答案]B[错因透视]对整式运算法例理解不深入才会出现错误，5525xxx，3(2)8，1112(x3y)(x3y)(x3y)222y）【例4-2x·(-3xy)【思路点拨】灵巧运用幂的运算性质、乘法互换律等进行运算．4y·(-3xy)(据积的乘方)

【分析】原式=[4×(-3)](x·x)(y2·y)(据乘法互换律、联合律)5y(占有理数的乘法、同底数幂的乘法)=-12x【规律总结】因为单项式是数字与字母的积，所以，幂的运算性质，乘法互换律、联合律，可作为单项式乘法的依照．单项式乘法法例关于三个以上的单项式相乘相同合用，如：b·(-3ab2)·5abc2a4=[2×(-3)×5]·(a·a·a)·(··b)·c=-30a44c【例51）2xy(5xy2-1)（）(a2-2bc)·(-2ab)2-1)（）(a2-2bc)·(-2ab)2）小题单项式为，多项式里含三项为：、3xy、-1，乘积仍为三项；(2)小题应先算(-3ab)2，再用乘法互换律后的计算方法是相同的．1）原式···(-1)2y3y2-2xy

=10x2-2bc)·4ab2（2）原式=(a2b·a222·(-2bc)=4a4-8a3c=4a【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时，易犯以下错误：①出现漏乘，而致使缺项；②出现符号错误；③运算次序犯错，造成计算有错．【例6】计算：(1)(3x-2y)(2(2)(x-y)(x22)【思路点拨】第（）题，先用x分别与2a、相乘，再用-2y分别与2a相乘，而后把所得的积相加；第（2）题，可先用二项式（x-y）中的x分别与三项式中的各项相乘，再用-y分别与三项式中的各项相乘，而后把所得的积相加．【分析】(1)原式··y)·y)·3b=6-4ay-6by(2)原式·x2·xy·y+(-y)·x2+(-y)·xy+(-y)·y2322-x2y-xy2-y3=x=x3-y3【规律总结】（1）利用多项式乘法法例时，既不要漏乘，又要注意确立各项的符号．（2）乘积中有同类项，要归并同类项．【例7】计算(1)(3x22)(-3x23)【思路点拨】认真察看题目特色，凡两因式中相同项看作公式中的a(必须是互为相反数)看作公式中的b方可应用平方差公式，而有的，一定经过变形才能运用平方差公式．【分析】原式=(2y3)3)-(3x)26-9x4=4y5【规律总结】公式中的字母可表示详细的数，也可表示单项式或多项式，只需切合平方差公式的构造特色，便可运用．【例8】化简：(1)(22(2)(-x+2y)2(3)(-n)2【思路点拨】本题可利用完整平方公式计算，第（1）题是两数和的平方，应选用“和”的完整平方公式，此中是公式中的a，3b是公式中的b；第(2)题(-2=(2y-x)2=(x-2y)2所以应采纳“差”的完整平方公式简捷；第(3)题(-2=[-(2=(2应采纳“和”的完整平方公式简捷．【分析】(1)(2)=(2a)+2．．3b+(3222=4a(2)(-x2=(2y-x)=(2y)2-2··x+x2=4y2-4xy+x2(3)(-n)=[-(=(=m2【规律总结】（1）这三题其实都能够用“和”的完整平方公式（或“差”的完全平方公式）计算，只可是依据题目特色灵巧采纳变形可简化计算过程，此中(-2转变为(2y-x)2或(x-2y)2是一个常用技巧．（2）完整平方公式(±22±2，睁开式可记成“首(a)平方、尾(b)平方，首(a)尾(乘积的2倍加减在中央”．【例9】计算：(1)y10÷y3÷y4(2)(-ab)10÷y3÷y4(2)(-ab)5÷(-ab)3【思路点拨】先察看题目，确立运算次序及可运用的公式，再进行计算．题目（）中被除数与除数的底数相同，故可先进行同底数幂的除法，再运用积的乘方的公式将计算进行到最后．10÷y3÷y410-3-43【分析】(1)y(2)(-÷(-=(-=ab2【规律总结】像（）这类题目，必定要计算到最后一步．【例10】计算：(1)xn+2÷xn-2(2)(x4)n+2÷xn-2(2)(x4)3·x÷x16（）用小数或分数表示：-35.2×10【思路点拨】（1）在运用“同底数幂的除法”公式时，指数假如多项式，指数相减必定要打括号．(2)中先乘方运算再做乘除法；（）先将负指数的幂化为小数，再进行乘法运算，获得最后结果．6n+2÷x(n+2)-(4【分析】(1)x(2)(x4)4)·x4÷x1612·x4÷x1612+4-160=1(3)5.2×10-3=5.2×-3=5.2×1310=5.2×0.001=0.0052【规律总结】这里要特别注意“a÷ann(a≠0，，n均为正整数，而且”括号内的条件．+2b3c)÷(2anb)；(2)(3xy)【例11】计算：(1)(a·(2xy)÷(6x3y3)【思路点拨】（1）中被除式的系数是，可依照单项式相除法例计算;（）是混杂运算，先弄清运算次序，再依据相应的法例进行计算．本题先进行乘方，再自左至右进行乘除法．2bc)÷(2n2)【分析】解：(1)(a=(1÷2)·(a+2÷n)·(b÷2)·c=1a2bc(2)(3xy2)·(2xy)÷(6xy3)y4)·(2xy)÷(6x3y3)=(9xy5)÷(6x3y3)=(18x2【规律总结】单项式相除，第一分清两工的系数、相同字母、被除式特有的字母，再进行运算，联合演算重述法例，使法例熟习，并会用它们娴熟进行计算．3y4z-4x2y3z+2xy)÷(2xy)；(2)［(x+y)【例12】计算：(1)(6x2-(x-y)2］÷(xy)【思路点拨】关于混杂运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．3yz-4xy3z+2xy3)÷(2xy3)

【分析】(1)(6x3yz)÷(2xy)-(4xy3z)÷(2xy3)+(2xy=(6x3)÷(2xy3)2yz-2xz+1这一项易漏！(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)［x2-(x-2xy2)］÷(xy)7［4xy］÷（xy）=4【规律总结】把多项式除以单项式“转变”为单项式除以单项式，在这个转变过程中，要注意符号问题．第二部分：因式分解【例1】将以下各式分解因式：（）332a36a；（）41_______a；（）22abab；（）4a2b21_______。[答案]（）2a(a6)(a3)（）2(a1)(a1)(a1)（）(ab)(ab1)（）(2ab1)(2ab1)[错因透视]因式分解是中考取的热门内容，相关因式分解的问题应防备出现一下常有错误：①公因式没有所有提出，如336a36a2a(2a6a36)a(a6)(2a6)；②因式分解不完全，如41(21)(21)aaa；③丢项，如22abab(ab)(ab)；④分组不合理，致使分解错误，如224ab122(4a1)(b2b)(2a1)(2a1)b(b2)，没法再分解下去。【例2】连一连：a－1(a＋1)(a－1)a＋6a＋9(3a＋1)(3a－1)a－4a＋4a(a－b)89a2－1(a＋3)2a2－ab(a－2)2【思路点拨】因为因式分解是整式乘法的逆运算，我们能够先运用整式乘法法则计算出第二列中各整式相乘的结果，看跟第一列中的哪个多项式相等，而后用线连结起来.【分析】(a＋1)(a－1)＝a－1，(3a＋1)(3a－1)＝9a2－，a(a－b)＝2－ab，(a＋3)2＝a＋6a＋9，(a－2)2＝a－4a＋4.【规律总结】整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形，依据题目的需要，有时多项式要经过因式分解才能转变为几个整式积的形式，有时几个多项式的积要经过整式乘法化成多项式的形式.22byx【例315x－5y＋5z（2）（）2()4()axy【思路点拨】察看上边的各个多项式，我们能够发现每个多项式的各项都含有公因式，我们能够运用提公因式的方法来做这道题目.第（3）小题分解因式的要点是找寻公因式，本题的公因式能够看作2a(xy)，也能够看作(yx)）原式＝5（x－y＋z）（2）原式＝3a(a)2bxy

（3）方法一：原式＝2()4()

axy＝2a(xa(xy)2b]=2a(xy)(axay2b)2byx方法二：原式＝2()4()ayx＝2a(ya(yx)2b]＝(yx)(ayax2b)【规律总结】运用提公因式分解因式时，找对公因式是要点，提公因式后的各项中不可以再含有其余公因式.有些表面没有公因式的多项式，利用其互为相反数的条件，转变为含有公因式的式子来达成因式分解．其一般原则：（1）首项一般不化成含负号的形式；（）对同时含有奇次项和偶次项的多项式，一般将偶次项的底数化成它的相反数的形式，这样可使各项符号不变．【例4】把以下各式因式分解：（1）2252)24mn（2）169(aab29【思路点拨】本题中两项都能够表示成平方的形式，多项式是二项式且前面的符号相反，应试虑用平方差公式来分解1）2254mn22n

=[2)(5)]

（m2=（2m5n)(2m5n)（2）2)169(ab)ab22[)]=[13ab)]ab2=[13ab)11(ab)]3aab)]=（24a+2b）(2a+24b)=4(12a+b)(a+12b)【规律总结】第（）小题中的（24a+2b）(2a+24b)，将括号内提取公因式“”后，应把两个2相乘，而不要当作提公因式，误写成2(12a+b)(a+12b)．【例5】把以下各式分解因式：（1）212924aabb（）28(2)62mn)nmnn2【思路点拨】本题中多项式的各项没有公因式且都是三项式，应试虑用完整平方公式．）2129abb2=222332（2a）ab（b）2=（2a3b）（2）28(2)26nmnn=224(2)2[42mnmnn2=[42m2=（8m+3n）【规律总结】第（）小题中的2m＋n应看作一个整体，而不要利用整式乘法进行计算，不然分解比较困难，多项式各项没有公因式且是三项式，应试虑用完10全平方公式．【例61）24)162222a222(xyxy（2）(a4(4【思路点拨】只需（1）把24y22x和4xy2）(a把看作整体就不难套用平方差公式和完整平方公式来分解这个多项式的第一步，但本题中的两小题都能持续因式分解，所以要特别注意分解要完全．1）24)16222(xyxy2=24)(4)222(xyxy=242)2(4)2(xyxy2y2xyx2y2xy=(44)(44)

x=2(x2y)(x2y)222a2（2）(4(4a=21(a2=2(a2==(aa2(2(2【规律总结】因式分解能否分解结束的标记是看分解后的各因式时候还含有可持续因式分解的多项式。中考考点解读：整式的乘除是初中数学的基础是中考的一个要点内容.其考点主要波及以下几个方面：考点1、幂的相关运算例12014年湘西）在以下运算中，计算正确的选项是（）（A）326aaa（B）235(a)a（）824aaa（D）2224(ab)ab剖析幂的运算包含同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.幂的运算是整式乘除运算的基础,正确解决幂的相关运算的要点是娴熟理解各样运算的法例.11解：依据同底数幂的乘法运算法例知a，所以（A）错；依据幂的乘3aaa3aaa2325方运算法例知2)3632(aaa，所以（B）错；依据同底数幂的除法法例知8aaa2826a，所以（C）错；应选（D）.m例2.（2014年齐齐哈尔）已知102n，103，则32mn____________．10剖析:本题主要考察幂的运算性质的灵巧应用，可先逆用同底数幂的乘法法例mnmnmnmnaaa将指数相加化为幂相乘的形式,再逆用幂的乘方的法例(a)a将指数相乘转变为幂的乘方的形式而后辈入求值即可.解：32mnmnmn103102(10)31022327210（）.考点2、整式的乘法运算例32014年贺州）计算：(2)(131)

aa=．4剖析本题主要考察单项式与多项式的乘法运算计算时，依照法例将其转变为单项式与单项式的乘法运算注意符号的变化.111433a解：(2a)(a＝(2a)a(2)1＝a442.考点3、乘法公式例4.(2014年山西省)计算：2x3x1x2剖析运用多项式的乘法法例以及乘法公式进行运算，而后归并同类项.解：2x3x1x2=269(222)xxxxx=269222xxxxx=9x7.例5.(2014年宁夏)已知：3ab，ab1，化简(a2)(b2)的结果是．2剖析本题主要考察多项式与多项式的乘法运算第一依照法例进行计算而后灵巧变形，使其出现（ab）与ab，以便求值.3解：(a2)(b2)=ab2a2b4=ab2(ab)4=4212.2考点4、利用整式运算求代数式的值例62014