系统模型课件

第三章系统模型系统模型概述结构模型层次分析法模型概念及特征系统模型的分类建模原则及常用方法结构模型概念及特征解析结构模型的建立应用案例第三章系统模型系统模型概述结构模型层次分析法模型概念及特征第1节系统模型概述一切客观存在的事物及其运动形态称为“实体”（即原型）。为便于实验、分析和预测，总是先把所需研究的系统结构型态或运动形态变成易于考察的形式，即转化为“模型”。1系统模型定义系统模型是对现实系统（实体）的特征及其变化规律的一种模仿、抽象或描述。一、系统模型及其特征第1节系统模型概述一切客观存在的事物及其运动形态称为“实系统的属性是多方面的，系统模型只是系统某一方面本质属性的描述，所以同一系统或试题，模型不是唯一的；模型建立是以模型与原型之间的相似性为基础的，这里的相似可以是外表的相似，内部结构的相似或仅为功能的相似。模型可以是定量的，也可以是定性的，或是两者的结合模型。2系统模型的特征它是现实系统的抽象或模仿；它是由反映系统本质或特征的主要因素构成；它集中体现这些主要因素之间的关系。说明系统的属性是多方面的，系统模型只是系统某一方面本质属性的描述3使用系统模型的必要性系统开发的需要。在开发一个新系统时，系统尚未建立，无法直接实验；经济性考虑。大型复杂系统直接实验价格昂贵；安全性考虑。有些系统直接实验是很危险的，有时根本不允许；时间上考虑。社会、经济、生态系统，惯性大，反应周期长；系统模型易操作，分析结果易于理解。3使用系统模型的必要性系统开发的需要。在开发一个新系统时，系这里介绍按与实体的关系分：1形象模型（实体与比例模型）这种模型保留着实体的外形特征，仅在尺度上成比例的改变。2模拟模型根据相似系统原理，利用一种系统代替或近似描述另一种系统，前者为后者的模拟模型。3数学模型用各种数学符号、数值描述工程、技术、管理、经济等有关因素及它们之间数量关系的模型。包括网络模型、图表模型、逻辑模型和解析模型。二、系统模型的分类这里介绍按与实体的关系分：二、系统模型的分类现实系统形象模型模拟模型文字模型网络模型图表模型逻辑模型解析模型物理模型数学模型研究的速度变化方便性抽象性现实性建模费用建模时间增加减少系统模型的分类及特征比较现形模文网图逻解物理模型数学模型研究的速度现实性增加减少系统1建模的原则（1）现实性：把本质的东西和关系反映进去，非本质的东西去掉，而又不影响反映现实的真实程度。（2）简明性：模型既要精确，又要简明。（3）适应性：在运算分析方面、适应问题的变化、操作方面等具有适应性。（4）完整性（5）规范性：尽量借鉴标准形式。一般处理原则：力求达到真实性，在真实的基础上达到简明性，最后尽可能达到适应性要求。三、建模的原则及常用方法1建模的原则三、建模的原则及常用方法2建模一般过程（1）明确建模目的和要求；（2）弄清系统或子系统中的主要因素及其相互关系；（3）选择模型方法；（4）确定模型结构；（5）估计模型参数；（6）模型试运行；（7）对模型进行实验研究；（8）对模型进行必要修正。2建模一般过程（1）明确建模目的和要求；3常用建模方法直接分析法：对内部结构和特征已经清楚的系统，可利用已知的定律和定理，经过一定的分析和推理，得到系统模型。如线性规划模型、存储模型。数学关系式表达实验法：对内部结构和特征不清楚或不很清楚的系统，如能进行实验观察，可通过实验方法测量其输入和输出，再根据一定的辨识方法，得到系统模型。模拟法统计分析法：系统结构不很清楚，且不允许直接进行实验的系统，可以采用数据收集和统计分析的方法建立系统模型。类似法：建立系统的类似模型。拟合法启发性思考法。3常用建模方法直接分析法：对内部结构和特征已经清楚的系统，设一个质量为m，长度为l的摆，其偏离中心线的角度为θ(θ很小)，θ(t)st:方程的解是以为周期的简谐震动。建立单摆简谐运动的类似模型mglθ设一个质量为m，长度为l的摆，其偏离中心线的角度为θ(θ很L-C电路，电路中q(t)st:解是以为周期的简谐震动。一一对应模拟。CLL-C电路图L-C电路，电路中q(t)st:CLL-C电路图蒙特卡罗的特点是在所研究系统的模型中模拟随机事件，即对于所求的值应该设定什么样的概率过程为题进行求解的技术方法。启发性思考法—蒙特卡罗法计算值11在边长为1的的正方形中任意打N个点，并将n个点置于扇形部分，如使点数N足够大，则认为近似等于正方形和扇形面积之比，即：N/n=12/(π×12×1/4)

即：π≈4n/N与概率现象本身没有任何关系的问题，也可用概率的方法来解决，是一种“想法的转换”，即启发性思考方法。蒙特卡罗的特点是在所研究系统的模型中模拟随机事件，即对于所求第2节结构模型（StructureModel）在开发和改造一个系统时，首先需要了解系统中各要素间存在怎样的关系，即了解和掌握系统的结构，即建立系统的结构模型。1结构模型——就是用有向连接图来描述系统各要素间的关系，以表示一个作为要素集合体的系统模型。一结构模型的概念及原理第2节结构模型（StructureModel）在开发和（1）结构模型是一种几何模型：节点表示系统的要素，有向边表示要素间的关系。（2）结构模型是以定性分析为主的模型。（3）结构模型可以用矩阵形式描述，进行定性与定量分析。结构模型的建模方法很多如关联树（如问题树、目标树、决策树）法、解释结构模型化（ISM）方法、系统动力学（SD）结构模型化方法等。本部分要求大家主要学习和掌握解析结构模型ISM（InterpretStructureModel）方法（规范方法、实用化方法）。S3S1S2S4S5基本性质（1）结构模型是一种几何模型：节点表示系统的要素，有向边表示ISM是美国华费尔特教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统有关问题而开发的一种方法。其特点是把复杂的系统分解为若干子系统或要素，利用人们的实践经验和知识，以及计算机的帮助，最终将系统构造成多级递阶的结构模型。ISM的程序为：组织构造ISM小组（10人左右）设定问题选择系统要素，制定系统明细表。构思有向图，建立连接矩阵和可达矩阵。对可达矩阵进行分解，建立结构模型。由结构模型转化为解析结构模型。2解析结构模型原理ISM是美国华费尔特教授于1973年作为分析复杂的社会经济系设定问题、形成意识模型找出影响要素要素关系分析（关系图）建立可达矩阵(M)和缩减矩阵（M/）矩阵层次化处理(ML/)绘制多级递阶有向图建立解释结构模型分析报告比较/F学习初步分析规范分析综合分析ISM方法原理图设定问题、形成意识模型找出要素关系分析（关系图）建立可达矩1有向连接图——由若干节点和有向边连接而成的图象，即为节点和有向边的集合。表示为：G={S，E}2邻接矩阵A——描述图中节点两两之间的直接关系。A中元素3可达矩阵R——用矩阵形式反映有向连接图各节点之间通过一定路径可以到达的程度。Si经若干路径到达Sj否则二、解析结构模型的建立1有向连接图——由若干节点和有向边连接而成的图象，即为节点和可达矩阵=邻接矩阵A+单位矩阵I，并经过一定的运算后求得。即有A1=A+I再设A2=(A+I)2(用布尔代数运算规则)一般地，通过依此运算后，可得：A1≠A2≠·····≠

An-1=An则有R=An-1=(A+I)n-1R----可达矩阵，它表明各节点间经过长度不大于(n-1)条通道可以到达的程度。对于节点数n为个的图，最长的通路长度肯定不超过(n-1).可达矩阵=邻接矩阵A+单位矩阵I，并经过一定的运算后求得。例：现有如下图所示7个要素组成的系统，试建立它的关系，并求邻接矩阵和可达矩阵。有向连接图7154632例：现有如下图所示7个要素组成的系统，试建立它的关系，并求邻由此可得邻接矩阵AA的元素全为零的行所对应的节点为汇点。A的元素全为零的列所对应的节点为源泉。对应每一节点的行中元素值为1的数量，是离开该节点的有向边数。对应每一节点的列中元素值为1的数量，是进入该节点的有向边数。矩阵A的特性由此可得邻接矩阵AA的元素全为零的行所对应的节点为汇点。矩阵建立可以矩阵R。经计算后得：

(A+I)1≠

(A+I)2=

(A+I)3

∴R=(A+I)2

#布尔代数运算规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1建立可以矩阵R。经计算后得：

(A+I)4可达矩阵的分解区域分解π1(S)——将要素分成区域，不同区域的要素相互间是没有关系的。首先将R中的元素划分为可达集和先行集（1）要素Si的可达集R(Si)——R中第Si行矩阵元素为1对应的列要素的集合。即：(N为节点集合，rij=1表示Si

与Sj关联)区域分解4可达矩阵的分解区域分解π1(S)——将要素分成区域，不同（2）要素Sj的先行集A(Sj)——R中第Sj列矩阵元素为1所对应的行要素的集合。即：（3）共同集合T——可达集R(Si)与先行集A(Sj)的交集等于先行集A(Sj)的要素集合，即：（2）要素Sj的先行集A(Sj)——R中第Sj列矩阵元素为（4）确立不同区域任取属于共同集的两要素Su,Sv，若，则Su,Sv属同一区域；若，则Su,Sv属于不同区域。这样运算后的集合称区域分解，可写成：其中M为区域数。（4）确立不同区域级间分解π2(P)——将系统中的所有要素，以可达矩阵为准则划分不同层次。在一个多级结构中，它的最上层要素Si的R(Si)，只能由Si自身和Si的强连通要素组成；同时Si的先行集只能由由Si自身和结构中的下一级可能到达的要素以及Si的强连通要素组成。若Si是最上层单元，需满足：找出最高一级要素后，将其从可达矩阵中划去相应的行与列，在从剩下的可达矩阵中寻找新的最高级要素，依此类推。级间分解级间分解π2(P)——将系统中的所有要素，以可达矩阵为准则级间划分可用下式表示：，其中K为级次若定义：L0=φ，则：其中：分别是由要素组成的子图求得的可达集和先行集。强连通划分π3(L)：级间分解后，每级要素中可能有强连通要素，一般构成一个回路，只需选择一个要素即可。强连通划分级间划分可用下式表示：强连通划分接例可达矩阵分解（区域划分）I=(j)R(Si)A(Sj)R(Si)∩A(Sj)T=A(Sj)R(Si)∩A(Sj)=R(Si)123456711,23,4,5,64,5,654,5,61,2,71,2,72,733,4,63,4,5,63,4,671234,654,673715因为：R(3)∩A(7)=φ，则S3，S7分属不同区域，所以，区域划分为：接例可达矩阵分解（区域划分）I=(j)R(Si)A(S因为：S1，S5满足：所以，S1，S5分属两区域的最高层次。即；L1={S1，S5}再有N-L0–L1进行第二级分解。接例可达矩阵分解（级间分解）i=(j)R(Si)A(Sj)R(Si)∩A(Sj)2346723，4，64，64，62，72，733，4，63，4，67234，64，67该表的最高级，即为可达矩阵的第二级要素L2={2,4,6}因为：S1，S5满足：由N-L0-L1-L2,得：i=(j)R(Si)A(Sj)R(Si)∩A(Sj)37373737该表的最高级，即为可达矩阵的第三级要素为：L3={3,7}这样，经过三级划分，将R中的7个单元划分成三层次，即π2(P)={L1，L2，L3}(强连通划分){4，6}属强连通块。由N-L0-L1-L2,得：i=(j)R(Si)A(Sj)RS1S2S7S3S4S5S6第1级

第2级

第3级区域划分级位划分强连接要素缩减剔除超级关系去掉自身关系绘图结束以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程：M→M（P）→M（L）→M’（L）→M’’（L)→A’→D（A’）原例的递阶结构模型：S1S2S7S3S4S5S6第1级区域划分级位划分强连接案例：人口系统影响总人口增长问题新中国成立以来，人们的期望寿命有了较大提高，相对死亡率降低了，国民收入的不断增长，生活水平不断提高，计划生育政策贯彻不力等等，导致我国人口速度增长过快。为此，成立了各方面人员参加的研究小组对人口增长问题进行了研究，主要任务为：应用ISM讨论和确定我国总人口增长的影响因素；根据经验和对话建立可达矩阵，解析结构模型；通过模型中各因素分析，为制定有关人口政策、控制人口等政策提供依据。经ISM小组讨论后，认为主要影响因素有11个，并经多次讨论后确定它们之间的关系。三、解析结构模型的应用案例：人口系统影响总人口增长问题新中国成立以来，人们的期望寿∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∧∧×∨∨∧∧∨∨∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧S1期望寿命S2保健水平S3生育能力S4计生政策S5思想风格S6营养S7环境污染S8国民收入S9国民素质S10出生率S11死亡率S12总人口×：Si与Sj互有关系；∨：Sj与Si有关系；∧：Si与Sj有关系∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∧∧×∨∨∧∧∨∨∧∧∧∧∧∧∧∧∧1111111111111111111111111111111111111111111111根据以上对话过程，建立可达矩阵1111111111111111111111111111111234567891011121,11,121,2,3,11,123,10,124,10,121,3,6,10,11,121,7,11,121,3,4,8,10,11,124,9,10,1210,1211,12121,2,6,7,822,3,6,84,8,967893,4,6,8,9,101,2,6,7,8,101------12123456789101112I=jR(Si)A(Sj)R(Si)∩A(Sj)11,11,121,2,6,7,81I=jR(Si)A(SjR(2)∩R(6)∩R(7)∩R(8)∩R(9)≠φ共同集合不存在空集，所以没有区域之分。首先找出R（12）=R（12）∩A（12）所以第一层次为要素12第二层次为要素10，11第三层次为要素1，3，4第四层次为要素2，6，7，8，9R(2)∩R(6)∩R(7)∩R(8)∩R(9)≠φ总人口出生率死亡率生育能力思想风俗期望寿命计生政策保健水平营养水平国民收入环境污染国民素质人口系统解析结构模型总人口出生率死亡率生育能力思想风俗期望寿命计生政策保健水平营第三章系统模型课件第3节层次分析法它是由美国著名数学家Satty1972年提出的，这是一种以定性分析与定量分析相结合的系统分析方法，主要特点为：分析思路清晰，可将分析人员的思维过程系统化、数学化和模型化；分析时所需的定量数据较少，但要求对问题的本质、包含的因素及其内在的关系分析清晰；多用于多准则、多目标问题以及其他各种不同类型的系统分析与评价。第3节层次分析法它是由美国著名数学家Satty1972年层次分析法首先把复杂系统所包含的因素及相互关系形成多层次结构模型，一般可用解析结构模型建立。多层次结构模型一般有三类：1完全相关性结构——特点是上一级的每一要素与下一级的全部要素相关，即上一级每一要素都作为下一级的评价项目而起作用。2完全独立性结构——特点是上一级要素都各自有独立的、完全不相同的下级要素。3混合结构——是一种即非完全相关又非完全独立的结构。一、建立层次结构模型层次分析法首先把复杂系统所包含的因素及相互关系形成多层次结构1建立判断矩阵判断矩阵是以上一层的某一要素ak作为准则，对本级的要素进行两两比较而确定的矩阵。如A层元素ak与下一层次元素B1，B2，…，Bn有关系，则其判断矩阵为二、判断矩阵计算要素相对重要度的基本信息1建立判断矩阵二、判断矩阵计算要素相对重要度的基本信息bij——表示对ak而言，Bj元素与Bi元素相对重要性的比值，即bij=wi/wjbij

值是根据资料数据，专家意见和系统分析人员的经验反复研究后确定的。由于是对单一准则的两两比较，一般不难给出评分数据。bij——表示对ak而言，Bj元素与Bi元素相对重要性的比2判断矩阵标度(1-9)及其定义

标度定义1对ak而言，Bi与Bj同样重要3对ak而言，Bi与Bj稍重要一些5对ak而言，Bi与Bj明显重要7对ak而言，Bi与Bj非常重要9对ak而言，Bi与Bj特别重要2、4、6、8其重要性介于上述两相邻标度的中间倒数Bi与Bj的比值为bij，Bj与Bi的比值为bji=1/bij

一般对n阶判断矩阵，需对n(n-1)/2个矩阵元素给出数值。2判断矩阵标度(1-9)及其定义标度根据判断矩阵，计算对上一层次某元素，本层次各元素相对重要次序。1判断矩阵的一致性及其检验基本原理#（1）比较称重法的分析矩阵设n个物体，重量分别为W1，W2，…，Wn，且，两两比较n个物体得矩阵：三、层次单排序及一致性检验根据判断矩阵，计算对上一层次某元素，本层次各元素相对重要次序定义重量向量：向量W右乘A得：由矩阵理论知：n恰为矩阵A唯一非零的特征根，且为最大特征根，而W则为其所对应的特征向量。定义重量向量：向量W右乘A得：由矩阵理论知：n恰为矩阵A唯一对于给定的一组物体，设想计算出它们在总重量中占份额，其方法有两种：一是直接称出每一物体，可得各自的相对重量；二是不称或无法称出每一物体重量的条件下，设法对每一物体的相对重量作出判断。对于大量的社会问题，在没有统一度量标尺可用之时便可能由这种层层比较分析中估量出各因素的重要程度，这恰是比较分析判断法的优越性所在。（介绍的正是该方法）对于给定的一组物体，设想计算出它们在总重量中占份额，其方法有（2）一致性问题及检验思想

式(3)要求wi/wj(i,j=1,2,…,n)的比值，这在物理问题中不难。但在社会性的决策问题中，尤其是在征求众多人的判断过程中，实际给出的aij判断值与理想的wi/wj有一定偏差。由矩阵理论可知，若有数λ1,λ2,…,λn满足A的特征方程：AW=λW则称λ1,λ2,…,λn为矩阵A的特征值。且有如下性质：（2）一致性问题及检验思想式(3)要求wi/wj(i由(1)式得:已知方程(3)AW=nW的最大特征根为:λmax=n

——作为判断矩阵A一致性的充分必要条件。当矩阵A具有完全一致性时，当矩阵A不具有完全一致性，由(1)式得:(3)一致性指标的定义及计算层次分析法用除去判断矩阵最大特征根以外的其余特征根的平均值作为判断矩阵偏离一致性的指标,即:同时引入判断矩阵的平均随机一致性指标RI值(表6-13)随机一致性比率(CR)=判断矩阵的一致性指标(CI)/同阶平均随机一致性指标(RI)——作为一致性检验标准。当CR<0.1时,判断矩阵的一致性是可以接受的。(3)一致性指标的定义及计算层次分析法用除去判断矩阵最大特征2层次单排序及一致性检验(1)判断矩阵的特征值的近似算法将判断矩阵每一列正规化每一列经正规化的判断矩阵按行相加对向量正规化所得的即为所求特征向量.2层次单排序及一致性检验(1)判断矩阵的特征值的近似算法(2)计算判断矩阵的最大特征根

表示向量（AW）的第i个分量。(3)一致性检验指标(2)计算判断矩阵的最大特征根利用单排序结果，自上而下地求出每一级要素相对系统总体的权重。四、综合排序CjWji利用单排序结果，自上而下地求出每一级要素相对系统总体的权重。如果C层次某些因素对于Bi单排序的一致性指标CIi相应的平均随机一致性指标为RIi，则C层次总排序随即一致性比率为：

当CR〈0.1时，层次总排序结果具有满意的一致性。如果C层次某些因素对于Bi单排序的一致性指标CIi相应的平均减少交通事故的损失防止事故发生防止事故发生的损失促进恢复提高司机安全操作责任感提高车辆操作性能改善道路设施提高车辆安全保障功能加强十字路口交通管理充实急救医疗体制健全医疗体制充实残疾人治疗培训体制完全独立性结构减少交通事故的损失防止事故发生防止事故发生的损失促进恢复提提购置一台满意的设备功能价格维护性方案1方案2方案3ABC目标层准则层方案层例：建立如图的层次结构模型完全相关性结构购置一台满意的设备功能价格维护性方案1方案2方案3A现在三种备选的方案中：C1

性能较好价格一般维护需一般水平C2

性能最好价格较贵维护需一般水平C3

性能差价格便宜维护容易假定该企业在设备的使用上首先要求功能强，其次要求易维护，最后考虑价格便宜。现在三种备选的方案中：AB1B2B3B1B2B31531/511/31/331B1C1C2C3C1C2C311/424181/21/81B2C1C2C3C1C2C3141/31/411/8381B3C1C2C3C1C2C3111/3111/3331一、经讨论确定各判定矩阵AB1B2B3B11二、层次单排序及一致性检验B1C1C2C3C1C2C311/424181/21/81和5.51.37511B1C1C2C3C1C2C3.1818.1818.1818.7272.7272.7272.0910.0910.0910和.54542.1816.273