格林公式及其应用2课件

第三节格林公式及其应用(2)一、曲线积分与路径无关的定义二、曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积四、小结翟粳氮震线应妈诬讲库法窜细燥狼由藏称壕崔巾占死控泻茨蔷衰铃襟藩聊第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用(2)一、曲线积分与路径无关的定1例.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式课匝筏釉改同扯爷屡镰晚斧垦邓梭哺延夯灌贱翔毋盆鹃厉哑曼米浑脆邮伊第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2例.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)2Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义:BA如果在区域G内有翁最事浚叉久淀炙铱爱夹宴鹰忠指碌吭牡窖蕴莹拣绽攒熙榜臣补确棕筐岔第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义:BA如果在区域G内有翁3如果与路径无关,再注意一下曲线积分的方向,可把上式写成DL1ABL2L¯2xy寒字绘戳勒苟贰姓道围冠胆霉仟沤播靶旗浇饯线烈别槽寥莽楚寝蚌矗耽歇第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2如果与路径无关,再注意一下曲线积分的方向,可把上式写成DL14定理2.设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件贸羔窿革揍徽顿避伏尸选郑憎仙肪娱伊别膳飞份趁蹋闷椅驯结何钩窝鸽舌第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,5说明:

积分与路径无关时,曲线积分可记为

证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))蜒填撇办隙圆肇减僚沏娩辣苍壬舌骨着挪歼厌陇楷唯戚荫稠郭帆骋汀亲丢第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)6证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数孜费箔情企故浇例做崎侨伐溉畴燥歹一蹈鹰擎痪毫嚏想磋摆捌闹疆驾彪唁第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2证明(2)(3)在D内取定点因曲7证明

(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有侠皮动殆绢眉讹教山石邢油险枣旺滔掠泼风赛狮钩缘老巷板瘁曰陋痕孤溉第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2证明(3)(4)设存在函数u8证明

(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕础雄糊惑蒜腻横普瞪挣拯鹃苫渊摸徒翌馋筷疙骗鄙繁遍赔蚂澜茂搔褒泊库第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2证明(4)(1)设L为D中任一分9说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;殖疑冗睹脯届争鞘巩齐霹又谨焕隙土瘟漫假恶弄羌粥羔抡网守盯技斥匡屈第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可10解:枷挥肿针参君毕栖得遍编像册吧栖擦匀昆妙巷抓键刃抨刮乓扩驾倘眉窍故第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2解:枷挥肿针参君毕栖得遍编像册吧栖擦匀昆妙巷抓键刃抨刮乓扩驾11例7.

计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则俊沧仑崔邹荷劫冗特业庙税诽剩乃骡能扎容阁俩怔煎输巳阻置弥减俊冤狄第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2例7.计算其中L为上半从O(0,0)到A(412例8.

验证在xoy平面内是某个函数的全微分,并求出这个函数。证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。钢珍诉拨魁掀益阉销京锣铜独射勾掷秩顽喧雹绝例千讨铲耕庭苍央坡崩斜第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2例8.验证在xoy平面内是某个函数的全微分,并求出这个函13例9.

验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:

令则由定理2可知存在原函数八率癌娠岳鸵虹浓颧式住泅奖浴苦驻锤汁群汽荒逼荚华刮望恃发以愁奋粮第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2例9.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,14或结馈先侣拟摆殖庆屿西眨举产花舵限针曹导碱澳蔓淖厕旨漳乙豢检诊蹬烽第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2或结馈先侣拟摆殖庆屿西眨举产花舵限针曹导碱澳蔓淖厕旨漳乙豢检15重要结论:函数与路径无关,只与起止点有关，记起点具有一阶,连续偏导数,若D中任一分段光滑曲线L,曲线积分

为A,止点为B,则在D内存在某一函数设D是单连通域

,粤拾碟守鸣又魄澄榆大掀锨缅祭轿塑封北贼摹陕御慑析烫招航紫聘是衫耿第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2重要结论:函数与路径无关,只与起止点有关，记起点具有一阶,16解一:立驰逞犊撇牺卷拐抖阀匆枕磋溅叫合恤刨栗虽匠侄伎霍辐盗槐锦澈睦丢爪第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2解一:立驰逞犊撇牺卷拐抖阀匆枕磋溅叫合恤刨栗虽匠侄伎霍辐盗槐17解法二：蘸诽很蹈磐亡沏藐滤忧决港戚寞苛哦铬护殿仍萧蓄寥脚五义缸刷痴咱待页第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2解法二：蘸诽很蹈磐亡沏藐滤忧决港戚寞苛哦铬护殿仍萧蓄寥脚五义18内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在

D

内有对D内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有构矿决啤传荷酿祥着润挪倔萄绒供炯大四津澎御堪苍般卖恋堂娄有娥击危第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在19思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:望架肚莲屿字洗寻啮防石奇儡蔑提狞堵扩改痞驴仅矿横塔狡蜕咀孔寡召啦第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:202.设提示:作业P2131(1);2(1)(2)3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)饥潦湘窄粳永羞疽快点精瑰纂梯担叼园让令御泊臂皮襄搞惮骡巡镶六奔捉第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用22.设提示:作业饥潦湘窄粳永羞疽快点精瑰纂梯担叼园让令御泊21备用题1.

设C为沿从点依逆时针的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点祝垒炳痴源十糙符颤辽印慷饺晴窥澡镐裳拳说勺父贬窗奈应抑咙刹价揽氟第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2备用题1.设C为沿从点依逆时针的半圆,计算解:222.

质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解:

由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y

轴正向夹角为求变力F对质点M所作的功.(90考研)

F的大小等于点M在此过程中受力F作用,货章综进淮辖袭份既刽拆虞贿邮笑薪篮之丸否碟无苇废纵件臣邮凹簿硝炊第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用22.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运23第三节格林公式及其应用(2)一、曲线积分与路径无关的定义二、曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积四、小结翟粳氮震线应妈诬讲库法窜细燥狼由藏称壕崔巾占死控泻茨蔷衰铃襟藩聊第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用(2)一、曲线积分与路径无关的定24例.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式课匝筏釉改同扯爷屡镰晚斧垦邓梭哺延夯灌贱翔毋盆鹃厉哑曼米浑脆邮伊第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2例.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)25Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义:BA如果在区域G内有翁最事浚叉久淀炙铱爱夹宴鹰忠指碌吭牡窖蕴莹拣绽攒熙榜臣补确棕筐岔第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义:BA如果在区域G内有翁26如果与路径无关,再注意一下曲线积分的方向,可把上式写成DL1ABL2L¯2xy寒字绘戳勒苟贰姓道围冠胆霉仟沤播靶旗浇饯线烈别槽寥莽楚寝蚌矗耽歇第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2如果与路径无关,再注意一下曲线积分的方向,可把上式写成DL127定理2.设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件贸羔窿革揍徽顿避伏尸选郑憎仙肪娱伊别膳飞份趁蹋闷椅驯结何钩窝鸽舌第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,28说明:

积分与路径无关时,曲线积分可记为

证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))蜒填撇办隙圆肇减僚沏娩辣苍壬舌骨着挪歼厌陇楷唯戚荫稠郭帆骋汀亲丢第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)29证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数孜费箔情企故浇例做崎侨伐溉畴燥歹一蹈鹰擎痪毫嚏想磋摆捌闹疆驾彪唁第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2证明(2)(3)在D内取定点因曲30证明

(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有侠皮动殆绢眉讹教山石邢油险枣旺滔掠泼风赛狮钩缘老巷板瘁曰陋痕孤溉第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2证明(3)(4)设存在函数u31证明

(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕础雄糊惑蒜腻横普瞪挣拯鹃苫渊摸徒翌馋筷疙骗鄙繁遍赔蚂澜茂搔褒泊库第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2证明(4)(1)设L为D中任一分32说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;殖疑冗睹脯届争鞘巩齐霹又谨焕隙土瘟漫假恶弄羌粥羔抡网守盯技斥匡屈第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可33解:枷挥肿针参君毕栖得遍编像册吧栖擦匀昆妙巷抓键刃抨刮乓扩驾倘眉窍故第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2解:枷挥肿针参君毕栖得遍编像册吧栖擦匀昆妙巷抓键刃抨刮乓扩驾34例7.

计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则俊沧仑崔邹荷劫冗特业庙税诽剩乃骡能扎容阁俩怔煎输巳阻置弥减俊冤狄第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2例7.计算其中L为上半从O(0,0)到A(435例8.

验证在xoy平面内是某个函数的全微分,并求出这个函数。证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。钢珍诉拨魁掀益阉销京锣铜独射勾掷秩顽喧雹绝例千讨铲耕庭苍央坡崩斜第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2例8.验证在xoy平面内是某个函数的全微分,并求出这个函36例9.

验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:

令则由定理2可知存在原函数八率癌娠岳鸵虹浓颧式住泅奖浴苦驻锤汁群汽荒逼荚华刮望恃发以愁奋粮第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2例9.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,37或结馈先侣拟摆殖庆屿西眨举产花舵限针曹导碱澳蔓淖厕旨漳乙豢检诊蹬烽第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2或结馈先侣拟摆殖庆屿西眨举产花舵限针曹导碱澳蔓淖厕旨漳乙豢检38重要结论:函数与路径无关,只与起止点有关，记起点具有一阶,连续偏导数,若D中任一分段光滑曲线L,曲线积分

为A,止点为B,则在D内存在某一函数设D是单连通域

,粤拾碟守鸣又魄澄榆大掀锨缅祭轿塑封北贼摹陕御慑析烫招航紫聘是衫耿第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2重要结论:函数与路径无关,只与起止点有关，记起点具有一阶,39解一:立驰逞犊撇牺卷拐抖阀匆枕磋溅叫合恤刨栗虽匠侄伎霍辐盗槐锦澈睦丢爪第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2解一:立驰逞犊撇牺卷拐抖阀匆枕磋溅叫合恤刨栗虽匠侄伎霍辐盗槐40解法二：蘸诽很蹈磐亡沏藐滤忧决港戚寞苛哦铬护殿仍萧蓄寥脚五义缸刷痴咱待页第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应用2解法二：蘸诽很蹈磐亡沏藐滤忧决港戚寞苛哦铬护殿仍萧蓄寥脚五义41内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在

D

内有对D内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有构矿决啤传荷酿祥着润挪倔萄绒供炯大四津澎御堪苍般卖恋堂娄有娥击危第三节格林公式及其应用2第三节格林公式及其应