图形与空间平面几何课件

第十講：圖形與空間-平面幾何幾何學：來自對物體形狀的體會

中學的幾何教材在讓學生學習歐氏幾何的公設系統

國小幾何教材則著眼在發展空間能力、基本的幾何概念、簡單的非形式推理第十講：圖形與空間-平面幾何幾何學：來自對物體形狀的體會

中數學中的幾何體系歐氏幾何Euclid（歐幾里得，約在西元前三百年前）整理古希臘時代眾數學家的發現(發明)，集成Elements，一般譯為「原本」或「幾何原本」。他的重要貢獻不只是整理幾何的數學知識而已，還包括將之以演繹方式呈現：從五個公理推演出465個定理。許多人認為學數學能增進邏輯思考能力，這與幾何原本所顯現的演繹推理成分大有關係。其它的幾何體系：射影幾何、拓樸幾何、球面幾何、雙曲幾何…數學中的幾何體系歐氏幾何經驗與邏輯愛因斯坦認為西方文明對人類的兩大貢獻是（蔡聰明，民84）古希臘哲學家發明的演繹系統，即採用邏輯推理來組織知識的方法：先追尋出基本原理，再論證並推導出各種結論，總結歐氏幾何。文藝復興時代發展出來的實證傳統(positivistictradition)，即透過有目的與有系統的實驗觀察，以找尋真理與檢驗真理的態度。邏輯與經驗是建立科學與數學的兩塊基石。知識在「眼見」（經驗）加上「論證」（邏輯）的雙重錘煉下，才變成真確可信。經驗與邏輯愛因斯坦認為西方文明對人類的兩大貢獻是（蔡聰明，民空間能力McGee(1979)和Clements＆Battista(1992)Spatialorientation:理解並在改變方向後仍能掌握物體位置的空間關係，例如在建築物內部找路Visualization:理解及想像平面或立體空間裡的物體運動，如想像積木旋轉後的型態能力指標1-a-01能描述物體在觀察者的前後、左右、上下，及兩個物體的遠近位置以往的四方位、八方位，目前未列入指標3-s-06能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形(與面積或體積有關)空間能力McGee(1979)和Clements＆Batt數學上的平面圖形簡單圖形(simplecurve)指在筆不離開紙面又不重複曲線上各點（除了起點外）情況下，一筆畫完的圖形。封閉圖形(closedcurve)指起點與終點相接。簡單封閉圖形（simpleclosedcurve）是將平面分成三個區域：interior,exterior,&curve。簡單封閉curve及其interior稱為region。一個region是凸(convex)圖形或凹(concave)圖形，是region內任兩點連線有無跨越exterior，無則為凸，有則為凹。國小階段只談凸圖形。數學上的平面圖形簡單圖形(simplecurve)指在筆不多邊形(polygons)是simpleclosedcurve的一種，由三或更多linesegments圍成的。中小學討論的多邊形包括各種三角形、各種四邊形，以及其它如五邊形、六邊形等。討論多邊形重點在邊數、邊長（有無等邊、有無平行邊）、角（有無相等角、有無直角）、內角和等多邊形(polygons)是simpleclosedcu平面的基本形狀認識正方形、長方形、三角形、圓形、平行四邊形、菱形…。分類上的互斥與包含多邊形的組成要素多邊形的定義與分類邊、頂點、角平面的基本形狀認識正方形、長方形、三角形、圓形、平行四邊形、平面圖形的特性全等：兩圖形在平移、旋轉、翻轉後的疊合可處處密合對稱：線對稱、點對稱鉛直vs.水平直角、垂直、平行：平面的與立體的平面圖形的特性全等：兩圖形在平移、旋轉、翻轉後的疊合可處處密中小學階段的幾何作圖3-s-03能使用圓規畫圓4-s-08能用三角板畫出直角與兩平行線，並用來描繪平面圖形6-s-02認識名面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺8-s-04認識尺規作圖8-s-07熟練基本尺規作圖8-s-14能以尺規作圖理解兩個三角形全等的意義8-s-19能做出正方形及平行四邊形的圖形中小學階段的幾何作圖3-s-03能使用圓規畫圓ThevanHiele’sLevelsofGeometricThinkingLevel0:Visual對圖形的辨識與命名是根據其整體外觀，也就是其視覺特徵而定Level1:Descriptive/Analytic能以性質認識圖形，例如可以羅列出正方形、長方形…的性質，但仍無法掌握其間的包含關係Level2:Abstract/Relational能掌握性質間的關係，以如果…，就…進行推論Level3:FormalDeductionLevel4:Rigor/MetamathematicalThevanHiele’sLevelsofGeo第0與1的幾何活動圖形的分類與區辨複雜圖形中尋找隱藏的圖形拼圖摺紙、剪紙造型活動：七巧板、釘板、磁磚樣式圖形猜謎、部份線索的猜謎屬性卡第0與1的幾何活動圖形的分類與區辨非形式推理活動四邊形的包含關係正方形、長方形、菱形、平行四邊形的Venndiagram何者是扇形？你如何知道的？外角性質