同济大学高等数学第五章定积分其应用

第五章定积分及其应用本章开始议论积分学中的另一个基本问题：定积分.第一我们从几何学与力学识题引进定积分的定义,以后议论它的性质与计算方法.最后，来议论定积分的应用问题.第1节定积分的观点与性质定积分问题举例曲边梯形的面积曲边梯形

设函数

y

f(x)在区间

a,b

上非负、连续

由直线

x

a,x

b,y

0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形

此中曲线弧

y

f(x)称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形切割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值详细方法是在区间a,b中随意插入若干个分点（图5-1）ax0x1x2xn1xnb,把a,b分红n个小区间x0,x1,x1,x2,x2,x3,,xn1,xn,它们的长度挨次为x1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1.经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分红n个窄曲边梯形在每个小区间xi1,xi上任取一点i,以xi1,xi为底、f(i)为高的窄矩形近似代替第i个窄曲边梯形，i1,2,3,,n，把这样获取的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即nAf(1)x1f(2)x2f(n)xnf(i)xi.i1求曲边梯形的面积的精准值明显分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A的近似值就越靠近曲边梯形面积A的精准值所以要求曲边梯形面积A的精准值只需无穷地增添分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记maxx1,x2,,xn,于是上述增添分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0.所以曲边梯形的面积为nAlimf(i)xi.01i图5-11.1.2变速直线运动的行程设物体作直线运动已知速度vv(t)是时间间隔T1,T2上t的连续函数且v(t)0,计算在这段时间内物体所经过的行程S求近似行程我们把时间间隔T1,T2分红n个小的时间间隔ti在每个小的时间间隔ti内物体运动当作是均速的其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i)物体在时间间隔ti内运动的行程近似为siv(i)ti.把物体在每一小的时间间隔ti内运动的行程加起来作为物体在时间间隔T1,T2内所经过的行程S的近似值详细做法是在时间间隔T1,T2内随意插入若干个分点Tit0t1t2tn1tnT2,T1,T2分红n个小段t0,t1,t1,t2,tn1,tn,各小段时间的长挨次为t1t1t0,t2t2t1,,tntntn1.相应地在各段时间内物体经过的行程挨次为s1,s2,,sn.在时间间隔ti1,ti上任取一个时刻i(ti1iti),以i时刻的速度v(i)来取代ti1,ti上各个时刻的速度获取部分行程si的近似值即siv(i)ti(i1,2,,n).于是这n段部分行程的近似值之和就是所求变速直线运动行程S的近似值即nSv(i)tii1求精准值记maxt1,t2,,tn,当0时取上述和式的极限即得变速直线运动的行程Slimnv(i)ti0i1定积分的观点抛开上述问题的详细意义抓住它们在数目关系上共同的实质与特征加以归纳就抽象出下述定积分的定义定义设函数yf(x)在a,b上有界在a,b中随意插入若干个分点ax0x1x2xn1xnb,把区间a,b分红n个小区间x0,x1,x1,x2,x2,x3,,xn1,xn,各小段区间的长挨次为x1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1.在每个小区间xi1,xi上任取一个点i,作函数值f(i)与小区间长度xi的乘积f(i)xi(i1,2,,n)并作出和nSf(i)xii1记maxx1,x2,,xn,假如无论对a,b如何分法也无论在小区间xi1,xi上点i,如何取法只需当0时和S总趋于确立的极限I这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的定积分b记作af(x)dx即bnlimf(i)xiaf(x)dx0i1此中f(x)叫做被积函数f(x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限a,b叫做积分区间依据定积分的定义曲边梯形的面积为Abf(x)dxa变速直线运动的行程为STvtdtT2( )1说明(1)定积分的值只与被积函数及积分区间相关而与积分变量的记法没关即bbbaf(x)dxaf(t)dtaf(u)dunf(i)xi往常称为f(x)的积分和(2)和i1(3)假如函数f(x)在a,b上的定积分存在我们就说f(x)在区间a,b上可积函数f(x)在a,b上知足什么条件时f(x)在a,b上可积呢定理1设f(x)在区间a,b上连续则f(x)在a,b上可积定理2设f(x)在区间a,b上有界且只有有限个中断点则f(x)在a,b上可积定积分的几何意义设f(x)是a,b上的连续函数，由曲线yf(x)及直线xa,xb,y0所围成的曲边梯形的面积记为A.由定积分的定义易知道定积分有以下几何意义：（1）当f(x)0时，bf(x)dxAa（2）当f(x)0时，bAf(x)dxa（3）假如f(x)在a,b上有时取正当，有时取负值时，那么以a,b为底边，以曲线yf(x)为曲边的曲边梯形可分红几个部分，使得每一部分都位于x轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，以下图，有bf(x)dxA1A2A3a此中A1,A2,A3分别是图5-2中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.图5-212dx例1.利用定义计算定积分0x解把区间[01]分红n等份分点和小区间长度分别为xii(i12n1)xi1(i12n)nn取ii(i1,2,,n),作积分和nnnf(i)xi2ii1i1因为1n1x2dxnlimf(00i1图5-3

nx(i)21i1nni当0时i)xlim1(16n

1ni2n3i1n)(21)nn

11n(n1)(2n1)1(11)(21)n366nn所以131例2用定积分的几何意义求0(1x)dx解函数y1x在区间0,1上的定积分是以y1x为曲边以区间0,1为底的曲边梯形的面积因为以y1x为曲边以区间0,1为底的曲边梯形是向来角三角形其底边长及高均为1所以11111(1x)dx022图5-412dx.例3利用定积分的几何意义，证明1x12证明令y1x2,x[1,1]，明显y0，则由y1x2和直线x1,x1，y0所围成的曲边梯形是单位圆位于x轴上方的半圆.如图5-5所示.因为单位圆的面积A，所以半圆的面积为.21x2dx由定积分的几何意义知：1.12图5-5定积分的性质两点规定(1)当ab时(2)当ab时

baba

f(x)dx0f(x)dxaf(x)dxb性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即bbba[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dxbg(x)]dxlimni)g(i)]xi证明:a[f(x)[f(0i1nnlimf(i)xilimg(i)xi0i10i1bbaf(x)dxag(x)dx性质2被积函数的常数因子能够提到积分号外面即bbakf(x)dxkaf(x)dxbnkf(i)xiklimn这是因为akf(x)dxlimf(i)xi0i10i1性质假如将积分区间分红两部分部分区间上定积分之和即bcbaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx这个性质表示定积分对于积分区间拥有可加性值得注意的是无论a,b,c的相对地点如何总有等式bcbaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx建立比如当abc时因为cbcaf(x)dxaf(x)dxbf(x)dx于是有bcccbaf(x)dxaf(x)dxbf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx性质4假如在区间a,b上f(x)1则bba1dxadxba性质5假如在区间a,b上f(x)0则b0(ab)f(x)dxa推论1假如在区间a,b上f(x)g(x)则bbaf(x)dxag(x)dx(ab)这是因为g(x)f(x)0进而bbbag(x)dxaf(x)dxa[g(x)f(x)]dx0所以bbf(x)dxg(x)dxaabb推论2|af(x)dx|a|f(x)|dx(ab)

bkaf(x)dx则在整个区间上的定积分等于这两这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|所以bbba|f(x)|dxaf(x)dxa|f(x)|dx即|bbf(x)dx.f(x)dx|aa性质6设M及m分别是函数f(x)在区间a,b上的最大值及最小值则bm(ba)af(x)dxM(ba)(ab)证明因为mf(x)M所以bbf(x)dxbmdxMdxaaa进而bm(ba)af(x)dxM(ba)性质7(定积分中值定理)假如函数f(x)在闭区间a,b上连续则在积分区间a,b上起码存在一个点使下式建立ba

f(x)dxf( )(ba)这个公式叫做积分中值公式证明由性质6bm(ba)af(x)dxM(ba)各项除以ba得m1bf(x)dxMbaa再由连续函数的介值定理在a,b上起码存在一点使1bf( )baaf(x)dx于是两头乘以ba得中值公式baf(x)dxf( )(ba)注意无论ab仍是ab积分中值公式都建立而且它的几何意义是:由曲线yf(x),直线xa,xb和x轴所围成曲边梯形的面积等于区间[a,b]上某个矩形的面积,这个矩形的底是区间[a,b],矩形的高为区间[a,b]内某一点处的函数值f( )，如图5-6所示.图5-6习题5-11.利用定积分的观点计算以下积分.（1）1(axb)dx;（2）1axdx(a0).002.说明以下定积分的几何意义，并指出它们的值.1（1）(2x1)dx；（2）0（3）3（4）xdx；03.不经计算比较以下定积分的大小

r2x2dx；rr3x2dx.931x2dx与14sinxdx与4cosxdx;（1）x3dx;（2）00001xdx与1xdx112dx（3）ln(1;（4）xdx与x.00004.设f(x)为区间a,b上单一增添的连续函数，证明：f(a)(ba)bf(b)(ba)f(x)dxa5.用定积分定义计算极限lim(nnn)21n22n2n2nn2微积分基本公式变速直线运动中地点函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动在t时刻所经过的行程为S(t)速度为vv(t)S(t)(v(t)0),则在时间间隔T1,T2内物体所经过的行程S可表示为S(T)S(T)及T2v(t)dt21T1即T2( )dt()()T1vtST2ST1上式表示速度函数v(t)在区间T1,T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间T1,T2上的增量这个特别问题中得出的关系能否拥有广泛意义呢积分上限函数及其导数定义设函数f(x)在区间a,b上连续而且设x为a,b上的一点我们把函数f(x)在部分区间a,x上的定积分xf(x)dx它是区间a,b上的函数x称为积分上限的函数记为(x)f(x)dx或a(x)xf(t)dtaf(x)在区间a,b(x)x定理1假如函数上连续则函数f(t)dt在a,b上拥有导a数而且它的导数为(x)dxf(x)(axb)f(t)dtdxa证明若x(a,b)取x使xx(a,b).(xx)(x)xxxaf(t)dtf(t)dtaxxaxxf(t)dtf(t)dtxaf(t)dtf( )xx应用积分中值定理有f()x,此中在x与xx之间x0时x于是limxlimf()limf( )f(x),即(x)f(x)x0x0x若xa取x0则同理可证(x)f(a)若xb取x0则同理可证(x)f(b)d(x)( )][(x)( )][()]()(x)可导，则[fdtfxfxaadx(x)更一般的有例1计算

f()(x)( )( )( ).(x)dxtsintdt.edx0dxtsintdt=xttdt=exsinx.解e[esin]dx00x2sintdt例2求极限lim0.x4x00型的不决式，利用因为limx40，limx2sintdt0解0sintdt0，所以这个极限是x0x000洛必达法例得2sintdtsinx22xsinx2lim0=lim=limx44x32x2x0x0x0=1limsinx2=1.2x0x22x设f(x)在0,内连续且f(x)00tf(t)dt例3证明函数F(x)x在(0,)内为单一增0f(t)dt加函数证明dx( )dtxf( )dxf(x)故dx0tftxdx0f(t)dtxxxF(x)xf(x)0f(t)dtf(x)0tf(t)dtf(x)0(xt)f(t)dt(xx0f(t)dt)2(f(t)dt)20按假定当0tx时f(t)0,(xt)f(t)0,所以x0xxtftdtf(t)dt0(00)( )进而F(x)0(x0),这就证了然F(x)在(0,)内为单一增添函数f(x)在区间a,b上连续则函数(x)xf(x)在定理2假如函数f(t)dt就是aa,b上的一个原函数定理的重要意义一方面必定了连续函数的原函数是存在的另一方面初步地揭露了积分学中的定积分与原函数之间的联系牛顿莱布尼茨公式定理3假如函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数则baf(x)dxF(b)F(a)此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式证明已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数又依据定理2积分上限函数(x)xf(t)dt也是f(x)的一个原函数a于是有一常数C使F(x)(x)C(axb).当xa时有F(a)(a)C，而(a)0，所以CF(a)当xb时F(b)(b)F(a)所以(b)F(b)F(a)即baf(x)dxF(b)F(a)为了方便起见可把F(b)F(a)记成[F(x)]ba于是bf(x)dx[F(x)]abF(b)F(a)a该公式进一步揭露了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例4计算1x2dx0解因为1x3是x2的一个原函数所以312dx[13113131x3x]0313030dx例5计算11x2解因为arctanx是1的一个原函数所以x213dx3arctan3arctan(1)()711x2[arctanx]13412例6计算11dx2x解11dx[ln|x|]1ln1ln2ln22x23xdx.例7求2132|2x|dx323解2xdx=|2x|dx(2x)dx(x2)dx112122(1x23=(2x1x2)2x)=91=5.212222例8计算正弦曲线ysinx在[0]上与x轴所围成的平面图形的面积解这图形是曲边梯形的一个特例它的面积Asinxdx[cosx]0(1)(1)20习题5-2x21.设f(x)sintdt，求f()；042.设f(x)x(x)；xcost3dt，求f03.求以下函数的导数1）3）

f(x)xtdt；e（2）0f( )costdt；（4）sin

f(x)1t2dt；1xf(x)x2t2dt.104.计算以下导数（1）dx22t2（2）dtedt；dxdx0xsin(t)dt1）lim15.求以下极限（；x11cos(t)

x21（3）dx22.dt；x)sintdtx1t2dx0(t(xet2dt)2（2）lim0.x2x0te2tdt06.计算以下定积分2x1)dx；1x2)dx；21dx；（1）(x2（2）0(2x（3）11x（4）cosxdx；（5）2sinxdx；（6）1exdx；000（7）13cosx)dx;（8）1x100dx;（9）1x21(20x2dx;001（10）1cos2xdx;（11）4x(1x)dx;（12）31dx;011231x1103x43x21（13）2dx;（14）1x（15）0100dx;11x2dx;01x221dx;4tan2xdx;1（16）（17）（18）max{x,1x}dxe11x00x1,x128．设fx12,x，求0fxdx.2x1定积分的计算定积分的换元积分法定理假定函数f(x)在区间a,b上连续函数x(t)知足条件(1)( )a,( )b;(2)(t)在,（或,）上拥有连续导数且其值域不越出a,b则有baf(x)dxf[(t)](t)dt这个公式叫做定积分的换元公式证明由假定知f(x)在区间a,b上是连续因此是可积的f(t)(t)在区间,(或,)上也是连续的因此是可积的假定F(x)是f(x)的一个原函数则bF(b)F(a).f(x)dxa另一方面因为F(t)F(t)(t)f(t)(t)所以F[(t)]是f(t)(t)的一个原函数进而f(t)(t)dtF( )F( )F(b)F(a).所以bfttdtfxdx[)a( )()](3例1求0

xdx.1x解令1xt，则xt21，dx2tdt，当x0时，t1，当x3时，t2，于是30

xdx=2t212tdt=22(t21)1x1t1dt=2[1t3t]12=833ln2x例2求edx.10解令ex1t，则xln(1t2)，dx2tdt，当x0时，t0；当xln2时，1t21，于是ln2x1dx=12t2dt=12t22dt=211)dt0et1t01t(11t200=2[tarctant]10=2.2例3计算aa2x2dx(a>0)0解令xasint，则a2x2a2a2sin2tacost，dxacostdt.当x0时t0当xa时t2a令xasint2acostacostdta2x2dx00a22cos2tdta22(1cos2t)dt020a2[t121222sin2t]04a例4计算02cos5xsinxdx解:令tcosx,则当x0时t1当x时t022525令cosxt051516110cosxsinxdx0cosxdcosx1tdt0tdt[6t]06或2cos5xsinxdx2cos5xdcosx[1cos6x]021cos61cos6010066266例5计算0sin3xsin5xdxsin3xsin5xdx3解0sin2x|cosx|dx0332sin2xcosxdxsin2xcosxdx023xdsinx32sin2sin2xdsinx02552)[2sin2x]2[2sin2x]2(45052555提示sin3xsin5xsin3(1sin2)sin3x|cosx|2xx在[0,2]上cosxcosx,在[,]上cosxcosx.2例6计算4x2dx02x1解令2x1t,则xt21，dxtdt,当x0时t1当x4时t324x2令2x1t3t212132dx2tdt(t3)dt02x11t211[1t33t]31[(279)(13)]222312333例7设f(x)在区间[a,a]上连续，证明：（1）假如f(x)为奇函数，则af(x)dx0a；（2）假如f(x)为偶函数，则af(x)dx2af(x)dx.a0证明由定积分的可加性知af(x)dx0f(x)dxaaaf(x)dx，0对于定积分0f(x)dx换xt，a，作代得0f(x)dx=0f(t)dt=at)dt=ax)dx，aaf(f(00af(x)dxaa所以af(x)dxf(x)dx00a[f(x)f(x)]dx0（1）假如f(x)为奇函数，即f(x)f(x)，则f(x)f(x)0，a于是f(x)dx0.a（2）假如f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)f(x)2f(x)，aa于是f(x)dx2f(x)dx.a0例8若f(x)在0,1上连续证明(1)2f(sinx)dx2f(cosx)dx00(2)0xf(sinx)dx20f(sinx)dx证明(1)令xt则220f[sin(t)]dtf(sinx)dx0222f[sin(t)]dt2f(cost)dt020

2f(cosx)dx0(2)令xt则0xf(sinx)dx00(0((t)f[sin(t)]dtt)f[sin(t)]dtt)f(sint)dt0f(sint)dt0tf(sint)dt0f(sinx)dx0xf(sinx)dx所以20f(sinx)dx0xf(sinx)dx例9设函数f(x)xex2x042)dx11x0计算1f(x1cosx解设x2t则dxdt;当x1时t1当x4时t242)dx201dt22dt[tant]2tan11e41f(xf(t)dt11tet0[1et]211cost02120222定积分的分部积分法设函数u(x)、v(x)在区间a,b上拥有连续导数u(x)、v(x)由(uv)uvuv得uvuvuv式两头在区间a,b上积分得bb或bbuvdx[uv]abuvdxudv[uv]abvduaaaa这就是定积分的分部积分公式分部积分过程bb[uv]abb[uv]abbauvdxaudvavduauvdx1例10计算2arcsinxdx011111x解2arcsinxdx[xarcsinx]22xdarcsinx2dx0002601x21211dx2213212201x2(1)12[1x]01221例11计算1exdx0解令xt则1x1t1t2[tet11t2et10edx20etdt20tde]020edt2[e]022例12求1xlnxdx.21212122)=x2lnxx2d(lnx)解xlnxdx=lnxd(x112121212123=2ln2xdx=2ln2x2=2ln2.21441例13求xsinxdx.0解0xsinxdx=0xdcosx=xcosx00cosxdx=sinx0=.例14设In2sinnxdx证明0(1)当n为正偶数时n1n331Innn2422(2)当n为大于1的正奇数时Inn1n342nn253证明In2sinnxdx2sinn1xdcosx[cosxsinn1x]22cosxdsinn1x0000(n1)2cos2xsinn2xdx(n1)2(sinn2xsinnx)dx00(n1)2sinn2xdx(n1)2sinnxdx00(n1)In2(n1)In由此得Inn1In2nI2m2m12m32m531I02m2m22m442I2m12m2m22m442I12m12m12m353而I02dx2I12sinxdx100所以I2m2m12m32m5312m2m22m4422I2m12m2m22m4422m12m12m353定积分的近似计算固然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有必定限制性的。对于被积分中的不可以用初等函数表达的情况或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情况，我们就有必需考虑近似计算的方法。定积分的近似计算的基本思想是依据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方法。下边介绍三种常用的方法：矩形法、梯形法及抛物线法。3.3.1矩形法用分点ax0,x1,,xnbab将区间a,b均分红n份，每一份长度为x，取小区间左n端点的函数yi(i0,1,2,n1)作为窄矩形的高（图5-7），则有bnbaf(x)dxayi1xi1n

nyi1i1取小区间右端点的函数值yi(i0,1,2,n1)作为窄矩形的高，则有bnbanf(x)dxyixnyiai1i1以上两公式称为矩形法公式。图5-73.3.2梯形法将积分区间a，b作n均分，分点挨次为ax0x1xnb,xba.n相应的函数为y0,y1,,yn(yif(xi),i0,1,,n)曲线yfx上相应的点为P0,P1,,Pn(Pi(xi,yi),i0,1,,n)将曲线的每一段弧Pi1Pi用过点Pi1,Pi（线性函数）来取代，这使得每个xi1,xi上的曲边梯形形成了真实的梯形（图5-8），其面积为yi1yix，i1，2，，n2于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即bnyi1yixnfxdxi12x2i1(yi1yi)a亦即bbay0y1y2yn1yn,f(x)dx（2）an22称此式为梯形法公式。在实质应用中，我们还需要知道用这个近似值来取代所求积分时所产生的偏差，进而有bbay0y1y2yn1ynRn,f(x)dxn22a此中Rn(ba)3fab12n2，图5-83.3.3抛物线法由梯形法求近似值，当yfx为凹曲线时，它就偏小；当yfx为凸曲线时，它就偏大。假如每段改用与它凸性相靠近的抛物线来近似，便可减少上述弊端。下边介绍抛物线法。（图5-9）将区间a，b作2n均分，分点挨次为ax0x1x2nb,xba.2n对应的函数值为y0,y1,,y2n(yif(xi),i0,1,,2n)曲线上相应的点为P0,P1,,P2n,Pi(xi,yi),(i0,1,2,,2n)现把区间x2i2,x2i上的曲线段yfx用经过三点P2i2(x2i2,y2i2),P2i1(x2i1,y2i1),P2i(x2i,y2i)的抛物线yx2xpi(x)来近似取代，而后求函数pi(x)从x2i1到x2i的定积分：x2ix2ix2i2bapi(x)y2i24y2i1y2i6ny2i24y2i1y2ix2i26将这n个积分相加即得本来所要计算的定积分的近似值：anx2ipinfxdxxdxbi1x2i2i1

ba6ny2i24y2i1y2i即bfxdxbay0y2n4y1y3y2n12y2y4y2n2a6n这就是抛物线法公式，也就是辛卜生公式。也有afxdxb6nay0y2n4y1y3y2n12y2y4y2n2Rnb此中Rn(ba)5f(4)()ab4180n可见n越大，近似计算越正确。一般说来，将积分区间a，b作相同数目等份的状况下，抛物线形公式比梯形公式更精准一些。图5-9习题5-3计算以下定积分42113（1）16dx；（2）2dx；xdx；x（3）2sinxcos004x0eln2xdx；ln2ex1dx；1xdx；（4）x（5）（6）54x1014dx（8）2sin3xdx；e2dx（7）；（9）x；1x1011lnx0dx（10）2；2x2x22.利用换元法计算以下积分（1）sin(x)dx；33（4）2axdx；3a20x2（7）21dx；xx2213.计算以下定积分1(1x4tanxdx（1）14.利用分部积分法计算以下积分1（1）(1x)exdx；0（4）4xcos2xdx；0（7）1eπxcosπxdx；04lnx（10）dx；xe（13）1lnxdx；e5.利用奇偶性计算以下各式1（1）(x1x2)2dx;1x3sin2x3）5x42x21dx;

121x2dx.（11）01cos2xdx；（12）0x（2）113dx；（3）2sincos3dx；2(115x)0（5）e1lnxdx；（6）2sinxecosxdx；1x0（8）1xdx.0x1（2）2(xcosx)sin2xdx.21xe2xdx；e（2）（3）x2lnxdx；0141)e5xdx；（6）e11)dx；（5）(5x0ln(x013x3x3x（8）0(x3)xdx；（9）dx；e4sin2x12x（11）（12）xarctanxdx；xe2dx；00（14）2xsinxdx.0（2）24cos4xdx；2（4）a(xcosx5sinx2)dx.axx6.若f(t)是连续的奇函数，证明f(t)dt是偶函数：若f(t)是连续的偶函数，证明f(t)dt00是奇函数。7.若f(x)在区间[0,1]上连续,证明(1)2f(sinx)dx=2f(cosx)dx;00(2)xf(sinx)dx=f(sinx)dx,由此计算xsinxdx.202001cosx8.设fx2afxdxafxf2axdx.在0,2a上连续，证明00设在bxxbfbfbafafa9.f(x)[a,b]上连续，证明：xf)d[)[))]a((( )]((失常积分无量限的失常积分定义1设函数f(x)在区间a,上连续取ba假如极限bblimaf(x)dx存在则称此极限为函数f(x)在无量区间a,上的失常积分记作f(x)dx即aaf(x)dxlimbaf(x)dxb这时也称失常积分fxdx收敛a假如上述极限不存在函数f(x)在无量区间a,afxdx就没存心义上的失常积分( )此时称失常积分()发散afxdx近似地设函数f(x)在区间,b上连续假如极限alimbaf(x)dx(a<b)存在则称此极限为函数f(x)在无量区间,b上的失常积分记作bf(x)dx即blimbf(x)dxf(x)dxaa这时也称失常积分bf(xdx收敛假如上述极限不存在则称失常积分bfxdx发散)( )设函数f(x)在区间(,)上连续假如失常积分0和f(x)dxf(x)dx0都收敛则称上述两个失常积分的和为函数f(x)在无量区间(,)上的失常积分记作f(x)dx即0f(x)dxf(x)dx0f(x)dxlim0()limb( )aafxdxb0fxdx这时也称失常积分f(x)dx收敛假如上式右端有一个失常积散发散则称失常积分f(x)dx发散失常积分的计算假如F(x)是f(x)的原函数则f(x)dxlimblim[F(x)]balimF(b)F(a)limF(x)F(a)f(x)dxababbx可采纳以下简记形式f(x)dx[F(x)]alimF(x)F(a)ax近似地b[F(x)]bF(b)limF(x)f(x)dxxf(x)dx[F(x)]limF(x)limF(x)xx例1计算失常积分1dx12x解1dx[arctanx]1x2limarctanxlimarctanxxx2()2例2计算失常积分0teptdt(p是常数且p0)解0teptdt[teptdt]0[1tdept]0[1tept1eptdt]0ppp[1tept1ept]0lim[1tept1pt]11pp2pp2ep2p2t提示limteptlimtlim10ttepttpept例3议论失常积分1pdx(a0)的敛散性ax解当p1时a1dxa1dx[lnx]axpx当p1时a1dx[1x1p]axp1p当p1时a1dx[1x1p]aa1pxp1pp1所以当p1时此失常积分收敛其值为a1p当p1时此失常积散发散p1无界函数的失常积分定义2设函数f(x)在区间a,b上连续而在点a的右邻域内无界取0如果极限limbf(x)dx0af(x)在a,b上的失常积分b存在则称此极限为函数仍旧记作af(x)dx即bbf(x)dxlimf(x)dxa0a这时也称失常积分bf(x)dx收敛a假如上述极限不存在就称失常积分

ba

f(x)dx发散近似地设函数f(x)在区间a,b上连续而在点b的左邻域内无界取0假如极限limbf(x)dx0a存在则称此极限为函数f(x)在[ab)上的失常积分bfxdx仍旧记作即a( )blimbf(x)dxf(x)dxa0abf(x)dx收敛假如上述极限不存在b这时也称失常积分就称失常积分aa

f(x)dx发散设函数f(x)在区间a,b上除点c(acb)外连续而在点c的邻域内无界假如两个失常积分c与baf(x)dxc( )都收敛则定义bf(x)dxcf(x)dxbf(x)dxlimclimbf(x)dxaacf(x)dxc0a0不然就称失常积分bfxdx发散a( )瑕点假如函数f(x)在点a的任一邻域内都无界那么点a称为函数f(x)的瑕点.失常积分的计算假如F(x)为f(x)的原函数a为瑕点，则有bbf(x)dxlim[F(x)]abFbFaf(x)dxlimlim)a0a00可采纳以下简记形式b[F(x)]baf(x)dxF(b)limF(a)a0近似地当b为瑕点时有b[F(x)]abf(x)dxlimF(b)F(a)a0当c(acb)为瑕点时bf(x)dxcf(x)dxb[limF(c)F(a)][F(b)limF(c)]aaf(x)dxc00例4计算失常积分a1dx0a2x2解因为lim1所以点a为被积函数的瑕点a2x2xaa1dxarcsinx0alimarcsina0ax20220a例5议论失常积分11dx的收敛性1x2解函数1在区间1,1上除x0外连续且lim1因为x2x0x201dx[1]0lim(1)11x2x10即失常积分012dx发散所以失常积分112dx发散1x1x例6议论失常积分bdx的敛散性a(xa)q解当q1时bdxbdx[ln(xa)]baa(xa)qaxa当q1时bdx[1(xa)1q]aba(xa)q1q当q1时bdx[1(xa)1q]ab1(ba)1qa(xa)q1q1q所以当q1时此失常积分收敛其值为1(ba)1q当q1时此失常积散发1q散习题5-41.以下广义积分能否收敛若收敛，则求出其值.（1）1（2）1e100xdxx2dx；；012dx（3）x；（4）；1x4dx100x20（5）(x13dx；（6）0e2xdx；11)（7）1dx；（8）dxxlnx1x20.001x2.计算以下失常积分（1）arctanxdx；（2）001x2（3）exdx；（4）11

cosxdx；dxdx；x(x1)621arcsinx(x4)3dx；（5）（6）dx；00x1x1arcsinxdx；b（7）1x2（8）0a

dxba.xabx3.证明广义积分bdx当q1时收敛；当q1时发散.a(xqa)x4.已知limxa4x2e2xdx，求常数a.xxaa定积分的应用“微元法”回想曲边梯形的面积设yf(x)0(xa,b).假如说积分bAaf(x)dx是以a,b为底的曲边梯形的面积则积分上限函数xA(x)af(t)dt就是以a,x为底的曲边梯形的面积而微分dA(x)f(x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值Af(x)dx,f(x)dx称为曲边梯形的面积元素（图5-10）以a,b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式以a,b为积分区间的定积分bAaf(x)dx一般状况下为求某一量U先将此量散布在某一区间a,b上散布在a,x上的量用函数U(x)表示再求这一量的元素dU(x)设dU(x)u(x)dx而后以u(x)dx为被积表达式以a,b为积分区间求定积分即得Ubf(x)dxa用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)图5-10、定积分在几何上应用5.2.1、平面图形的面积直角坐标情况设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成则面积元素为f上(x)f下(x)dx于是平面图形的面积为bSa[f上(x)f下(x)]dx近似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为dSc[右(y)左(y)]dy例1计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积解(1)绘图（图5-11）(2)确立在x轴上的投影区间:0,1(3)确立上下曲线f上(x)x,f下(x)x2(4)计算积分131x3]101S(xx2)dx[2x20333图例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积解(1)绘图（图5-12）(2)确立在y轴上的投影区间:[24](3)确立左右曲线左(y)1y2,右(y)y42(4)计算积分41212134S2(y42y)dy[2y4y6y]218图例3求椭圆x2y21所围成的图形的面积a2b2解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍椭圆在第一象限部分在x轴上的投影区间为[0a]因为面积元素为ydx所以aS40ydx椭圆的参数方程为:xacostybsint于是a0bsintd(acost)0sin2tdt2ab2(1cos2t)dt2ababS40ydx44ab2202图5-132．极坐标情况曲边扇形及曲边扇形的面积元素（图由曲线( )及射线

5-14）

围成的图形称为曲边扇形

曲边扇形的面积元素为dS1[( )]2d2曲边扇形的面积为S1[( )]2d2图例4.计算阿基米德螺线a(a>0)上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积解:S2121a2[13]24a2302332例5.计算心形线a(1cos)(a>0)所围成的图形的面积解S21[a(1cos]2da2(12cos1cos2)d02022a2[32sin1sin2]03a2242图5-15例6.求双纽线2a2cos2所围成的图形的面积解由对称性可知总面积为第一象限面积的四倍（如图5-16），即S414a2cos2da220图5-165.2.2体积旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴常有的旋转体圆柱、圆锥、圆台、球体旋转体都能够看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体设过区间[ab]内点x且垂直于x轴的平面左边的旋转体的体积为V(x)当平面左右平移dx后体积的增量近似为V[f(x)]2dx于是体积元素为dV[f(x)]2dx旋转体的体积为V图

b2dx[f(x)]a例7连结坐标原点O及点P(hr)的直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋转组成一个底半径为r、高为h的圆锥体计算这圆锥体的体积解直角三角形斜边的直线方程为yrxh所求圆锥体的体积为hr2r213h12V0(x)dxhrhh2[3x]03图5-18例8计算由椭圆x2y21所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积a2b2解这个旋转椭球体也能够看作是由半个椭圆yba2x2a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积元素为dVy2dx于是所求旋转椭球体的体积为Vab2(a2x2)dxb2[a2x1x3]a4ab2aaa2a233222例9计算由星形线x3y3a3(a0)绕x轴旋转而成的旋转体的体积解星形线的参数方程为xacos3t(a0),，yasin3t依据对称性可知，旋转体体积为第一象限图像绕x轴旋转而成的旋转体的体积的2倍Vay2dx2a2dxay022a2sin6t3acos2tsintdt06a32(sin7tsin9t)dt32a30105图5-19平行截面面积为已知的立体的体积建立体在x轴的投影区间为[ab]过点x且垂直于x轴的平面与立体相截截面面积为A(x)则体积元素为A(x)dx立体的体积为bVaA(x)dx例10一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心并与底面交成角计算这平面截圆柱所得立体的体积解取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴那么底圆的方程为x2y2R2立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形两个直角边分别为R2x2及R2x2tan因此截面积为A(x)1(R2x2)tan2于是所求的立体体积为VR1(R2x2)tandx1tan2x13]RR2R3tanR22[R3x3例11求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积解取底圆所在的平面为xOy平面圆心为原点并使x轴与正劈锥的顶平行底圆的方程为x2y2R2过x轴上的点x(R<x<R)作垂直于x轴的平面截正劈锥体得等腰三角形这截面的面积为A(x)hyhR2x2于是所求正劈锥体的体积为VRhR2x2dx2R2h2cos2d1R2hR025.2.3平面曲线的弧长设AB是曲线弧上的两个端点在弧AB上任取分点AM0M1M2Mi1MiMn1MnB并挨次连结相邻的分点得一内接折线当分点的数目n无穷增添且每个小段Mi1Mi都缩向一点时假如此折线的长|Mi1Mi|的极限存在则称i1此极限为曲线弧AB的弧长并称此曲线弧AB是可求长的定理圆滑曲线弧是可求长的1．直角坐标情况设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出此中f(x)在区间[ab]上拥有一阶连续导数此刻来计算这曲线弧的长度取横坐标x为积分变量它的变化区间为[ab]曲线yf(x)上相应于[ab]上任一小区间[xxdx]的一段弧的长度能够用该曲线在点(xf(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似取代而切线上这相应的小段的长度为(dx)2(dy)21y2dx进而得弧长元素(即弧微分)ds1y2dx以1y2dx为被积表达式在闭区间[ab]上作定积分便得所求的弧长为sby2dx1a在曲率一节中我们已经知道弧微分的表达式为y2dx这也就是弧长元素3ds1例12计算曲线y2x2上相应于x从a到b3的一段弧的长度1解yx2进而弧长元素ds1y2dx1xdx所以所求弧长为b[2(132[(133s1xdxx)2]abb)2(1a)2]a33例13计算悬链线ycchx上介于xb与xb之间一段弧的长度c解yshx进而弧长元素为cds1sh2xdxchxdxcc所以所求弧长为sbchxdx2b2c[shxdx]0b2cshbchxdxbc0ccc2.参数方程情况设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出此中(t)、(t)在[]上具有连续导数因为dy(t)dx(t)dt所以弧长元素为dx(t)ds12(t)(t)dt2(t)2(t)dt2(t)所求弧长为s2(t)2(t)dt例14计算摆线xa(sin)ya(1cos)的一拱(02)的长度解弧长元素为dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asind2所求弧长为s

20

2asind2a[2cos]028a22极坐标情况设曲线弧由极坐标方程(

)

(

)给出

此中

r(

)在[

]上拥有连续导数

由直角坐标与极坐标的关系可得x

(

)cos

y

(

)sin

(

)于是得弧长元素为dsx2( )y2( )d2( )2( )d进而所求弧长为s2()2()d例15求阿基米德螺线a(a>0)相应于从0到2一段的弧长解弧长元素为dsa22a2da12d于是所求弧长为s2a12da[2142ln(2142)]02定积分在经济上的应用在经济剖析中，我们能够对经济函数进行边沿剖析和弹性剖析，这用到了导数或微分的知识。而在实质问题中常常还波及到已知边沿函数或弹性函数，来求经济函数（原函数）的问题，这就需要利用定积分或许不定积分来达成。下边经过实例来说明定积分在经济剖析方面的应用。5.3.1利用定积分求原经济函数问题在经济管理中,由边沿函数求总函数(即原函数),一般采纳不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。能够求总需求函数,总成本函数,总收入函数以及总利润函数。设经济应用函数ux的边沿函数为u(x),则有u(x)u(0)xu(x)dx0例16生产某产品的边沿成本函数为c(x)3x214x100,固定成本C(0)=10000,求出生产个产品的总成本函数。解总成本函数c(x)c(0)xx(3x214x100)dxc(x)dx=1000000=10000[x3_7x2100x]|0x=10000x37x2100x5.3.2利用定积分由变化率求总量问题假如求总函数在某个范围的改变量,则直接采纳定积分来解决。例17已知某产品总产量的变化率为Q(t)4012t(件/天),求从第5天到第10天产品的总产量。解所求的总产量为Q0102)|510(400600)(200150)650(件)Q(t)dt(2012t)dt(40t6t555.3.3利用定积分求经济函数的最大值和最小值例18设生产x个产品的边沿成本C=100+2x,其固定成本为c01000元,产品单价规定为500元。假定生产出的产品能完整销售,问生产量为多少时利润最大并求出最大利润。解总成本函数为c(x)x1000(1002t)dtc(0)=100xx20总利润函数为总利润函数为

Rx500x.LxRxCx400xx21000.其导数为L4002x,令L0,得x200.因为L2000，所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L2004002002002100039000(元)。5.3.4利用定积分计算资本现值和投资如有一笔利润流的收入率为f(t),假定连续利润流以连续复利率r计息,进而总现值Tf(t)ertdt。y=0例19现对某公司赐予一笔投资A,经测算,该公司在T年中能够按每年a元的平均收入率获取收入,若年利润为r,试求:(1)该投资的纯收入贴现值;(2)回收该笔投资的时间为多少解(1)求投资纯收入的贴现值:因收入率为a,年利润为r,故投资后的T年中获总收入的现值为Ta(1ert)Y=aertdt0r进而投资所获取的纯收入的贴现值为RyAa(1erT)Ara(1erT)A得(2)求回收投资的时间:回收投资,即为总收入的现值等于投资。由r1aT=lnraAr即回收投资的时间为T=1lnaraAr比如,若对某公司投资A=800(万元),年利率为5%,设在20年中的平均收入率为a=200(万元/年),则有投资回收期为T1200=20ln1.254.46(年)ln0.052008000.05由此可知,该投资在20年内可得纯利润为万元,投资回收期约为年.定积分在物理上的应用5.4.1变力沿直线所作的功例20电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处挪动到r=b(a<b)处求电场力对单位正电荷所作的功提示:由物理学知道在电量为+q的点电荷所产生的电场中距离点电荷r处的单位正电荷所遇到的电场力的大小为Fkq2(k是常数)rq解在r轴上当单位正电荷从r挪动到r+dr时电场力对它所作的功近似为kr2dr即功元素为dWkqdrr2于是所求的功为bkq1b11War2drkq[r]akq(ab)例21在底面积为S的圆柱形容器中盛有必定量的气体在等温条件下因为气体的膨胀把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处计算在挪动过程中气体压力所作的功解取坐标系如图5-20活塞的地点能够用坐标x来表示由物理学知道必定量的气体在等温条件下压强p与体积V的乘积是常数k即pVk或pkV在点x处因为VxS所以作在活塞上的力为pSkSkxSx当活塞从x挪动到xdx时变力所作的功近似为kdx即功元素为dWkdxxx于是所求的功为bkdxbklnbWk[lnx]aaax图5-20例22一圆柱形的贮水桶高为5m底圆半径为3m桶内盛满了水试问要把桶内的水所有吸出需作多少功解作x轴如图5-21取深度x为积分变量它的变化区间为[05]相应于[05]上任小区间[xxdx]的一薄层水的高度为dx水的比重为98kN/m3所以如x的单位为m这薄层水的重力为9832dx这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW882xdx此即功元素于是所求的功为W5xdx88.2[x2]5088.225(kj)088.222图5-215.4.2水压力从物理学知道在水深为h处的压强为ph这里是水的比重假如有一面积为A的平板水平川搁置在水深为h处那么平板一侧所受的水压力为PpA假如这个平板铅直搁置在水中那么因为水深不一样的点处压强p不相等所以平板所受水的压力就不可以用上述方法计算例23一个横放着的圆柱形水桶桶内盛有半桶水设桶的底半径为R水的比重为计算桶的一个端面上所受的压力解桶的一个端面是圆片与水接触的是下半圆取坐标系如图5-22在水深x处于圆片上取一窄条其宽为dx得压力元素为dP2xR2x2dx所求压力为RR132rR3Px2dxx2)2d(R2x2)[2(R2x2)2]0R2xR2(R20033图5-225.4.3引力从物理学知道质量分别为m1、m2相距为r的两质点间的引力的大小为Gm1m2r2此中G为引力系数引力的方向沿着两质点连线方向假如要计算一根细棒对一个质点的引力那么因为细棒上各点与该质点的距离是变化的且各点对该质点的引力的方向也是变化的就不可以用上述公式来计算例24设有一长度为l、线密度为的平均细直棒在此中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M试计算该棒对证点M的引力解取坐标系如图5-23使棒位于y轴上质点M位于x轴上棒的中点为原点O由对称性知引力在垂直方向上的重量为零所以只需求引力在水平方向的重量取y为积分变量它的变化区间为ll]ll]上y点取长为dy的一小段其质量为dy[2,2在[2,2与M相距ra2y2于是在水平方向上引力元素为dFxmdyaGamdyGa2y2y2)3/2a2y2(a2引力在水平方向的重量为Flamdy2Gml12Gxl(a2y2)3/2a4a2l22图5-23习题5-51、求由以下各曲线所围成的图形的面积1）2）3）

y1x2与x2y28（两部分都要计算）；2y1yx及x2；与直线xyex，yex与直线x1；（4）2acos；（5）xacos3t，yasin3t.2、求二曲线rsin与r3cos所围公共部分的面积3、求由曲线ysinx和它在x处的切线以及直线x所围成的图形的面积和它绕x轴2旋转而成的旋转体的体积.4、由yx3，x2，y0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两旋转体的体积.5、过点P(1,0)抛物线yx2的切线，该切线与上述抛物线及x围成一平面图形，求此图形绕x旋转所成旋转体的体积.6、试求由曲线f(x)lnx(0x1),x0,y0所围成的图形分别绕ox轴和oy轴旋转所得的旋转体的体积.7、设把一金属杆的长度由a拉长到ax时，所需的力等于kx，此中k为常数，试a求将该金属杆由长度a拉长到b所作的功.8、一矩形闸门垂直立于水中，宽为10m，高为6m，问闸门上界限在水面下多少米时它所受的压力等于上界限与水面相齐时所受压力的两倍.9、设一电子设施出厂价值为10万元，并以常数比率贬值，求其价值随时间t（单位为年）的变化率。若出厂5年终该设施价值贬到8万元，则在出厂20年终它的价值是多少第6节MATLAB软件应用积分的MATLAB命令利用Matlab求解定积分主要分为两种，符号积分和数值积分6.1.1.符号积分MATLAB中主要用int进行符号积分R=int(s,v)%对符号表达式s中指定的符号变量v计算不定积分.表达式R不过表达式函数s的一个原函数,后边没有带随意常数C.R=int(s)%对符号表达式s中确立的符号变量计算不定积分.R=int(s,a,b)%符号表达式s的定积分，a,b分别为积分的上、下限R=int(s,x,a,b)%符号表达式s对于变量x的定积分，a,b分别为积分的上、下限该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b能够是两个详细的数，也能够是一个符号表达式，还能够是无量(inf)。当函数f对于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。6.1.2.数值积分求解定积分的数值方法基本思想都是将积分区间分红n个子区间，使得定积分问题分解成乞降问题。Matlab主要用trapz,dblquad,quad,quadl等进行数值积分。鉴于变步长辛普生方法，利用quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)变步长，牛顿-柯斯特方法，利用quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)此中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=。trace控制能否显现积分过程，若取非0则显现积分过程，取0则不显现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。trapz(x,y)梯形积分法，x时表示积分区间的失散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数，z返回积分值。int是符号解，无任何偏差，独一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，长处是总是能有必定的速度，即总能在一准时间内给出一个必定精度的解。能够用helpint,helptrapz,helpquad等查阅相关这些命令的详尽信息MATLAB计算定积分实例例12x4dx.计算定积分2int计算积分2假如用符号积分法命令x4dx，2输入MATLAB代码为：clear;symsx;int(x^4,x,-2,2)结果为ans=64/5例2（广义积分）计算广义积分Iexp(sinx输入MATLAB代码为：symsx;y=int(exp(sin(x)-x^2/50),-inf,inf);vpa(y,10)结果为15.。例3求定积分1ex2dx'exp(-x*x)0MATLAB代码为：fun=inline('exp(-x.*x)','x');%用内联函数定义被积函数Isim=quad(fun,0,1)%辛普生法Isim=

x2)dx50fnameIL=quadl(fun,0,1)%牛顿－柯特斯法IL=例4用梯形积分法命令trapz计算积分2x4dx2MATLAB代码为：clear;x=-2::2;y=x.^4;%积分步长为trapz(x,y)结果为ans=212.8。假如取积分步长为,MATLAB代码为：实质上，积分x4dx的精准值为6425clear;x=-2::2;y=x.^4;%积分步长为trapz(x,y)结果为ans=可用不一样的步进步行计算，考虑步长和精度之间的关系。一般说来,trapz是最基本的数值积分方法,精度低,合用于数值函数和圆滑性不好的函数.总习题5A）一、选择题1.设f(x)sinxsint2dt,g(x)x3x4，则当x0时，f(x)是g(x)的（）.0(A)等价无量小(B)同阶但非等价的无量小(C)高阶无量小(D)低阶无量小2.设M2sinx2cos4xdx，N2(sin3xcos4x)dxP2(x2sin3xcos4x)dx，则有21x22（）.(A)N<P<M(B)M<P<N(C)N<M<P(D)P<M<N3.以下式子中，正确的选项是（）.(A)0cosx(B)xcosxcostdtcostdtx0x02costdtcosx(C)costdt(D)004.以下广义积分收敛的是（）.(A)exdx（B）1dx(C)cosxdx(D)12dx01x01x3n5.设ann1xn11xndx,则极限limnan等于().20n3333(A)(1e)21.(B)(1e1)21.(C)(1e1)21.(D)(1e)21.6.设f(x)sgnx，F(x)xf(t)dt，则（）.0（A）F(x)在x0点不连续.（B）F(x)在(,)内连续，在x0点不行导.（C）F(x)在(,)内可导，且知足F(x)f(x).（D）F(x)在(,)内可导，但不必定知足F(x)f(x).1(cosx)21dx7.利用定积分的相关性质能够得出定积分(arctanx)11（）．11(cosx)21dx.（B）0.（A）2(arctanx)1101（C）20cos21xdx.（D）2.8.已知函数yxdt，则y(1)（）．0(12t)（A）1.（B）1.（C）1.（D）1.2442x1f(x)1，且f(0)1，则f(x)9.设f(t)dt（）．022x（B）1ex．（C）e2x．（D）1e2x．（A）e2．2210.以下广义积散发散的是（）．（A）1111x21dx.（）1dx.（）edx.（）2dx.B12C0D1sinxx2xlnx11.设函数f(x)连续，则在以下变上限制积分定义的函数中，必为偶函数的是（）．（A）xt[f(t)f(t)]dt.xf(t)]dt.0（B）t[f(t)0（C）xf(t2)dt.（D）xf2(t)dt.0012.设I14tanxdx,I24xdx,则（）．x00tanx（A）I1I21.（B）1I1I2.（C）I2I11.（D）1I2I1.13.limlnn(11)2(12)2L(1n)2等于（）．nnnn（A）222222（B）2lnxdx.（C）2ln(1x)dx.（D）lnx)dx1lnxdx.(1111xx114.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)0，则方程f(t)dt在区间bdt0af(t)(a,b)内的根有（）．（A）0个.（B）1个.（C）2个.（D）无量多个.x1(x21),0x1;215.设g(x)f(u)du，此中f(x)，则g(x)在区间(0,2)内（）．10(x1),1x2,3（A）无界.（B）递减.（C）不连续.（D）连续.二、填空题1.1x)exdx.(x12.353x2.(sinx)dx33.设y是方程ytx0所确立的x的函数，则dy.0edt0costdtdx4.设f(x)是连续函数，F(x)exf(t)dt，则F(0)x25.已知f(0)1,f(2)3,f(2)5,2xf(x)dx则0axa6.设lim1xtetdt，则常数a.xxu2t)dt]du[arctan(17.lim00.x(1cosx)x08.12xx2dx.011x211f(x)dx9.设f(x)120f(x)dx，则0xxex2,1x1,210.设f(x)22，则f(x1)dx11,x1,22三、计算题1.2exdx；2.2(x1)(x22)2ex13xdx；1e15.12ln(x1)dx；4.001xdx；7.1(xx)ex8.1ln(1x)2dx;1dx;0(2x)10.dx.12x2x(1)

....43.|2x|dx；0π1cos2xdx;09.ln22x01edx;四、综合题120x211.证明：10x4xdx.401202.设f(x)连续，(x)1f(x)A(A为常数).求(x)，并议论(x)在x0处f(xt)dt,且lim0x0x的连续性.3.设D1是由抛物线y2x2和直线xa,x2及y0所围成的平面地区；D2是由抛物线y2x2和直线xa及y0所围成的平面地区，此中0a2.（1）试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D1绕y轴旋转而成的旋转体体积V2；（2）问当a为什么值时，V1V2获得最大值并求此最大值.4.设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且知足1f(1)kkxe1xf(x)dx(k1).0证明存在一点(0,1)，使得f( )(11)f().15.设f(x)在区间[0,1]上可微，且知足条件f(1)22xf(x)dx.试证：存在(0,1)，使0f()f()0.6.设函数f(x)在(0,)内连续，f(1)5(0,)，知足条件，且对所有x,t2xtf(u)dutxtf(u)du,求f(x).1f(u)dux11xf(xntn)dt.证明：limF(x)17.设函数f(x)有导数，且f(0)0,F(x)tn1f(0).0x0x2n2n设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且知足xxbbg(t)dtf(t)dtg(t)dt,x[a,b),f(t)dta.aaabb试证：xf(x)dxxg(x)dx.aa9.设过坐标原点作曲线曲线yx1的切线，该切线与曲线yx1及x轴围成平面图形D，（1）求该平面图形D的面积,（2）求该平面图形D分别绕x轴和y轴旋转一周所得旋转体的体积Vx和Vy.(B)一、选择题1.（2012、数学二）设Ikkex2sinxdx,(k1,2,3),则有0（A）I1I2I3（B）I3I2I1（C）I2I3I1（D）I2I1I32.（2011、数学二）设I4lnsinxdx，J4lncotxdx，K4lncosxdx，则I，J，000K的大小关系为（）（A）IJK（B）IKJ（C）JIK（D）KJI3.（2004、数学二）limlnn(11)2(122n)2）)L(1等于（nnnn2ln2xdx.（B）22lnxdx.（A）11（C）2222(1x)dxln(1x)dx.（D）ln114.（2009、数学三）使不等式xsintdtlnx建立的x的范围是1t（A）(0,1).（B）(1,).（C）(,).（D）(,).225（.2008、数学二）曲线方程为yf(x)函数在区间[0,a]上有a连续导数，则定积分aft(x)dx（）0A）曲边梯形ABOD面积.B）梯形ABOD面积.（C）曲边三角形ACD面积.（D）三角形ACD面积.6.（2006、数学二）设f(x)是奇函数，除x0外到处连续，x0是其第一类中断点，则xf(t)dt是0（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数（C）在x0中断的奇函数（D）在x0中断的偶函数.xx27.（2004、数学二）把x0时的无量小量0cost2dt,0tantdt,xsint3dt摆列起来,使排在后边的是前一个的高阶无量小,则正确的摆列序次是0（A）,,.（B）,,.（C）,,.（D）,,.8.（2010、数学二）.设m,n为正整数,则失常积分1mln2(1x)dx的收敛性0nx（A）仅与m（B）仅与n取值相关取值相关（C）与m,n取值都相关（D）与m,n取值都没关二、填空题yxx)的弧长s1.（2011、数学二）曲线tantdt(0。042.（2011、数学二）设函数f(x)ekx,x0,0，则xf(x)dx。0,x0,3.（2010、数学二）当0时，对数螺线re的弧长为___________4.（2009、数学二）已知+ekxdx1,则k5.（2009、数学二）lim1xsinnxdxen01x2dt,x06.（2006、数学二）设函数f(x)x3sint0处连续，则a.0xa,x07.（2006、数学二）广义积分xdx.(1x2)20dx8.（2004、数学二）_____..1xx213229.（2009、数学三）设f(x1)xx4，则f(x)dx______.2x1x1xdx.10.（