高中数学选修45知识点

v1.0可编写可改正苏教版高中数学选修4-5知识点1．不等式的基天性质．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数之间拥有一一对应关系．(2)设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是、.当点A在点B的左侧时，<；当点A在点BABab的右侧时，a>b．两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)a>b?a－b>0a＝b?a－b＝0a<b?a－b<0两个实数比较大小的步骤①作差；②变形；③判断差的符号；④结论．2．不等关系与不等式不等号有≠，>，<，≥，≤共5个．相等关系和不等关系随意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特别的、相对的，不等是广泛的、绝对的，所以绝大部分的量都是以不等关系存在的．不等式的定义：用不等号连结起来的式子叫做不等式．不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系．不等式的基天性质对称性：a>b?b<a；1v1.0可编写可改正传达性：a>b，b>c?a>c；可加性：a>b，c∈R?a＋c>b＋c；加法法例：a>b，c>d?a＋c>b＋d；可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；乘法法例：a>b>0，c>d>0?ac>bd；n乘方法例：a>b>0，n∈N且n≥2?a>b；开方法例：a>b>0，n∈N且n≥2?na>nb.19）倒数法例，即a>b>0?a<b.2．基本不等式1．重要不等式定理1：假如a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号建立．2．基本不等式(1)定理2：假如a，b>0，那么ab2ab(a＋b≥ab)，当且仅当a＝b时，等号建立．2(2)定理2的应用：对两个正实数x，y，S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P获得最大值，最大值为S2①假如它们的和4.②假如它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S获得最小值，最小值为2P.a＋b3．基本不等式ab≤2的几何解说2v1.0可编写可改正如图，AB是⊙O的直径，C是AB上随意一点，DE是过C点垂直AB的弦．若AC＝a，BC＝b，则AB＝a＋b，⊙O的半径a＋b∽Rt△，2·＝，＝，≤?≤a＋bC点与O点重＝，Rt△＝，当且仅当22合时，CD＝R＝ABab＝a＋b2，即2.4．几个常用的重要不等式假如a∈R，那么a2≥0，当且仅当a＝0时取等号；a＋b）2(2)假如a，b>0，那么ab≤4，当且仅当a＝b时等号建立．1假如a>0，那么a＋a≥2，当且仅当a＝1时等号建立．b假如ab>0，那么b＋a≥2，当且仅当a＝b时等号建立．3．三个正数的算术-几何均匀不等式1．假如a、b、c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号建立．2．(定理3)假如a、b、c∈R＋，那么abc33abc(a＋b＋c3a＝b＝c时，等号成3≥abc)，当且仅当立．即三个正数的算术均匀不小于它们的几何均匀．3v1.0可编写可改正a1＋a2＋＋ann≥a1a2an，当且仅当a1＝a2＝＝an时，等号建立．即对3．假如a1，a2，，an∈R＋，那么n于n个正数a1，a2，，an，它们的算术均匀不小于它们的几何均匀．绝对值不等式1．绝对值三角不等式1．绝对值及其几何意义a（a≥0）(1)绝对值定义：|a|＝a（a<0）(2)绝对值几何意义：实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离|OA|.(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上随意两点A，B分别对应实数x1，x2，则|AB|＝|x1－x2|．2．绝对值三角不等式定理1：假如a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号建立．推论1：假如a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.推论2：假如a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.定理2：假如a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号建立．2．绝对值不等式的解法1．|x|<a与|x|>a型不等式的解法设a>0，则(1)|x|<a?－a<x<a；4v1.0可编写可改正(2)|x|≤a?－a≤x≤a；(3)|x|>a?x<－a或x>a；(4)|x|≥a?x≤－a或x≥a．2．|ax＋b|≤c(c>0)与|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c?ax＋b≤－c或ax＋b≥c．3．|x－a|＋|x－b|≤c与|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，表现数形联合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以正确的几何解说．以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，表现分类议论的思想．确立各个绝对值号内多项式的正、负号，从而去掉绝对值号．(3)经过结构函数，利用函数的图象求解，表现了函数与方程的思想．正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要观察函数的增减性)是要点．注：绝对值的几何意义(1)|x|的几何意义是数轴上点x与原点O的距离；(2)|x－a|＋|x－b|的几何意义是数轴上点x到点a和点b的距离之和；(3)|x－a|－|x－b|的几何意义是数轴上点x到点a和点b的距离之差．2．绝对值不等式的几何意义(1)|x|≤a(a>0)的几何意义是以点a和－a为端点的线段，|x|≤a的解集是[－a，a]．(2)|x|>a(a>0)的几何意义是数轴除掉以点a和－a为端点的线段后剩下的两条射线，|x|>a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)．5v1.0可编写可改正3．解含绝对值不等式的要点是去掉绝对值变形为不含绝对值的不等式(组)求解．例题：比如：分类议论法：即经过合理分类去绝对值后再求解。例1：解不等式x1x25。剖析:由x10，x20，得x1和x2。2和1把实数会合分红三个区间，即x2，2x1，x1，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间议论。x2解得：3x2解:当x＜-2时，得，(x1)(x2)52x1,2x1当-2≤x≤1时，得1)，解得：(x(x2)5当x1x1,解得：1x2时，得，(x1)(x2)5.综上，原不等式的解集为x3x2。例2：解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1.解：①当x>2时，原不等式可化为>2，（2x－4）－（3x＋9）<1，解得x>2.②当－3≤x≤2时，原不等式可化为－3≤x≤2，－（2x－4）－（3x＋9）<1，6解得－<x≤2.56v1.0可编写可改正③当x<－3时，原不等式可化为x<－3，－（2x－4）＋（3x＋9）<1，解得x<－12.6综上所述，原不等式的解集为{x|x<－12或x>－5}．第二讲证明不等式的基本方法一比较法比较法主要有1.作差比较法2.作商比较法1．作差比较法(简称比差法)作差比较法的证明依照是：a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a<b?a－b<0.基本步骤是：①作差；②变形；③判号；④结论．2．作商比较法(简称比商法)a(1)作商比较法的证明依照是：当b>0时，b>1?

aa>b；b＝1?

aa＝b；b<1?a<b.(2)基本步骤是：①作商；②变形；③比较与1的大小；④结论．注意：对作差比较法的理解在证明不等式的各样方法中，作差比较法是最基本、最重要的方法．作差比较法是经过确立不等式两边的差的符号来证明不等式的，因此其应用特别宽泛．不等式差的符号是正是负，一般一定利用不等式的性质经过变形才能判断，此中变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差的值是多少．变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等．作差比较法，主要合用于不等式两边是整式或分式型的有理不等式的证明．7v1.0可编写可改正(4)在判断不等式两边的式子同号的条件下，假如直接作差不易变形，能够借助不等式性质作平方差或立方差，进行证明．2．对作商比较法的理解aaa使用作商法证明不等式a>b时，必定要注意b>0这个前提条件．若b<0，b<1?a>b，b＝1?a＝b，b>1?a<b.当欲证明的不等式的两边是乘积形式、指数幂形式，不一样底的对数式形式时，常用作商法证明．综合法与剖析法1．综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题建立，这类证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．2．剖析法证明命题时，从要证的结论出发，逐渐追求使它建立的充分条件，直到所需条件为已知条件或一个明显建立的事实(定义、公义或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题建立，这类证明方法叫做剖析法．这是一种执果索因的思虑和证明方法．注意:1．用综合法证明不等式的逻辑关系A?B1?B2??Bn?B由已知逐渐推演不等式建立的必需条件，从而得结论．2．用剖析法证明不等式的逻辑关系A?B1?B2??Bn?B由结论步步追求不等式建立的充分条件，从而到已知．3．综合法和剖析法的比较8v1.0可编写可改正相同点：都是直接证明．不一样点：综合法：由因导果，形式简短，易于表达；剖析法：执果索因，利于思虑，易于探究．4．证明不等式的往常做法常用剖析法找证题切入点，用综合法写证题过程．三反证法与放缩法1．反证法证明不等式时，第一假定要证的命题不建立，以此为出发点，联合已知条件，应用公义、定义、定理、性质等，进行正确的推理，获得和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显建立的事实等)矛盾的结论，以说明假定不正确，从而证明原命题建立．我们把它称之为反证法．2．放缩法证明不等式时，经过把不等式中的某些部分的值放大或减小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这类方法称为放缩法．3．换元法将所证的不等式的字母作适合的代换，以达到简化证题过程的目的，这类方法称为换元法．注意：1．对于反证法反证法的原理能否认之否认等于必定．即第一次否认—在假定中，否认了却论↓第二次否认—经过推理论证，又否认了假定9v1.0可编写可改正反证法的使用范围一般以下几种状况适合使用反证法：①结论自己是以否认形式出现的一类命题；②相关结论是以“至多”或“起码”的形式出现的一类命题；③对于独一性、存在性的命题；④结论的反面是比原结论更详细、更简单研究的命题．使用反证法的主要步骤正确地作出反设是反证法证题的前提，下边是常用词语的反设原结论反设原结论反设能否是起码有一个一个也没有起码有一个不都是至多有一个起码有两个是10v1.0可编写可改正大于小于等于起码有n个至多有(n－1)个小于大于等于至多有n个起码有(n＋1)个对所有x成起码有一个xp或q非p且非q立不建立对任何x不起码有一个xp且q非p或非q建立建立运用反证法的五点说明①反设时必定不可以把“假定”写成“设”．②当结论的反面有多种可能时，一定所有列出，不然证明是不完好的．③一定从结论的否认出发进行推理，就是必定把结论的否认作为推理的条件，只需推理中没实用到“假定”就不是反证法．④最后导出的矛盾是多样的，可能与已知矛盾、与假定矛盾、与定义、定理、公式矛盾、与已知的事实矛盾等，但矛盾一定是明显的．⑤反证法是一种间接证明的方法．2．对于放缩法放缩法证明不等式的理论依照有：①不等式的传达性；②等量加不等量为不等量．此中减去一个正数值变小(缩)，加上一个正数值变大(放)；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较；④基本不等式与绝对值三角不等式；⑤三角函数的有界性等．运用放缩法证题的要点是：放大或减小要适合，千万不可以放(缩)过头，不然问题没法获证．使用放缩法的常用变形11v1.0可编写可改正放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩一定有目标，并且要恰到利处，目标常常从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质等进行放缩．比方：a＋1231211(∈N且≥2)；11*12∈N2＋>a＋2；2<nn2>(n∈N)；<(n4nn（n－1）nn（n＋1）nn＋n－112bb＋maa＋m且n≥2)，>；当a>b>0，m>0时，<，>等．nn＋n＋1aa＋mbb＋m第三讲柯西不等式与排序不等式1．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号建立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号建立．3．二维形式的三角不等式设x，y，x，y∈R，那么22＋22（x22112211221212注意：1．二维柯西不等式的三种形式及其关系定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式．依据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示．2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号．向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号．12v1.0可编写可改正三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号．3．掌握二维柯西不等式的常用变式a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|.a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|.a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd.(4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2.4．基本不等式与二维柯西不等式的对照基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式．(2)基本不等式拥有放缩功能，利用它能够比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，相同二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特别函数的最值特别有效．二一般形式的柯西不等式1．三维形式的柯西不等式设a1，2，3，1，2，3是实数，则(2222222b＝0(i＝1，2，1＋2＋3)(1＋2＋3)≥(11＋22＋33)，当且仅当i3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号建立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，，a，b1，b2，b3，，b2222222，nnnnnn当且仅当b＝0(i＝1，2，，n)或存在一个数k，使得a＝kb(i＝1，2，，n)时，等号建立．iii注意：1．对柯西不等式一般形式的说明：一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的概括与推行，其特色可类比二维形13v1.0可编写可改正式的柯西不等式来总结，左侧是平方和的积，右侧是积的和的平方．运用时的要点是结构出切合柯西不等式的结构形式．2．对于柯西不等式的证明：对于函数f(x)＝(a1x－b1)2＋(a2x－b2)2＋＋(anx－bn)2，明显f(x)≥0时x∈R恒建立，2222a1b1＋a2b2＋＋ab222x∈R恒建立，nnnn2222222∴Δ＝4(a1b1＋a2b2＋＋anbn)－4(a1＋a2＋＋an)(b1＋b2＋＋bn)≤0，2222222.nnnn3．一般形式柯西不等式建立的条件：a1由柯西不等式的证明过程可知＝0?f(x)min＝0?a1x－b1＝a2x－b2＝＝anx－bn＝0?b1＝b2＝＝bn＝0，或b1＝a2an.b＝＝b2n4．柯西不等式的几种常有变形：(1)222222＝1，则－1≤a1b1＋a2b2＋＋anbn≤1；设a1＋a2＋＋an＝b1＋b2＋＋bn1＋2＋＋222nn(2)设ai∈R(i＝1，2，3，，n)，则aaaaan≤na；2222(3)ii，则a1＋a2an（a1＋a2＋＋an）；1b1＋2＋＋bn2nbbbb(4)设aia1a2an（a1＋a2＋＋an）2bi>0(i＝1，2，3，，n)，则＋＋＋≥a1b1＋a2b2＋＋.b1b2bnanbn三排序不等式．乱序和、反序和、次序和设a1≤a2≤≤an，b1≤b2≤≤bn为两组实数，c1，c2，，cn为b1，b2，，bn的任一摆列，称a1c1＋a2c2＋a3c3＋＋ancn为乱序和，a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋＋anb1为反序和，a1b1＋a2b2＋a3b3＋＋anbn为次序和．2．排序不等式(又称排序原理)14v1.0可编写可改正设a1≤2≤≤n，1≤2≤≤n为两组实数，c1，2，，cn是b1，2，，bn的任一摆列，那么1n＋2naabbbcbabab1＋＋anb1≤a1c1＋a2c2＋＋ancn≤a1b1＋a2b2＋＋anbn，当且仅当a1＝a2＝＝an或b1＝b2＝＝bn时，反序和等于次序和．3．排序原理的简记反序和≤乱序和≤次序和．第四讲用数学概括法证明不等式一数学概括法1．数学概括法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都建即刻，能够用以下两个步骤：证明当n＝n0时命题建立．(2)假定当n＝k(k∈N＋且k≥n0)时命题建立，证明当n＝k＋1时命题也建立．在达成了这两个步骤后，就能够判定数题对于不小于n0的所有正整数都建立，这类证明方法称为数学概括法．2．数学概括法的合用范围合用于证明一个与无穷多个正整数相关的命题．3．数学概括法的步骤(1)(概括奠定)考证当n＝n0(n0为命题建立的开端自然数)时命题建立；(2)(概括递推)假定当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题建立，推导n＝k＋1时命题也建立．(3)结论：由(1)(2)可知，命题对全部n≥n0的自然数都建立．注意：用数学概括法证明，要点在于两个步骤要做到“递推基础不行少，概括假定要用到，结论写明莫忘记”，所以一定注意以下三点：15v1.0可编写可改正(1)考证是基础．数学概括法的原理表示：第一个步骤是要找一个数n0，这个0就是我们要证明的命题对象的n最小自然数，这个自然数其实不必定就是“1”，所以“找准起点，奠定要稳”是正确运用数学概括法要注意的第一个问题．(2)递推是要点．数学概括法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，一定把概括假定“＝”时命nk题建立作为条件来导出“n＝k＋1”时命题建立，在推导过程中，要把概括假定用前一次或几次，没实用上概括假设的证明不是数学概括法．(3)正确追求递推关系．数学概括法的第二步递推是至关重要的，那么如何找寻递推关系呢①在第一步考证时，不如多计算几项，并正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的；②探究数列的通项公式时，要擅长察看式子或命题的变化规律，察看n处在哪个地点；③在书写f(k＋1)时，必定要把包括f(k)的式子写出来，特别是f(k)中的最后一项．除此以外，多了哪些项，少了哪些项都要剖析清楚．二用数学概括法证明不等式举例1．数学概括法证明不等式用数学概括法证明一个与正整数相关的不等式的步骤．①证明：当n取第一个值n0时结论建立；②假定当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时结论建立，证明当n＝k＋1时结论也建立．由①②可知命题对从n0开始的所有正整数n都建立．用数学概括法证明不等式的要点．用数学概括法证明不等式的要点在第二步(同时也是难点所在)，即假定f(k)>g(k)建立，证明f