拉格朗日插值法程序设计

拉格朗日插值法程序设计一、实验目的1）掌握常用的插值方法，求函数的近似表达式，解决实际问题。2）明确插值多项式和分段插值多项式的优缺点。3）学会插值方法的程序设计。二、实验设备和实验环境操作系统：WindowsXPProfessional软件：MATLAB7.0或VisualC++6.0三、实验内容：已知实验数据如下表所示，试用拉格朗日插值多项式求x=0.5625,0.5635,0.5645的值。xi0.561600.562800.564010.56521yi0.827410.826590.825770.82495四、算法描述:已知x,x,x,…x及y=f(x)(i=0，1，,n),L(x)为不超过次多项式且满足TOC\o"1-5"\h\z012niinL(x)=y(i=0,L…,n)易知L(x)=l(x)y+...+l(x)y，其中l⑴均为n次多项式，niin0、/“0n、/“ni、'x—j其中"待定系数，由再由X.（j丰i）为n次多项式l.（x）的n个根知l（x）=AFIx—j其中"待定系数，由Jiikj=0j&l(x)=AFI(x-x)=1，得到j=0j&，1・…A=,i=0,1,…,，1・…A=,i=0,1,…,njj=oj丰iIF(x-x)jj=0

ji故：3=IF(x-x)ij对应每一节点XJ0<i<n），都能求出满足插值条件的n次插值多项式，从而可以求出n+1个n次插值多项式l0(x),«(x),...,ln(x)o进而，根据插值节点x求出插值结果y。五、实验结果与分析(一)实验源程序function[f,f0]=Languages(x,y,x0)%求已知数据点的拉格朗日插值多项式%x:已知数据点x坐标向量%y:已知数据点y坐标向量%x0:插值点x的坐标%f:求得的拉格朗日插值多项式%f0:x0处的插值symst;if(length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp('x和y的维数不一样！’)；return;end%检错f=0.0;fori=1:np=y(i);for(j=1:i-1)p=p*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n)p=p*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;f=f+p;endf0=subs(f,'t',x0)（二）实验数据x0.56260.56360.5646MATLAB程序(1)如下：»s=[0.56160,0.562SO,C.554X)1,0.56521];y=[0.82741,0.82659,0.82577,0.82495]:kO=[0.5625,0.5535,0.5S45]；[f3f0]=Langu.age£(x,xO)MATLAB程序(2)如下：>>t=-5;0.1;5：ft=5./(1+t.*t):11=-5:1:5;£t1=5./(1-H1.*-tI)；yl=LanguageE(t1〉ftL,t):plot(t.ftj'b;一弋・风'井」yL'/)(二)实验结果分析程序结果：运行结果(1)：fO=0.826S0.62610.S254»f=(250000000*((82495#t)/361-5791149/45125)*(1-1407/2500)*(t-56401/100000))/723+(900719925474099200000#((27553s：t)/40-9671103/25000^*(t-56401/lfl0000)#(t-56521/100000)J/262S5S9374675117-(22517998136852450000*(02577^)/241-28934527/150625)^(t-1407/2500)+(t-56521/100000)5/32636133294711-(10000000000*((82741*1)/120-38805529/100000)^(t-56401/10000DO#Ct-56521/100000))/87001

运行结果（2）：分析：Lagrange插值公式是一个累加累乘的二重算法，结构紧凑，其各个节点地位对等，形式也很对称，从数学的角度讲，这个公式很漂亮。不过，Lagrange插值公式也有很大的缺点，在实际应用中，如果临时需要增添一个节点，则其所有系数都要重算，这势必照成计算量