2412垂直于弦的直径课件1

24.1.2垂直于弦的直径24.1.2垂直于弦的直径1问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

赵州桥主桥拱的半径是多少？问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对2

实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴。实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，3如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？?思考·OABCDE二、（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．?4已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴．∴当把圆沿着直径CD折叠时，

CD两侧的两个半圆重合，

A点和B点重合，

AE和BE重合，

AC、AD分别和BC、BD重合．∴

AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒·已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，⌒⌒⌒⌒证明：连结OA5·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．归纳条件结论换言之：垂径定理：若一条直线满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，则它（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧．也可以说：直径垂直于弦·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的6几何语言：∵CD是直径,AB为⊙O的弦,且ＣＤ⊥ＡＢ·OBCDAE∴ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒几何语言：·OBCDAE∴ＡＥ＝ＢＥ⌒⌒⌒⌒7下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是火眼金睛不是OEDCAB下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是火眼金睛不是OEDC8借你慧眼垂径定理的几个基本图形。CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD借你慧眼垂径定理的几个基本图形。CD过圆心CD⊥AB于EAE9在直径为10cm的圆中，弦AB为8cm,弦CD为6cm,且AB∥CD,求AB与CD之间的距离。在直径为10cm的圆中，弦AB为8cm,弦CD为6cm,且A10如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）?思考·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒三、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE?思考·O11①直径过圆心③平分弦②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1DOABEC已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒①直径过圆心②垂直于弦（1）平分弦（不是12一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．OABMNCD注意为什么强调这里的弦不是直径？一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此13①直径过圆心④平分弦所对优弧③平分弦②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧垂径定理的推论1

（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC

求证：CD平分AB，CD⊥AB，AD＝BD⌒⌒⌒⌒DOABEC①直径过圆心③平分弦垂径定理的推论114①直径过圆心⑤平分弦所对的劣弧③平分弦④平分弦所对优弧②垂直于弦垂径定理的推论1

（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD

求证：CD平分AB，CD⊥AB，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC①直径过圆心③平分弦垂径定理的推论1（15②垂直于弦③平分弦①直径过圆心④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧

（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦①直径过圆心（3）弦的垂直平分16②垂直于弦④平分弦所对优弧①直径过圆心③平分弦⑤平分弦所对的劣弧推论1的其他命题......②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧①直径过圆心③平分弦④平分弦所对优弧

（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．②垂直于弦①直径过圆心推论1的其他命题......②17③平分弦④平分弦所对优弧①直径过圆心②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧

（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧

．③平分弦⑤平分弦所对的劣弧①直径过圆心②垂直于弦④平分弦所对优弧③平分弦①直径过圆心（5）平分弦并且平分18④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧①直径过圆心②垂直于弦③平分弦（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦④平分弦所对优弧①直径过圆心（6）平分弦所对的两条弧19垂径定理的其他推论①经过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧知二推三垂径定理的其他推论①经过圆心②垂直于弦③平分弦20夯实基础我思考，我快乐例如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？若下面的弓形高为h，则r、d、h之间有怎样的关系?r=d+h即右图中的OE叫弦心距.Rammingfoundation

解：连结OB，作OE⊥AB于点E，则OE＝3厘米，AE＝BE.∵AB＝8厘米∴BE＝4厘米在RtBOE中，据勾股定理有OB＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米。注意：圆心到弦的距离叫弦心距夯实基础我思考，我快乐例如图，已知在⊙O中，弦AB的长211.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.提高练习1.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD22

2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE

即AC＝BD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB23总结:

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。总结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦24船能过拱桥吗2.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？相信自己能独立完成解答.船能过拱桥吗2.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为725船能过拱桥吗解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此货船能顺利通过这座拱桥.船能过拱桥吗解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心26

24.1.2垂直于弦的直径24.1.2垂直于弦的直径27问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

赵州桥主桥拱的半径是多少？问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对28

实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴。实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，29如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？?思考·OABCDE二、（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．?30已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴．∴当把圆沿着直径CD折叠时，

CD两侧的两个半圆重合，

A点和B点重合，

AE和BE重合，

AC、AD分别和BC、BD重合．∴

AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒·已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，⌒⌒⌒⌒证明：连结OA31·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．归纳条件结论换言之：垂径定理：若一条直线满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，则它（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧．也可以说：直径垂直于弦·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的32几何语言：∵CD是直径,AB为⊙O的弦,且ＣＤ⊥ＡＢ·OBCDAE∴ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒几何语言：·OBCDAE∴ＡＥ＝ＢＥ⌒⌒⌒⌒33下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是火眼金睛不是OEDCAB下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是火眼金睛不是OEDC34借你慧眼垂径定理的几个基本图形。CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD借你慧眼垂径定理的几个基本图形。CD过圆心CD⊥AB于EAE35在直径为10cm的圆中，弦AB为8cm,弦CD为6cm,且AB∥CD,求AB与CD之间的距离。在直径为10cm的圆中，弦AB为8cm,弦CD为6cm,且A36如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）?思考·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒三、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE?思考·O37①直径过圆心③平分弦②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1DOABEC已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒①直径过圆心②垂直于弦（1）平分弦（不是38一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．OABMNCD注意为什么强调这里的弦不是直径？一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此39①直径过圆心④平分弦所对优弧③平分弦②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧垂径定理的推论1

（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC

求证：CD平分AB，CD⊥AB，AD＝BD⌒⌒⌒⌒DOABEC①直径过圆心③平分弦垂径定理的推论140①直径过圆心⑤平分弦所对的劣弧③平分弦④平分弦所对优弧②垂直于弦垂径定理的推论1

（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD

求证：CD平分AB，CD⊥AB，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC①直径过圆心③平分弦垂径定理的推论1（41②垂直于弦③平分弦①直径过圆心④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧

（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦①直径过圆心（3）弦的垂直平分42②垂直于弦④平分弦所对优弧①直径过圆心③平分弦⑤平分弦所对的劣弧推论1的其他命题......②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧①直径过圆心③平分弦④平分弦所对优弧

（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．②垂直于弦①直径过圆心推论1的其他命题......②43③平分弦④平分弦所对优弧①直径过圆心②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧

（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧

．③平分弦⑤平分弦所对的劣弧①直径过圆心②垂直于弦④平分弦所对优弧③平分弦①直径过圆心（5）平分弦并且平分44④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧①直径过圆心②垂直于弦③平分弦（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦④平分弦所对优弧①直径过圆心（6）平分弦所对的两条弧45垂径定理的其他推论①经过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧知二推三垂径定理的其他推论①经过圆心②垂直于弦③平分弦46夯实基础我思考，我快乐例如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？若下面的弓形高为h，则r、d、h之间有怎样的关系?r=d+h即右图中的OE叫弦心距.Rammingfoundation

解：连结OB，作OE⊥AB于点E，则OE＝3厘米，AE＝BE.∵AB＝8厘米∴BE＝4厘米在RtBOE中，据勾股定理有OB＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米。注意：圆心到弦的距离叫弦心距夯实基础我思考，我快乐例如图，已知在⊙O中，弦AB的长471.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于