2021届全国新高考数学备考复习-数列的综合应用课件

2021届全国新高考数学备考复习数列的综合应用2021届全国新高考数学备考复习真题自测考向速览必备知识整合提升考点精析考法突破第4节数列的综合应用真题自测考向速览必备知识整合提升考点精析考法突破第4节数列的综合应用真题自测考向速览考点1等差数列、等比数列的综合应用【答案】A1．[课标全国Ⅲ2017·9]等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(

)A．－24B．－3C．3D．8【解析】方法一：令首项为a1，公差为d(d≠0)．由题意得a32＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，即a12＋4a1d＋4d2＝a12＋6a1d＋5d2，∴d＝－2a1＝－2×1＝－2.∴S6＝6a1＋

d＝6×1＋15×(－2)＝－24.方法二：令公差为d(d≠0)，由已知得，a32＝a2·a6，即(a6－3d)2＝(a6－4d)·a6，得到2a6＝9d，∴2(a1＋5d)＝9d,∴d=－2a1=－2.∴a6=d＝－9,S6==－24.第4节数列的综合应用真题自测考向速览考点1等差数列、第4节数列的综合应用2．[山东省2020届一模]在①b1＋b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的k存在，求k的值，若k不存在，说明理由．设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，______，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在k，使得Sk＞Sk＋1且Sk＋1＜Sk＋2？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．第4节数列的综合应用2．[山东省2020届一模]在①b1＋第4节数列的综合应用第4节数列的综合应用考点2

数列与其他知识的综合应用3．[课标全国Ⅰ2017·12]几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(

)A．440B．330

C．220D．110第4节数列的综合应用考点2数列与其他知识的综合应用3．[课标全国Ⅰ2017·1第4节数列的综合应用【答案】A第4节数列的综合应用【答案】A4．[浙江2019·20]设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<，n∈N*.第4节数列的综合应用(1)【解】设数列{an}的公差为d，由题意得a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，解得a1＝0，d＝2.从而an＝2n－2，n∈N*.所以Sn＝n2－n，n∈N*.由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列得(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)．解得bn＝(Sn＋12－SnSn＋2)．所以bn＝n2＋n，n∈N*.4．[浙江2019·20]设等差数列{an}的前n项和为Sn第4节数列的综合应用(2)【证明】cn＝

n∈N*.我们用数学归纳法证明．①当n＝1时，c1＝0<2，不等式成立；②假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即c1＋c2＋…＋ck<.那么，当n＝k＋1时，c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1<即当n＝k＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c1＋c2＋…＋cn<对任意n∈N*成立．第4节数列的综合应用(2)【证明】cn＝考点3

数列的实际应用【答案】C【解析】由题知日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位：万件)大约满足Sn＝

(21n－n2－5)(n＝1，2，…，12)，则第1个月的需求量为a1＝S1＝

，第n(n≥2)个月的需求量为an＝Sn－Sn－1＝>5⇔3n2－45n＋27×6<0，解得6<n<9.故选C.第4节数列的综合应用5．[广东江门2019一模]根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位：万件)大约满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1，2，…，12)．据此预测，本年度内，需求量超过5万件的月份是(

)A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．8月、9月考点3数列的实际应用【答案】C【解析】由题知日用品从年初开1.

数列的函数特征必备知识整合提升第4节数列的综合应用数列可看作自变量为正整数的函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，我们可以用函数的观点来研究数列．例如，要研究数列的单调性、最值、周期性，可以先构造出通项公式(或其他)所对应的函数y＝f(x)(x>0)，然后对函数y＝f(x)进行分析．数列与函数不同，数列只能看成自变量为正整数的一类函数，所以不能对数列求导，只能对数列的通项公式(或其他)所对应的函数y＝f(x)(x>0)求导．(1)函数特征比较明显的，可以直接根据函数的性质求出相关信息，如等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d(d≠0)可以看成一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)；等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋(d≠0)可以看成二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)；等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(q>0，且q≠1)可以看成函数f(x)＝t·qx(t≠0)．(2)函数特征不明显的，可以通过对函数求导研究其性质．1.数列的函数特征必备知识整合提升第4节数列的综合应第4节数列的综合应用2.数列的综合应用的常考题型(1)等差、等比数列相结合的问题①综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项及性质．②重点考查基本量(即“知三求二”，解方程(组))的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题．(2)数列与函数相结合的问题①利用函数解析式解出数列的递推关系、数列的前n项和．②根据数列是一种特殊的函数这一特点命题，考查利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题．(3)数列与不等式相结合的问题①判断数列问题中的一些不等关系，如比较数列中的项的大小关系等．②以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的参数的取值范围等．③考查与数列问题有关的不等式的证明问题．第4节数列的综合应用2.数列的综合应用的常考题型(1)等3.

数列的综合应用中常用的数学思想第4节数列的综合应用①函数的思想：数列是一种特殊的函数，解题时要注意运用方程与函数的思想与方法．②转化与化归思想：复杂的数列问题经常转化为等差数列、等比数列或常见的特殊数列问题．③归纳推理思想：已知数列的若干项求通项、由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．④分类讨论思想：等比数列中，经常要对公比q进行讨论；由Sn求an时，要对n的取值进行分类讨论．3.数列的综合应用中常用的数学思想第4节数列的综合应用①4.数学归纳法第4节数列的综合应用证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．用框图表示为下图．4.数学归纳法第4节数列的综合应用证明一个与正整数n有关的考点1等差数列、等比数列的综合应用考点精析考法突破等差数列与等比数列综合问题的解题策略第4节数列的综合应用(1)分析已知条件和求解目标，首先求解中间问题，如求和需要先求出通项公式，求出通项公式需要先求出首项和公差(公比)等．(2)在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看公比是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．考点1等差数列、等比数列的综合应用考点精析考法突破等差第4节数列的综合应用[江西新八校2019二模]已知数列{an}为正项等比数列，满足a3＝4，且a5，3a4，a6构成等差数列，数列{bn}满足bn＝log2an＋log2an＋1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.【解】(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意得a5＋a6＝6a4⇒q＋q2＝6，解得q＝2或q＝－3(舍去)．又a3＝4，所以a1＝1，所以an＝a1qn－1＝2n－1.bn＝log2an＋log2an＋1＝n－1＋n＝2n－1.第4节数列的综合应用[江西新八校2019二1．[广东六校2019第四次联考]设{an}是单调递增的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝13，且a1＋3，3a2，a3＋5构成等差数列．(1)求an及Sn.(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【解】(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意得∴a2＝3,a1＋a3＝10.∴＋3q＝10，解得q＝3或

q＝(舍)，∴an＝a2qn－2＝3n－1，Sn＝第4节数列的综合应用(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列．∵S1＋λ＝1＋λ，S2＋λ＝4＋λ，S3＋λ＝13＋λ，∴(4＋λ)2＝(1＋λ)(13＋λ)，解得λ＝

．

．1．[广东六校2019第四次联考]设{an}是单调递增的等比第4节数列的综合应用此时∴存在常数λ＝

，使得数列

是首项为

公比为3的等比数列．第4节数列的综合应用此时考点2

数列与其他知识的综合应用1.数列与函数的综合问题的解题策略(2)已知数列条件解决函数问题，一般要充分利用数列的相关公式、性质对式子化简变形，灵活运用函数的思想方法求解．在求解过程中往往会遇到递推关系，因此掌握递推数列的常见解法便于此类问题的求解．第4节数列的综合应用(1)已知函数条件解决数列问题，一般利用函数的性质、图像等研究数列问题．考点2数列与其他知识的综合应用1.数列与函数的综合问题的解【解析】∵点(n，an)在函数f(x)＝2x－1图像上，∴an＝2n－1，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴Sn＝＝2n－1，则bn＝

＝2n－12，∴{bn}是首项为－10，公差为2的等差数列．当bn≤0时，n≤6，当bn≥0时，n≥6，∴Tn的最小值为T6或T5，T5＝T6＝－10×6＋＝－30.第4节数列的综合应用【答案】－30[广西柳州2019模拟]已知点(n，an)在函数f(x)＝2x－1的图像上(n∈N*)．数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝

数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn的最小值为________．【解析】∵点(n，an)在函数f(x)＝2x－1图像上，∴a2.数列中不等式问题的处理方法(2)放缩法：数列中的不等式可以通过放缩得到．第4节数列的综合应用(1)函数法：构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过此不等式赋特殊值得出数列中的不等式．

[广东佛山一中2019月考]记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，an2＋2an＝4Sn＋3.(1)求an；(2)记数列

的前n项和为Tn，若对于任意的n∈N*，tTn<an＋11恒成立，求实数t的取值范围．(3)比较法：作差或作商比较．(4)数学归纳法：利用数学归纳法进行证明．2.数列中不等式问题的处理方法(2)放缩法：数列中的不等式【解】

(1)由an2＋2an＝4Sn＋3，①可知当n≥2时，an－12＋2an－1＝4Sn－1＋3，②①－②得an2－an－12＋2an－2an－1＝4an，即(an＋an－1)(an－an－1)＝2(an＋an－1)．∵an＞0，∴an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2(n≥2)．又a12＋2a1＝4a1＋3⇒a1＝3或a1＝－1(舍),∴{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．∴an＝2n＋1(n∈N*)．第4节数列的综合应用【解】(1)由an2＋2an＝4Sn＋3，①可知当n≥2．[江西宜春2019期末]等比数列{an}的各项均为正数，a5，a6是函数f(x)＝

x3－3x2＋8x＋1的极值点，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝(

)A．3＋log25B．8C．10D．15第4节数列的综合应用【解析】对f(x)求导得，f′(x)＝x2－6x＋8.因为a5，a6是函数f(x)＝

x3－3x2＋8x＋1的极值点，所以a5，a6是方程x2－6x＋8＝0的解，故a5a6＝8.又因为{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2…a10＝(a5a6)5＝85，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2a1a2…a10＝log285＝15，故选D.【答案】

D2．[江西宜春2019期末]等比数列{an}的各项均为正数，3．[山东临沂三中2020届月考]已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(3－x)＝f(x)，f(－1)＝3，数列{an}满足a1＝1且an＝n(an＋1－an)(n∈N*),则an＝________，f(a36)＋f(a37)＝________．第4节数列的综合应用【解析】由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.又f(3－x)＝f(x)，得f(3＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(6＋x)＝－f(3＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期函数，且周期T＝6.【答案】n-33．[山东临沂三中2020届月考]已知定义在R上的函数f(x4．[四川、广安、眉山、内江、遂宁2019第一次诊断]已知数列{an}满足a1＝

，且an＋1＝an－an2(n∈N*)．(1)证明：(n∈N*)；(2)设数列{an2}的前n项和为Sn，证明：(n∈N*)．第4节数列的综合应用4．[四川、广安、眉山、内江、遂宁2019第一次诊断]已知数第4节数列的综合应用第4节数列的综合应用考点3

数列的实际应用（1）等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，这个增加(或减少)的量就是公差．1.数列应用题的常见模型（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比值是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个比值就是公比．（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系．第4节数列的综合应用考点3数列的实际应用（1）等差模型：如果后一个量比前一个量（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意．2.解答数列应用题的步骤（2）建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征及要求的是什么．（3）求解——求出该问题的解．第4节数列的综合应用（4）还原——将所求结果还原到原实际问题中．

解等差数列、等比数列应用题时，第一步审题至关重要，深刻理解问题的实际背景，理清隐藏在语言中的数学关系，把应用问题转化为数学中的等差数列、等比数列问题，然后用等差数列、等比数列的知识求解．（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意．2.解答数列应用题【答案】

10.4

某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元．从2011年起，每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%.照此推算，此人2019年的年薪为________万元．(结果精确到0.1)【解析】由题意可得，基础工资是以2100元为首项，公差为210元的等差数列，绩效工资是以2000元为首项，公比为1.1的等比数列，则此人2019年每月的基础工资为2100＋210×(10－1)＝3990(元)，每月的绩效工资为2000×1.19≈4715.90(元)，故此人2019年的年薪为12×(3990＋4715.90)≈10.4(万元)．第4节数列的综合应用【答案】10.4某人的月工资由基础工资5.

黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说是来自于河水的颜色．黄河因为携带了大量泥沙所以河水呈现黄色，黄河的水源自青海高原，上游的1000km的河水是非常清澈的，只是中游流经黄土高原，又有太多携带大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊．在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线．设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000m3/s，黄河水的含沙量为2kg/m3，洮河水的含沙量为20kg/m3，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1s内交换1000m3的水量，即从洮河流入黄河1000m3的水混合后，又从黄河流入1000m3的水到洮河再混合．(1)求经过第2个观测点时，两股河水的含沙量；(2)从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3？(不考虑泥沙沉)第4节数列的综合应用5.黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说是来自于河水的颜色第4节数列的综合应用第4节数列的综合应用2021届全国新高考数学备考复习数列的综合应用2021届全国新高考数学备考复习真题自测考向速览必备知识整合提升考点精析考法突破第4节数列的综合应用真题自测考向速览必备知识整合提升考点精析考法突破第4节数列的综合应用真题自测考向速览考点1等差数列、等比数列的综合应用【答案】A1．[课标全国Ⅲ2017·9]等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(

)A．－24B．－3C．3D．8【解析】方法一：令首项为a1，公差为d(d≠0)．由题意得a32＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，即a12＋4a1d＋4d2＝a12＋6a1d＋5d2，∴d＝－2a1＝－2×1＝－2.∴S6＝6a1＋

d＝6×1＋15×(－2)＝－24.方法二：令公差为d(d≠0)，由已知得，a32＝a2·a6，即(a6－3d)2＝(a6－4d)·a6，得到2a6＝9d，∴2(a1＋5d)＝9d,∴d=－2a1=－2.∴a6=d＝－9,S6==－24.第4节数列的综合应用真题自测考向速览考点1等差数列、第4节数列的综合应用2．[山东省2020届一模]在①b1＋b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的k存在，求k的值，若k不存在，说明理由．设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，______，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在k，使得Sk＞Sk＋1且Sk＋1＜Sk＋2？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．第4节数列的综合应用2．[山东省2020届一模]在①b1＋第4节数列的综合应用第4节数列的综合应用考点2

数列与其他知识的综合应用3．[课标全国Ⅰ2017·12]几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(

)A．440B．330

C．220D．110第4节数列的综合应用考点2数列与其他知识的综合应用3．[课标全国Ⅰ2017·1第4节数列的综合应用【答案】A第4节数列的综合应用【答案】A4．[浙江2019·20]设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<，n∈N*.第4节数列的综合应用(1)【解】设数列{an}的公差为d，由题意得a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，解得a1＝0，d＝2.从而an＝2n－2，n∈N*.所以Sn＝n2－n，n∈N*.由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列得(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)．解得bn＝(Sn＋12－SnSn＋2)．所以bn＝n2＋n，n∈N*.4．[浙江2019·20]设等差数列{an}的前n项和为Sn第4节数列的综合应用(2)【证明】cn＝

n∈N*.我们用数学归纳法证明．①当n＝1时，c1＝0<2，不等式成立；②假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即c1＋c2＋…＋ck<.那么，当n＝k＋1时，c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1<即当n＝k＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c1＋c2＋…＋cn<对任意n∈N*成立．第4节数列的综合应用(2)【证明】cn＝考点3

数列的实际应用【答案】C【解析】由题知日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位：万件)大约满足Sn＝

(21n－n2－5)(n＝1，2，…，12)，则第1个月的需求量为a1＝S1＝

，第n(n≥2)个月的需求量为an＝Sn－Sn－1＝>5⇔3n2－45n＋27×6<0，解得6<n<9.故选C.第4节数列的综合应用5．[广东江门2019一模]根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位：万件)大约满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1，2，…，12)．据此预测，本年度内，需求量超过5万件的月份是(

)A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．8月、9月考点3数列的实际应用【答案】C【解析】由题知日用品从年初开1.

数列的函数特征必备知识整合提升第4节数列的综合应用数列可看作自变量为正整数的函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，我们可以用函数的观点来研究数列．例如，要研究数列的单调性、最值、周期性，可以先构造出通项公式(或其他)所对应的函数y＝f(x)(x>0)，然后对函数y＝f(x)进行分析．数列与函数不同，数列只能看成自变量为正整数的一类函数，所以不能对数列求导，只能对数列的通项公式(或其他)所对应的函数y＝f(x)(x>0)求导．(1)函数特征比较明显的，可以直接根据函数的性质求出相关信息，如等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d(d≠0)可以看成一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)；等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋(d≠0)可以看成二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)；等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(q>0，且q≠1)可以看成函数f(x)＝t·qx(t≠0)．(2)函数特征不明显的，可以通过对函数求导研究其性质．1.数列的函数特征必备知识整合提升第4节数列的综合应第4节数列的综合应用2.数列的综合应用的常考题型(1)等差、等比数列相结合的问题①综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项及性质．②重点考查基本量(即“知三求二”，解方程(组))的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题．(2)数列与函数相结合的问题①利用函数解析式解出数列的递推关系、数列的前n项和．②根据数列是一种特殊的函数这一特点命题，考查利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题．(3)数列与不等式相结合的问题①判断数列问题中的一些不等关系，如比较数列中的项的大小关系等．②以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的参数的取值范围等．③考查与数列问题有关的不等式的证明问题．第4节数列的综合应用2.数列的综合应用的常考题型(1)等3.

数列的综合应用中常用的数学思想第4节数列的综合应用①函数的思想：数列是一种特殊的函数，解题时要注意运用方程与函数的思想与方法．②转化与化归思想：复杂的数列问题经常转化为等差数列、等比数列或常见的特殊数列问题．③归纳推理思想：已知数列的若干项求通项、由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．④分类讨论思想：等比数列中，经常要对公比q进行讨论；由Sn求an时，要对n的取值进行分类讨论．3.数列的综合应用中常用的数学思想第4节数列的综合应用①4.数学归纳法第4节数列的综合应用证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．用框图表示为下图．4.数学归纳法第4节数列的综合应用证明一个与正整数n有关的考点1等差数列、等比数列的综合应用考点精析考法突破等差数列与等比数列综合问题的解题策略第4节数列的综合应用(1)分析已知条件和求解目标，首先求解中间问题，如求和需要先求出通项公式，求出通项公式需要先求出首项和公差(公比)等．(2)在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看公比是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．考点1等差数列、等比数列的综合应用考点精析考法突破等差第4节数列的综合应用[江西新八校2019二模]已知数列{an}为正项等比数列，满足a3＝4，且a5，3a4，a6构成等差数列，数列{bn}满足bn＝log2an＋log2an＋1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.【解】(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意得a5＋a6＝6a4⇒q＋q2＝6，解得q＝2或q＝－3(舍去)．又a3＝4，所以a1＝1，所以an＝a1qn－1＝2n－1.bn＝log2an＋log2an＋1＝n－1＋n＝2n－1.第4节数列的综合应用[江西新八校2019二1．[广东六校2019第四次联考]设{an}是单调递增的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝13，且a1＋3，3a2，a3＋5构成等差数列．(1)求an及Sn.(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【解】(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意得∴a2＝3,a1＋a3＝10.∴＋3q＝10，解得q＝3或

q＝(舍)，∴an＝a2qn－2＝3n－1，Sn＝第4节数列的综合应用(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列．∵S1＋λ＝1＋λ，S2＋λ＝4＋λ，S3＋λ＝13＋λ，∴(4＋λ)2＝(1＋λ)(13＋λ)，解得λ＝

．

．1．[广东六校2019第四次联考]设{an}是单调递增的等比第4节数列的综合应用此时∴存在常数λ＝

，使得数列

是首项为

公比为3的等比数列．第4节数列的综合应用此时考点2

数列与其他知识的综合应用1.数列与函数的综合问题的解题策略(2)已知数列条件解决函数问题，一般要充分利用数列的相关公式、性质对式子化简变形，灵活运用函数的思想方法求解．在求解过程中往往会遇到递推关系，因此掌握递推数列的常见解法便于此类问题的求解．第4节数列的综合应用(1)已知函数条件解决数列问题，一般利用函数的性质、图像等研究数列问题．考点2数列与其他知识的综合应用1.数列与函数的综合问题的解【解析】∵点(n，an)在函数f(x)＝2x－1图像上，∴an＝2n－1，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴Sn＝＝2n－1，则bn＝

＝2n－12，∴{bn}是首项为－10，公差为2的等差数列．当bn≤0时，n≤6，当bn≥0时，n≥6，∴Tn的最小值为T6或T5，T5＝T6＝－10×6＋＝－30.第4节数列的综合应用【答案】－30[广西柳州2019模拟]已知点(n，an)在函数f(x)＝2x－1的图像上(n∈N*)．数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝

数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn的最小值为________．【解析】∵点(n，an)在函数f(x)＝2x－1图像上，∴a2.数列中不等式问题的处理方法(2)放缩法：数列中的不等式可以通过放缩得到．第4节数列的综合应用(1)函数法：构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过此不等式赋特殊值得出数列中的不等式．

[广东佛山一中2019月考]记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，an2＋2an＝4Sn＋3.(1)求an；(2)记数列

的前n项和为Tn，若对于任意的n∈N*，tTn<an＋11恒成立，求实数t的取值范围．(3)比较法：作差或作商比较．(4)数学归纳法：利用数学归纳法进行证明．2.数列中不等式问题的处理方法(2)放缩法：数列中的不等式【解】

(1)由an2＋2an＝4Sn＋3，①可知当n≥2时，an－12＋2an－1＝4Sn－1＋3，②①－②得an2－an－12＋2an－2an－1＝4an，即(an＋an－1)(an－an－1)＝2(an＋an－1)．∵an＞0，∴an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2(n≥2)．又a12＋2a1＝4a1＋3⇒a1＝3或a1＝－1(舍),∴{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．∴an＝2n＋1(n∈N*)．第4节数列的综合应用【解】(1)由an2＋2an＝4Sn＋3，①可知当n≥2．[江西宜春2019期末]等比数列{an}的各项均为正数，a5，a6是函数f(x)＝

x3－3x2＋8x＋1的极值点，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝(

)A．3＋log25B．8C．10D．15第4节数列的综合应用【解析】对f(x)求导得，f′(x)＝x2－6x＋8.因为a5，a6是函数f(x)＝

x3－3x2＋8x＋1的极值点，所以a5，a6是方程x2－6x＋8＝0的解，故a5a6＝8.又因为{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2…a10＝(a5a6)5＝85，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2a1a2…a10＝log285＝15，故选D.【答案】

D2．[江西宜春2019期末]等比数列{an}的各项均为正数，3．[山东临沂三中2020届月考]已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(3－x)＝f(x)，f(－1)＝3，数列{an}满足a1＝1且an＝n(an＋1－an)(n∈N*),则an＝________，f(a36