新人教高中数学必修一学案

§1.1集合1、集合：某些

2、集合的表示方法

3、集合的分类①小于11的全体非负偶数 ②整数12的正因数yx21图象上所有的点； 2、用适当的方法表示以下集合：ab⑴平方后与原数相等的数的集合；⑵设a,b为非零实数 ab

⑶不等式2x6的解集 xy⑸第二象限内的点组成的集合；⑹方程组xy1P5第1题：2．P6第1、2题3Ax|ax22x1A中只有一个元素，求aAAa§1.1集合一、知识归纳⑴集合 表示⑵如果aA的元素，就说aA如果aA的元素，就说aA5（1）整数集 例 用符号与填空3 N*3

Z N；

N*

Q； Q33⑵ 3

74（1）Ax2x5，判断a、bAa7

，bsin42tanP52题Ay|yx21且x

B(xy|yx22x2，用符号与 A

A； A； A B（1，1） B BA xy方程组x2y29的解 抛物线yx22x2的点组成的集 y

x2x

有意义的实数x的集 含两个元素的数集a,a2a中，实数a满足的条件 若Bx|x2x60，则 B；若DxZ|2x

，则 D A.0x2 B.00,0 C.0 D.02 xx17；②3∈Q；③0∈N；④0∈，其中正确的个数2A、 B、 C、 D、下列表示同一集合的是（A．M

N

B．M NC．My|yx21，x Ny|yx21，x Ny|yx21，xSabc中的三个元素是ABC的三边长，那么ABC（A.锐角三角形B.直角三角 a、b、c0M

abc

的所有值组成的集合为（abcA、 B、{- C、 D、{0，4，-abc已知x|x2mxn0mnR1,2，求mn的值A=xN

6

N 已知集合Ax|ax2-3x-4=0，xR（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围(2)A中至多只有一个元素，求实数aB含有三个实数的集合可表示为 ，也可表示为a2,ab,0，求a2006b2007的值a a b3*.Aa≠1，若aA

1

A已知2AAA3、a0,2。4、； 5—9、DCBDD。10、m3,n2 12（1）aB

a0（2）a

a0a1 ；b

2、b32（2）（3）A2 2

§1.2子集、全集、补集1、子集：对于两个集合A与B，如果集合A 元素都是集合B的元素，就说集合集合B，或集合B 集合A。也说集合A是集合B的子集。即：若“xAxB”则AB。（1） （2） （3）若AB，BC， 元素都是集合A的元素，就说A B。即：若A B，同时B A，那么AB。3、真子集：对于两个集合A与B，如果A B，并且A B，就说集合A是集合B的真子（1） （2） B， C 个（4）集合{a,b,c}的所有子集的个数 结论：含 个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数 1（1）N，Z，Q，R ②ΦA③A例 填空

④A {（0，1）}（1，2） 例 已知A=0,1,2,3，则A的子集数 ，A的真子集数 1、9页练习 个？

个 个3、已知Axx2x60,Bxax10， A，求a的值1、全集：如果集合S含有所要研究的各个集合的 集通常用U表示。2、补集：设S是一个集合，A是S的子集，由S中所 叫做S中子集A的补集。即：CSA 性质CsCSA

；CSS

CS 例1、若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求CSA2、已知全集U＝RAx12x1

CU3、已知：Sx1x28Ax21x1，

Bx52x1 ACS1、P10练、22、已知全集U，A是U的子集，是空集，B＝CUA，则 ，CU 3、设全集UU，已知集合M,N,P满足M=CUN，N=CUP，则M与P的关系是 4、已知全集Ux1x9，Ax1xa，若A，则a的取值范围是 Aa9，Ba9，Ca9，D1a5、已知U2,4,1a，A2,a2a2，如果CUA＝｛－1，那么a的值 （x，）|x∈1,2｝,y｛1,2｝NNAP={1，2QPQ（ D. Ax|x22x10xR的所有子集的个数为（ ①10,1,2;②10,1,2;③0,1,20,1,2;④0,1,2;⑤0,1,22, D.下列六个关系式中正确的有（①a,bb,a；②a,bb,a；③a,bb,a；④0；⑤0；⑥00A.６ C.４个D.３个及３个以U全集U12,3Mx|x23x20,则CM等于(U

知全集S和集合M、N、P，MCsN,NCsP，则M与P的关系是 MCs

M

P

M已知全集U3,57数集A3a7,如果CUA7,则a的值为()或 B.–2或 UM，NMN，则（A、CUMCU

B、CUMCU

D、MCU设全集UR,Ax|axb,CuAx|x>4或x<3,则a ,b Ax|x23x20Bx|x22xa10BA,求a求满足x|x210xRMx|x210xR的集合M的个数已知Ax|1x<4Bx|x<a若AB,求实数a的取值集合I设全集I2,3a22a3A2a12CA5，求实数a的值IS已知全集S123456，是否存在实数ab，MxSx2axb0使得CM145S设UR,AxR|1<x5或x=6,BxR|2x<5求CUACUB和S设全集Sx|x23x20Ax|x2pxq0若CA,求p、qSBSabAS,则A与CsA的所有有序组对共有（A.1 B.2 C.3 D.4S12345，求满足条件“若as,则6as*3．集合S，A是S的一个子集，当xA时，若x1A，且x1A，则称x为A的一个“孤立元素，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是（ A．4 B．5 C．6 1—9、ACAABCBAA 10、A1,2,3,4。11、a3,b4。12、a1,013、a2。14、3．15、a|a4 16、m|3m317、a2 18、a5,b619、

UBx|1x2或x5或x6U

Bx|x2或x20p3q2B§1.3 即：AB ABAAAA

，A，A

，AB，AB

；A（CUA A（CUA 例1、设Axx2，Bxx3，求A 例2、设A=｛x|x是等腰三角形，B=｛x|x是直角三角形，求A 例3、设A4,5,6,8B3,5,7,8，求AB= ；AB= 例4、设A=｛x|x是锐角三角形，B=｛x|x是钝角三角形，求AB= 1、P12练——5题2、设Ax1x2，Bx1x3，求 ；A 3、设Ax,yy4x6，Bx,yy5x3，求A 4ABZ则A ,A ,B ,A ,A ,B 5、设集合A42m1m2B9m5,1m，又A求实数m的值1、；2、。§1.3一、1AA，A ，AB；A（CUA 2AA

，A

，AB

A（CUA 3、 律： P13练习4题（CUA）（CUB（CUA）（CUB。例1、设U1,2,3,4,5,6,7,8，A3,4,5，B4,7,8，则CuA= ，(CuA)(CuB)= Cu(A，Cu(A．2Ayx24x5,By 5x，求3已知Ax2x4Bxx当 B时，求实数a的取值范围；(2)当 BB时，求实数a的取值范围三、针对训练：1、P13 —3B2、已知A=3,a2,a1，Ba3,2a1,a21，若 B3，求BNMPNMPA.(MN)C．(MN)CS

B．(MN)D．(MN)CS4MP是两个非空集合，规定MPxxM,且xP，则MMP等于（PAM BP，C P，DP5、已知全集U不大于20的质数A,B是U的两个子集，且满

第9 CUB3,5，CUA B7,19，CUA CUB则A ；B 交集、并集练习题A1设全集I，集合A，集合B，则CIACIB等于（

2A、B、IABI则下列各式中错误的是（A、CIAB B、CIACIBIC、ACIBD、CIACIBCI3、已知Mxxa23a2aR,Nxxb2b,bR，则M、N的关系是（A．MN

B.MN

C.M

Myyx1Nxyx2y21，则集合MN中元素的个数是（A、 B、 Mx，y）yx1Nxyx2y21，则集合MN中元素的个数是（A、 B、 C、 元素的个数是（ A、 C、 D、U7、全集U={1，2，3，4，5}，集合A、BUAB4CAB25B等于（UA.2,4, C.3,4, A、 已知Myyx22x2xRNyyx22xxRMN10．已知全集URAx|1x12Bx|xa0，a若CuACuBx|x〈0，CuACuBx|x1或x>3，则a 11．设集合Ax22x14Bx5,1x,9，若AB9AB13、集合Axx2ax10xRB12ABA求a的取值范围145032253人两样竞赛都不参加，B1．设集合Mxxk1,kZ,Nxxk1,kZ，则

A.M B.M C.M D.M A1、A2A1A2A，则称A1A2为集合AA1A2(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆，则集合A{a1,a2,a3}的不同分拆种数是 x Bxyy3x2求CUABA

1— 。11、AB7,4,4,8,9 12、a|a1 13、2a2（2）37B1-2：BD。3、CUAB2,4交集、并集练习题AUU

(AB)（A． B． M={－1,1,2},N={y|y=x2,xM},则MN B． D．全集Ux|2x1Ax|2x1}Bx|x2x20}，Cx|2x1 C

CCU

CUB

CUA集合M{x|x1}，P{x|xt}，若MP，则实数t应该满足的条件是 t

t

t

t已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x－y=1}，则 {2, A．C B．S1（CIS2∩CC．CISI∩CIS2∩C D．S1（CIS2∪C已知集合M直线N圆MN中的元素个数为（ （CuA ,B 人2Ax2x2pxq0Bxx2p2)x5q0，若AB1，求2集合P={1，3，mQm21，且PQ13m，求实数m的值Ax|x25x60Bx|ax60}ABAaBf

f

）+2

0的解集为（PQ B．P D（PP、QPQPQ中元素个数为（

a，b）|aP且bQ

A

1—7、 9、10AB11,423 23 311、m ，或m03424213、aB

y=f(x)的理解、一、问题1、在初中，甚至在小学就接触过函数，在实际生产生活中，函数也发挥着重要的作用，

（1（2（3（1 如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B 其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fx|xA叫做函数的 5、在实例（2）BA由练 AZ,B

fxy3Ax|x0BR，对应关系fxy2ARBR，对应关系fxyx2y2ARBRfxy2yyxOyxOxB

fx的图像只能是 yOxCyyOxCyODA念念（1）{x|1x（2）{x|0x（3）{x|1x（4）{x|x（6）{x|x：： BB集合中存在唯一元素和AA中的元素不B集合中一个以上的元素；DBA2、判断下列对应是否为A集合到B集合的和一一AR,BR,xA,f:xxAN,BN,xA,f:xx1 1234112131412341121314 9413-2-1-① 取绝对 乘以

②B1-1-12-0③20123…A④B123456… -2-1-941⑤⑥讲解：１,２（素在B中的结果均唯一（由学生总结，教师补充整理引出定义）1：f，对于集合Ａ中的任何一个元素，在集合Ｂ中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合Ａ到集合Ｂ的，记作f：A→B。定义2：给定一个f：A→B，且aA,bB，若元素a与元素b对应，则b叫做a的象，而a叫2 →BA、B可以是数集、点集或其他集合，可以是有限集也可以是无限集，但不能是空 f：A→B是一种特殊的对应，它要求A中的任何一个元素在B中都有象，并且象唯一，即元素与 12，B=｛02

x

，、、 1A=｛a,b,c｝,B=｛x,y,z｝,AB的对应方式如下图所示，其中，哪几个对应关系是从集合A到集合B的？czczcz czczcz czczczcz 元素a,在对应法则f的作用下，在集合B中有且只有一个元素b与之对应。符合这个条件的就是从集合A到集合B的，否则就不是。解：①②③所示的对应关系中，对于集合A中的任意一个元素，在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，因此，它们都是从集合A到集合B的；在④所示的对应关系中，对于集合A中的元素b，没有指定集合B中的对应元素，因此，它不是；AaBx、y不是因“①、A=R，B=｛x|x＞0解：∵0∈A，在法则f0→|0|=0B∴不是从集合AB解：∵1∈A，在法则f下：1→|1-1|=0BA到集合B③A=｛x|x＞0x∈R，B=R，f：x→y=x2x∈Af：x→x2∈RAB注：是两个集合之间的一种特殊的对应关系，它要求集合A中任意一个元素x，都可以运用对应fy一定在集合B12

，1，-2，B=｛3，2，1，2

，0｝f：x→y=x

②A=R，B=R，f：x→y=2x+1,1 小结：① 映② 映 1、设f：A→B中象集为C，若集合A中有m个元素，象集C中有n个元素，则m与n的关1、下列从集合A到集合B的对应中为的 AABN对应法则fxx2,(xCABR,fxyDARBxx0,fxyx的是（）A、2y

By21x2

Cy1x24

Dx21

fxy2xyxyxyR的条件下，点11 6 6的原象 A、1,1 B、1,1或1,2 6

2

43 C、

1,1

D、11或21 6

23

34 2、f:AB定义域A到值域B上的函数，下列结论正确的是 B、BC、B中元素只有一个原象D、A或B可以空集数集3

fxyx2y2xy

4、已知从A到B 是f：x2x-1,从B到C 是f:x1,从A到C fx （选做）已知f是集合A1,2到自身的 【自主学习 与对 的集合，叫做函数y=f（x）的图2x

y=2x＋1,x∈Zx2 f（x，分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着 练5：例信函质量不超过100g20g8020g80信函质量大于100g且不超过200g时,每100g付邮资200分,即信函质量超过100g,但不超过200g付邮资(A+200)分,(A100g200g,300g设一封xg(0<x≤200)的信函应付的邮资为y(单位:分),试写出以x为自变量的函数y的解析式,并画出（1）s60t2Ar2yax2bxc(a0．函数表，以及银行里常用的“利息表（见P53页表1 变化的曲线就是用图象法表示函数关系的（见P53页图2-2 1、5元，买x{1,2,3,4}y（元x为自变量的函y的解析式，并画出这个函数的图像DCBADCBA它的图象由4个孤立点A(1， B(2， C(3，D(420)2国内投寄信函（外埠1、信函质量不超过100g时，每20g付邮资80分，即信函质量不超过 20g付邮资80分，信函质量超过20g，但不超过40g付邮资160分，依次类推； 质量于100g的信函的邮资信函质量超过200g但不超过300g付邮（A+400） 分，依xg(0<x200)y（单位：分xy解：这个函数的定义域集合是0x200，函数 80,x(0,160,x(20,240,x(40,y400,x， 轴，yoxx的不同取值范围，对应法则也不同，这样的函数通常称为分段函数。yox3、yx1x2的图像(2x xyx1x2=

2x

2xx4、y2x24x3(0x3的图象.解：∵0x∴y2x24x介于0x3之间的一段弧（如图四、课堂练习：第56页练，2，3 x1、画出函数y=|x|= x0.的图象第二象限的角平分线，.五、小结六、作业：作出函数y|x22x3|的函数图x22x x22x3(x2

2x2

x22x3（1）（2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向 翻（上方部分不变，即得y=|x22x3|的图课前引导：函数图象上任意点P(x,y观察第27页图1.3-2，阅读第27-28页“思考”上面的文字，回答下列问题（引导：理解x…---01234…x…---01234………＿y＿＿＿y=-x2的图象在y＿＿＿的，在y＿＿＿的；＿＿＿间(0，+∞x1、x2x1<x2y1＿＿y2f(x1)＿＿＿f(x2).这样可阅读第28页“思考”下面的内容，然后回答下列问<4>增函数的定义中，把“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”，这样行结论<3>一般地设函数fx)的定域为I如果对定义域I某个区间D上的意两个变量的值x1x2，当＿＿时都有＿＿，么就说数f()区间D上是函数；<>增函的定义由于当x1<2时有f(1)<f(2)即是相同不等号<”也就是说面是“”后面也“<”,步调一致“当1>2时，有f(1)>f(2)都是同的不等“>”，前面是>”，面也是“>”,步调一致.因此 可以简称为：步调一致增函数；增函数反映了函数值随自变量的增大而增大从向右看图象是升的5>增函几何义是从左右看,图是＿＿（上下降 结论：<1>一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当＿＿＿时，都有＿＿＿，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减大而减小；<2>函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小几＿＿＿（＿＿＿（阅读第29页第一段，然后回答下列问问题1：函数y=x2的图y侧的部分是上升的说明什么x，y2：怎样用数学语言表示呢？1结论：这时yx2在[0，+∞]上是增函数（同理分析y1y=f(x)y=f(x)y=f(x)有（严格的）y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是Ix1、x2x1x2f(x1)<f(x2f(x)在这个区间上是增函数（increasingfunction。x2那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasingfunction)（1）1f(x)DD上的部分从左到右呈＿＿趋势若函数f(x)在区间DD上的部分从左到右呈＿＿趋2①定义；②导数；③复合函数单调性：同增则增，异增则减；3 ；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是 例1.下图是定义在闭区间5,5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及一个区间上的单调性（P341问题3：y=f(x)在区间5,21,3上是减函数；在区间2,13,5上是增函数，那么在两个区间2．证明函数f(x)=3x+2R上是增函数x1<x2得x1-x2<0.∴f(x1f(x2)<0,∴f(x)=3x+2在R分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤设x1、x2∈给定区间，且计算f(x1f(x2)至最简（－x=－f（xf（x）为奇函数.f（x）x（－x）=（xf（x）－f（－x）=0f（x）为偶函数.yy轴对称④f（x）=0（x∈R） f（x）=0〔x∈（－a，a〕.A.奇函 解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数 解析：∵偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，∴f（x）在区间［0，1］上为增函数.由α、f［a－12a b＝ a－1＝－2aa＝13答案： 3给定函数:①y1（x≠yx2+y=2x=g2x=og2x+x

x21 答案：①⑤②③④ f（x－2）在［0，2］上单调递减，f（－1）=f（1A.211（2）f（x）111x1x

|x2|x(1

(x（4）f（x）=x(1

(x（1）x（－+∞∵f（－x=－x+1－－x－1=x－1－x+1=－（x+1－x－1）=－f（x先确定函数的定义域.1x≥0，得－1≤x＜1f（x）11x2 1x由 得1x1x|x2|2 1x1x［－10（01

x22 11

=－f（x11x（－∞，0）（0，+∞∴（－x=（x［－（x］－（1x）=－xx＞0）.x＞0（x）=x（－x=－（x＜）.f（x）为奇函数.（1）∈D围（1）解：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1，解得（2）证明x1=x2=－1，有f（－1）×（－1］=f（－1）+f（－1）.令x1=－1，x2=x，有f（x）=f－1）+（x，∴f－x）=（x）∴f（x）为偶函数（3）f（3x+1（2x－6］≤f（64）.（*）(3x1)(2x6)(3x1)(2x6)(3x1)(2x6)或3x1)(2x6x3或x1 或

x

3或3x∴3＜x≤57≤x11 ∴x的取值范围为{x|7≤x11＜x＜3 评述：解答本题易出现如下思维f（xf（x（ab（＞0 ，， fxg（x）＞0abb ，ab C.（a，）∪（－，－a2bb2a222 ，b）∪（－b，－a22C.（a，）∪（－，－a2bb2a222 ，b）∪（－b，－a22（·gx）＞0f(x)f(x)g(x) g(x)或∴x∈（a2，b）∪（－b22xm的值（2（（1）∵fx）∴－x－p+m=－x－p （2（（ⅰ）f（2）=2+ppp2pp

①当p＜10＜p＜1时，f（x）在［1，2］∴f（x）max=f（2）=2+p2②当p∈［1，2］时，f（x）在［1，p］上是减函数.在［p，2］上是增函数p pp（x）mx=ax{（1，2）}=ax{1+，2+2+xm=2+ ③当p＞2p＞4时，f（x）在［1，2］=2+p2评述：f（x）=x+p（p＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法x

f(x)xf(－x)=－f(x)f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)xf(－x)=f(x)f(x)为偶函数。12x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称。12f(－x)f(x)3f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0f(x)是偶函数；f(－x－f(x)f(－x)＋f(x0f(x)是奇函数。y轴对称；f(xg(xD1D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇y=f(x)IID内的任意两个自x1，x2x1<x2f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)f(x)D上是增函数（减函数；12Dx1，x2x1<x2y=f(x)y=f(x)在这一区间具有（严格的）Dy=f(x)的单调区间。设复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是g:x→u=g(x)的u=g(x)A上是增（或减）函数，y=f(u)B上也是增（或减）y=f[g(x)]A上1x1，x2∈D23变形（通常是因式分解和配方4定号（f(x1)－f(x2)的正负5下结论（即函数f(x)在给定的区间D上的单调性f(xg(x是增函数；f(xg(x是减函数；f(xg(x是增函数；f(xg(x是减函数。)=≥Mx0∈If(x0MMy=f(x)的最大值。1函数最大（小）x0∈If(x02(x)≤（(x)≥M1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）2利用图象求函数的最大（小）3利用函数单调性的判断函数的最大（小）)=性质：①f(x+T)=f(x)常常写作f(x

T)2

f(x

2T

| 16x1216x1221xa2x1xa2xf(x)|xa|

(常数a（1）16x116x14x44x4

216x（另解）16x4

1

1f(x)x xfx xxx∈Rf(－x－f(x)f(x)1x2x21

x21x∴f(x)=log21=0(x=±1)f(x)A（－1，0）B（1，0）y轴∵x2≤a2,∴要分a>0与a<0两类axa>0|xa|

|xa|0,f(x)

xa2x

a>0时，f(x)a2xa2x|xa|0,f(x)

x

取定义域内关于原点对称的两点x12x22f

a)f(

a)2

0,当a0时,f(x既不是奇函数，也不是偶函数33 33例2．(2002文.16)设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数（x2；③=－（x=（）－（x y=－）（x）］=x（）=－；=（x）－x）－y3（2002，fx）=lg3（+x， （=og（1x（－x=－（x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x，所以f（－2）=－log33=－14Ry=f(x)f(2+x)=f(2－x)f(x)x∈[0，2]时，f(x)=2xx∈[－2，0]时，f(x②若x∈[－4，－2)∴4+x∈[0，2)∵f(2+x)+∴f(x)=∴f(x)=f(－x)=f[4－（－x）]=f(x)2x (4x))

2x (2x0x例5（2001 ，19）设a0，f(x)xa

aR（2）1

（1）xRf(xf(x

(a1)(ex1)0xR成立，则a10a1 a0a1（2）(定义法)设0

xf(xf(x

1

(ex2ex1

1)ex1(ex2x1

1ex2，ex2x0x0xx0，得x

0,ex2x110，1ex2x10 ∴f(x1)f(x2)0f(x1f(x2f(x在(0（导数法）a1x(0∴f(x)(ex

1

1(ex)210 0f(x在(0Rx1、x2x1<x2，∴f(x2)=f(x1)，

1f

，FF

)F(x1)[f(x2)

f

)][f(x1)

f(x1[f

)f(x1)][1

f(x1)f(x2∵f(x)Rx<100<f(x)<1,x>10x1<x2<51②∴0<1∴1 f(x1)f(x2∴F(x2)<x2>x1>5f(x2)>f(x1)>1∴1

f(x1)f(x2

∴F(x2)>F7（2001f（x）在其单调区间上的单调性。

x

（a＞b＞0 ∴f（x）－f（x）＝x1ax2a(x1a)(x2b)(x1b)(x2 x2

x2

(x1b)(x2(ba)(x1x2)(x1b)(x2x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x208（1） (x23x2)0f(x)82xx2g(x)f(2x2g(x的单调区间和单调性。（1）函数的定义域为(,12,，0分解基本函数为y t、tx23x00显然ylog t在(0,)上是单调递减的而tx23x2在(,1),(2,)上分别是单调递减和00所以函数y (x23x2)在(,1),(2,)上分别单调递增、0分解基本函数为gf(tt22x8和t2t2gf(tt22x8在(1,(,1而t2x2在(,00,上分别是单调递增和单调递减的。且2x21x1，g(x)82(2x2(2x22x42x28g(x)4x34x令g(x0x1或0x1，令g(x)0x1或1x0点评：该 9f(x)在(0，+∞)f(2)=0f［log2(x2+5x+4)］≥0。解：∵f(2)=0,f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)。 0＜x2+5x+41452

10≤x＜－4或－1＜x≤5 2{x|x≤－552

10≤x≤－4或－1＜x52

10x≥0θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,］m2cos2θ－3>2mcosθ－4m,cos2θ－mcosθ+2m－2>0。设t=cosθ,则问题等价地转化为函 =t2－mt+2m－2=(t－2

)2－242

m<0,m<0时，g(0)=2m－2>0m>1m<02222202

≤10≤m≤2时，g(m)=242

+2m－2>0

2 2m>1,m>2时，g(1)=m－1>0m>122 22－cos2θ)/(2－cosθ)对于θ∈［0,］22∵当θ∈［0,］时，(2－cos2θ)/(2－cosθ)22

2211（2002（2）（1）a=0f（－x）=（－x）2+|－x|+1=f（xf（x）为偶函数。（a）=2+1，（－a=a22a+1，（－a）≠（a，－a）（af（x）既不是奇函数，也不是偶函数。（2）①x≤af（x）=x2－x+a+1=（x1）2+a3 12

f（a）=a2+11

2（a

，则函数f（x）在（－∞，a上的最小值为2

+af（ x≥af（x）=x2+x－a+1=（x1）2－a3 21

，则函数f（x）在［a，+)上的最小值为

－a

）≤（a2

f（a）=a2+112

34

－a 12

4 12m

)m

mm∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+f(x)R。

m

>0

m

>0令Δ＜0，即

m

∵y=log3uu最小时，f(x)

m

mx=m时，u

m

m

m∈M

m

m

m=2

m

)≥log33=1例13．若y=f(2x)的图像关于直线xa和xb(ba)对称，则f(x)的一个周期为 a2

2(b

b2

4(by=f(2x)xaf(a+2x)=f(a－2x)2f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。同理，f(b+2x)=f(b－2x)，f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。f(2x)2b－2a，y=f(x)x=ax=b对称（a≠b2（b－a14yf(xR上的周期函数，周期T5yf(x)(1x1是奇函yf(x在[0,1上是一次函数，在[14x2时函数取得最小值5。f(1f(40yf(xx[14yf(x)在[49上的解析式。f(x是以5为周期的周期函数，f(4)f(45)f(1，yf(x)(1x1是奇函数，∴f(1)f(1)f(4)f(1f(40x[14f(xa(x2)25(a0，f(1f(4)0得a(12)25a(42)250，∴a2f(x2(x2)25(1x4yf(x)(1x1∴f(0)0yf(x在[0,1f(xkx(0x1f(12(12)25k3，∴当0x1f(x3x从而当1x0f(xf(x3x，故1x1f(x3x∴当4x6时，有1x51f(xf(x53(x53x15。当6x9时，1x54，∴f(x)f(x5)2[(x5)2]252(x7)23x 4xf(x2(x7)2 6x9f(x)f(x)xf(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意xf(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；f(x)y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。 叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域

yax(a0且a1(1)（2）（3）过点（，即 （4）在 （一）引例1：某种细胞时，由1个成2个，2个成4个，…….1个这样的细胞x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是什么？y2x

yy2xy0.85xx01yax(a0且a1xa<0，xax(2xx=1，x=1 ③若a=1，则对于任何xR，ax=1，是一个常量，没有研究的必要性a>0a1xR，axax>0.R，值域是(0,+∞).2：y23x指数函数的解析式y=ax中ax的系数是y=ax+k(a>0a1，kZ)；1 函数，实际上却是，如y=ax(a>0,且a1)，因为它可以化为y= ，其中>0，

1

a 1y=2x，y=

，y=10x，y=

2

10x…----0123…y=2…1248…1y=2 …8421…x…----01…y=10…1…1y=10 …1…1 1观察y=2x，y= ，y=10x，y= 的图象特征，就可以得到yax(a0且a1)的图

2

10(1)（2）（0，+∞）（0，1（4）R（三yx1，经过x0x010x0123456y1y=0.84例2（第81页）比较下列各题中两个值的大小①1.72.5，1.73 ②0.80.1，0.80.2 ③1.70.3，①1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y=1.7x，当x=2.5和时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=1.7x在R是增函数，而2.5<3，所1.72.5<1.730.80.1与0.80.20.8y=0.8xx=-和-0.2函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=0.8xR是减函数，而-0.1>-0.2，所以，0.80.10.80.2③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1.70.3>1；0.93.1<1；1.70.3ffx1⑴y0.4

⑵y

5

⑶y2x1x解（1）x-1≠0由

x11

1x

t，指数函数y=0.4t,并结合图象直（2）5x-1≥0x51所以，所求函数定义域为{x|x 55x ≥05x由2x>02x2⑵81

,(2.5)⑶比较下列各数的大小：10

0.425

，2.51a学习目的y=loga0＜a＜1时，在（0，＋∞）上是减函数；a＞1时在（0，＋∞）上是增函数。1y＝2x

22 把函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫对数函数（logarithmicfunction）其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞y=log2xy=log1x2 y=logx＝－logx，设点（x，y）ylogx的图象上，则点（x，－y） 上，而点（x，y）与（x，－y）x轴对称，所以y=logxy=logx 2ax（x＝21和－1）y=logx（a＞0a≠1）的图象和性质：a（0，＋∞7、求下列函数的定义域：ay＝logaay＝log(4a

log34，log8 0 0log18，0 0 log51，log5

（a＞0，且a≠1）（a＞1时，＜，0＜a＜1时9、溶液酸碱度的测量。PH＝－lg［H＋，其中PH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子已知纯净水中氢离子的浓度为［H＋］＝10－7摩尔/PH。（1）PH＝－lg［H＋］＝lg［H＋］－1＝＝＋

[H]

］[Hlg[HPH小。所以随着［H＋］的增大，PH值减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度PH5.0――7.0y＝2x中，x是自变量，yy是自变量，x是因变量,xy2y＝2x由指数式写成对数式：x＝log2

2x＝logy可知，xR中有唯一确定的值和它对应，因此，可以说y是自变量，x是因变量,x是y的函数，这时说22（y∈（0，＋∞）222x＝logy写成y＝log222（x∈（0，＋∞）2aylogx（a＞0a≠1）yax（a＞0，且a≠1）a 当0时，幂函数在[0,) ；当0时，幂函数在(0,) 当2,2时，幂函数 3都过 当0时，幂函数的图象 （1） 例1.写出下列函数的定义域，并它们的奇偶性1y

yx （3）y （4）yx2

（5）yx2x

（6）f(x)x2（1）f(x)(x)3x3fx1x（2）yx2∴此函数的定义域为[0yx2∴此函数的定义域为(00f(x)

1f(x)yx2x2x2∴此函数的定义域为(00f(x)(x)2

x2

f

1yx2

xx2 xx∴此函数的定义域为[0x xf(x)x23(x)4 34xx

x∴此函数的定义域为变式训练 y

yx

yx4（4）y

5（5）yx（1）R，R，R（2）定义域(00，值域(0，偶函数，在(0在(0

定义域[0，值域[0，偶函数，非奇非偶函数，在[0定义域(00)，值域(00)，奇函数，在(0上单调递减，在(0上定义域(0，值域(0，非奇非偶函数，在(02比较大小 （1）1.52

（2）（3）30.53,305,log3 （1）∵yx2在[0上是增函数，1.51.7，∴1.52yx3R1.21.25，∴(1.2)3yx1在(05.255.26，∴5.251y5.26x12∴5.2615.262∵00.531，3051，log30.503∴log0.50.53303变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列 （1）2.53,(1.4)3, （2）0.164,0.52,2

2

3（3）()3,()2,()3,33,()3 （1）(1.4)32.53 （2）6.2580.520.1642 5

2

3 （3）()2()3()3()3 3yxm22m3（mZ）xy轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．mZ，便可逐步确定m的值．解：yxm22m3（mZ）xy∴m22m30，∴1m3mZ(m22m3Zm22m3m0m213：f(xx2在[0上是增函数．证明：设0x1x2则f(x1)f(x2)x12x22 x1

x1xx1 x1x2

f(x1f(x2 f(x1f(x2此函数在[0

1．理解分数指数幂的概念 2.掌握有理指数幂的运算性质 念之后，也注明“若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数”一般规律m（1） m（2）正数的负分数指数幂的意义是an 1arasarsa0,r,s3abrarbra0,b0,rQ（一）（提问

2arsarsa0,r,sQ

amanamn(m,nZ)(am)namn(m,nZ)(ab)nanbn(nZ)n为任意正整数时，nannannananannann

=an

=|a|=a(a0)5353

a2a5a

a4a3a如果幂的运算性质（2）aknakn对分数指数幂也适用，2 5 4 a0，则a34

a2，a4a44a5，∴3a2a

a5 n（1） a0,m,nN,n1nm1 a0,m,nN,nn（2）正数的负分数指数幂的意义是a na 1arasarsa0,r,s3abrarbra0,b0,rQ（1）（2）00，0

2arsarsa0,r,sQ

283

1002

14 4

3316 2aoaa2a a33a2 a 2 a2aa2a2

2a2 a33a2=a3a3a3 1

3 a=aa2a2a4a 21

11

15

13（1）2a3b26a2b33a6b6 （2）m4n8 （1）（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步 21 11 15

21111解（1）2a3b26a2b33a6b6

=263a326b23

=4ab04a 138

18

3

m4n8

=m4

n8

=m2n3 22

（1）35

1254

a0a3a3（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计 3

（1）

12545=5352

5254=51254