材料力学讲义1128T28

第三章扭转

Chapter3Torsion第三章扭转(Torsion)

§3-1扭转的概念和实例(Conceptsandexampleproblemoftorsion)

§3-2扭转内力的计算(Calculatinginternalforceoftorsion)§3-3薄壁圆筒的扭转(Torsioninthin—wallcirculartube)

§3-4圆轴扭转的应力分析及强度条件(Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)§3-8开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转(Freetorsionofopenandclosedthin-walledmembers)§3-5圆杆在扭转时的变形·刚度条件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)§3-6密圈螺旋弹簧的应力和变形(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings)§3-7非圆截面杆的扭转

(Torsionofnoncircularprismaticbars)

§3-1扭转的概念及实例

(Conceptsandexampleproblemoftorsion)一、工程实例(Exampleproblems)MeMe二、受力特点(Characterofexternalforce)杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.三、变形特点(Characterofdeformation)杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.

§3-2扭转的内力的计算(Calculatinginternalforceoftorsion)从动轮主动轮从动轮一、外力偶矩的计算

(Calculationofexternalmoment)Me—作用在轴上的力偶矩(N·m)P—轴传递的功率(kW)

n—轴的转速(r/min)nMe2Me1Me3Me在n-n截面处假想将轴截开取左侧为研究对象二、内力的计算(Calculationofinternalforce)1.求内力(Calculatinginternalforce)截面法(Methodofsections)TMeMeMex••nnMeMe•xTMe•xT采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正,反之为负.2.扭矩符号的规定(Signconventionfortorque)3.扭矩图(Torquediagram)用平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置;用垂直于杆轴线的坐标T表示横截面上的扭矩,正的扭矩画在x轴上方,负的扭矩画在x

轴下方.

Tx+_Me4ABCDMe1Me2Me3n例题1一传动轴如图所示,其转速n=300r/min,主动轮A输入的功率为P1=500kW.若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.试做扭矩图.解:计算外力偶矩矩Me4ABCDMe1Me2Me3n计算CA段内任横一截截面2-2截面上的扭矩矩.假设T2为正值.结果为负号,说明T2应是负值扭矩矩由平衡方程ABCDMe1Me3Me222同理,在BC段内BCxMe2Me3T2Me4Me2xABCD同理,在BC段内在AD段内1133注意：若假设设扭矩为正值值,则扭矩的实际际符号与计算算符号相同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作出扭矩图4774.5N·m9549N·m6366N·m+_从图可见,最大扭矩在CA段内.§3-3薄壁圆筒的扭扭转(Torsionofthin-walledcylindricalVessels)1.实验前（1）画纵向线,圆周线;（2）施加一对外力力偶.一、应力分析析(Analysisofstress)薄壁圆筒：壁厚（r0—圆筒的平均半径）dxx

Me

Me2.实验后（1）圆筒表面的的各圆周线的的形状、大小小和间距均未未改变，只是是绕轴线作了了相对转动；；（2）各纵向线均均倾斜了同一一微小角度；（3）所有矩形网格格均歪斜成同同样大小的平平行四边形.3.推论(Inference)（1）横截面上无无正应力，只只有切应力；（2）切应力方向向垂直半径或或与圆周相切.dxδ圆周各点处切切应力的方向向于圆周相切切,且数值相等,近似的认为沿沿壁厚方向各各点处切应力的数值值无变化.MeMeABDC此式为薄壁圆圆筒扭转时横横截面上切应应力的计算公公式.4.推导公式(Derivationofformula)薄壁筒扭转时时横截面上的的切应力均匀匀分布,与半径垂直,指向与扭矩的的转向一致.Tττxdydzdxyz二、切应力互互等定理(ShearingStressTheorem)ττ1.在单元体左、、右面（杆的的横截面）只只有切应力,其方向于y轴平行.两侧面的内力力元素dydz大小相等,方向相反,将组成一个个力偶.由平衡方程其矩为(dydz)dxxydydzzdxττ2.要满足平衡方方程在单元体的上上、下两平面面上必有大小小相等，指向向相反的一对对内力元素它们组成力偶偶，其矩为此力偶矩与前前一力偶矩数量相等而转转向相反，从从而可得(dydz)dx3.切应力互等定定理(Shearingstresstheorem)单元体体两个个相互互垂直直平面面上的的切应应力同同时存存在,且大小小相等等,都指相相（或或背离离）该该两平平面的的交线线.4.纯剪切切单元元体(Elementinpureshear)单元体体平面面上只只有切切应力力而无无正应应力,则称为为纯剪剪切单单元体体.MeMel式中,r为薄壁壁圆筒筒的外外半经经.三、剪剪切胡胡克定定律(Hooke’slawforshear)由图所所示的的几何何关系系得到到薄壁圆圆筒的的扭转转试验验发现现,当外力力偶Me在某一一范围围内时时,与Me（在数值值上等等于T）成正正比.三个弹弹性常常数的的关系系TO从T与之间的的线性性关系系,可推出出与间的线性性关系系.该式称称为材材料的的剪切胡胡克定定律(Hooke’slawforshear)G–剪切弹弹性模模量O思考题题：指指出下下面图图形的的切应应变2切应变为切应变为0变形几几何关关系物理关关系静力关关系

观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式deformationgeometricrelation

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformulaExaminethedeformationthenproposethehypothesis

physicalrelationstaticrelation§3-4圆杆扭扭转的的应力力分析析·强度条条件(Analyzingstressofcircularbars&strengthcondition)1.变形现现象(Deformationphenomenon)（1）轴轴向线线仍为为直线线,且长度度不变变；（2）横截面面仍为为平面面且与与轴线线垂直直；一、变变形几几何关关系(GeometricalRelationshipofDeformation)（3）径向线线保持持为直直线,只是绕绕轴线旋转转.2.平面假假设(Planeassumption)变形前前为平平面的的横截截面,变形后后仍保保持为为平面面.aabbdxO1O23.几何关关系(Getricalrelationship)倾角是横截截面圆圆周上上任一一点A处的切切应变变,d是b-b截面相相对于于a-a截面象象刚性性平面面一样样绕杆杆的轴线转动的的一个个角度度.经过半半径O2D上任一一点G的纵向线线EG也倾斜斜了一一个角角度r,也就是是横截截面半半径上上任一一点E处的切切应变变TTdADG'ρρD'GE同一圆圆周上上各点点切应应力均相同同,且其值值与成正比比,与半径径垂直直.二、物物理关关系(PhysicalRelationship)由剪切切胡克克定律律aabATTdxDbDO1O2GG'ρρrOdAdAρρT三、静静力关关系(StaticRelationship)1.公式的的建立立(Establishtheformula)结论ρρ代入物物理关关系中中得到到式中：：T—横截面面上的的扭矩矩—求应力力的点点到圆圆心的的距离离Ip—横截面面对圆圆心的的极极惯性性矩Wt称作抗抗扭截截面系系数，，单位位为mm3或m3.2.的计算(Calculationofmax)

rOTdAdAρρρmax（1）实心心圆截截面dO3.极惯性性矩和和抗扭截截面系系数的的计算算(calculatingthepolarmomentofinertia§ionmodulusundertorsion)ρdρODdρdρ（2）空心心圆截截面其中例题2图示空空心圆圆轴外外径D=100mm,内径d=80mm,M1=6kN·m,M2=4kN·m,材料的的切变变模量量G=80GPa.（1）画轴的的扭矩矩图；；（2）求轴的的最大大切应应力,并指出出其位位置.M1M2ABCll解:（1）画轴轴的扭扭矩图图Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2=2kN·mAB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭扭矩发发生在在BC段Tmax=4kN·m4kN·m2kN·m+_T（2）求轴轴的最最大切切应力力,并指出出其位位置max最大切切应力力发生生在截截面的的周边边上,且垂直直于半半径.M1M2ABCllmax1.数学表表达式式(Mathematicalformula)四、强强度条条件(StrengthCondition)2.强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition)强度校核(Checktheintensity)设计截面(Determinetherequireddimensions)确定许可载荷(Determinetheallowableload)ABC解：作轴的的扭矩矩图MeAMeBMeC22kN·m14kN·m+_分别校校核两两段轴轴的强强度例题3图示阶阶梯圆圆轴,AB段的直直径d1=120mm,BC段的直直径d2=100mm.扭转力力偶矩矩为MA=22kN··m,MB=36kN··m,MC=14kN··m.已知材材料的的许用用切应应力[]=80MPa,试校核该该轴的的强度度.因此,该轴满足强强度要求.例题4实心圆轴1和空心圆轴轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩矩M和长度l均相等,最大切应力力也相等.若空心圆轴轴的内外径径之比=0.8,试求空心圆圆截面的外外径和实心心圆截面直直径之比及及两轴的重重量比.ll(a)(b)分析：设实实心圆截面面直径为d1,空心圆截面面的内、外外径分别为为d2、D2;又扭转力偶偶矩相等，，则两轴的的扭矩也相相等，设为为T.已知：dd2D2因此解得两轴材料、、长度均相相同,故两轴的重重量比等于于两轴的横横截面面积积之比在最大切应应力相等的的情况下空空心圆轴比比实心圆轴轴轻,即节省材料料.1.圆轴扭转时时的变形是是用相对扭扭转角来度量的§3-5杆在扭转时时的变形·刚度条件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)一、扭转变变形(Torsionaldeformation)其中d代表相距为为dx的两横截面面间的相对对扭转角.长为l的一段杆两两端面间的的相对扭转转角可按下式计计算3.刚度条件（Stiffnesscondition)2.单位长度扭扭转角(Angleoftwistperunitlength)—扭转角GIp称作抗扭刚刚度称作许可单位长度扭转角(Allowableangleoftwistperunitlength)例题5图示等直杆杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切切弹性模量G=80GPa，DB=1°.试求：（1）AD杆的最大切切应力;（2）扭转角CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：画扭矩矩图计算外力偶偶矩MeDB=CB+DC=1°Tmax=3Me（1）AD杆的最大切应力（2）扭转角CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me例题6某汽车的主主传动轴是是用40号钢的电焊焊钢管制成成,钢管外径D=76mm,壁厚d=2.5mm,轴传递的转转矩Me=1.98kN·m,材料的许用用切应力[]=100MPa,切变模量为为G=80GPa,轴的许可扭角[′]=2/m.试校核轴的的强度和刚度度.DddMeMe解：轴的扭扭矩等于轴轴传递的转转矩轴的内、外外径之比由强度条件件由刚度条件件DddMeMe将空心轴改改为同一材材料的实心心轴,仍使max=96.1MPad=47.2mm实心轴的直径为两轴材料、、长度均相相同,故两轴重量量比等于两两轴的横截截面积比，在最大切应应力相等的的情况下空空心圆轴比比实心圆轴轴轻,即节省材料料.其截面面积积为空心轴的截截面面积为为例题7两端固定的的圆截面杆杆AB,在截面C处受一个扭扭转力偶矩矩Me的作用,如图所示.已知杆的抗抗扭刚度GIp,试求杆两端端的支反力力偶矩.CMeabABl解:去掉约束,代之以约束束反力偶矩矩这是一次超超静定问题题,须建立一个个补充方程ACBMeMeAMeBC截面相对于于两固定端端A和B的相对扭转转角相等.杆的变形相相容条件是是CMeabABlCMeabABl（1）变形几何何方程（2）由物理关关系建立补补充方程解得ACBMeMeAMeB•AC=BC例题8图示一长为l的组合杆,由不同材料料的实心圆圆截面杆和和空心圆截截面杆组成成,内外两杆均均在线弹性性范围内工工作,其抗扭刚度度GaIpa、GbIpb.当此组合杆杆的两端各各自固定在在刚性板上上,并在刚性板板处受一对对矩为Me的扭转力偶偶的作用试试求分别作作用于内、、外杆上的的扭转偶矩矩.MeMelAB解：列平衡衡方程这是一次超超静定问题题.变形相容条条件是内、、外杆的扭转变形形应相同.变形几何方方程是物理关系是是MeMeMelABMaMb代入变形几几何方程,得补充方程程MbMaMeMeMelAB弹簧的螺旋旋角5°,且D>>d,这样的弹簧簧称为密圈圈螺旋弹簧簧.推导这种弹簧的应应力与变形形的计算公公式.§3-6密圈螺旋弹弹簧的应力力和变形(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings)一、弹簧丝丝横截面上上的应力1.内力的计算算(Calculationofinternalforce)F(Calculationofthestressonspringwirecrosssection)簧丝的横截截面上有两两个内力分分量即FSTFPF作为近似计计算,通常可略去去与剪力FS相应的,且D/d很大时,还可略去簧圈曲率的的影响,所以簧杆横横截面上最最大切应力力为2.应力的计算算(Calculationofstress)为便于分析析,将杆的斜度度视为0°截面法公式修正的的原因:（1）当D/d较小,会引起很大大的误差;（2）假定剪切切引起的切切应力是均均匀分布的的.式中c为弹簧指数数,k为曲度系数数,可查教材中中的表3.13.强度条件(Strengthcondition)FSTFPF若只考虑簧簧杆扭转的的影响，可可得簧杆内内的应变能能为二、弹簧的的变形(Deformationofthespring)1.应变能的计计算(Calculationofstrainenergy)3.功能原理Vε=W(Work-energyprinciple)当弹簧的变变形为l时，外力所所做的功为为FFOll2.外力做的功功(Workoftheexternalforce)c—弹簧刚度例题9某柴油机的的气阀弹簧簧,簧圈平均半半经R=59.5mm,簧丝横截面面直径d=14mm,有效圈数n=5.材料的[]=350MPa,G=80GPa,弹簧工作时时总压缩变变形（包括括预压变形）为l=55mm试校核弹簧簧的强度.解：求出弹弹簧所受的的压力F为由R及d求出查表3.1查处弹簧的的曲度系数数k=1.17弹簧满足强强度要求.§3-7非圆截面杆杆的扭转(Torsionofnoncircularprismaticbars)非圆杆,如矩形截面面杆扭转后后横截面将将发生翘曲(warping)而不再是平平面.一、基本概概念(Basicconcepts)（2）若杆的两两端受到约约束而不能能自由翘曲曲，则相邻邻两横截面面的翘曲程程度不同,这将在横截截面上引起起附加的正正应力.这一情况称称为约束扭转(constrainttorsion).（1）等直非圆圆杆在扭转转时横截面面虽发生翘翘曲(warping)，但当等直杆杆在两端受受外力偶作作用，且端面可以以自由翘曲曲时，其相相邻两横截截面的翘曲曲程度完全全相同.横截面上仍仍然只有切切应力而没没有正应力力.这一情况称称为纯扭转(puretorsion)，或自由扭转(freetorsion).bhT矩形截面扭扭转时,横截面切应应力如图所所示,边缘上各点点的切应力力形成与边边界相切的的顺流.整个横截截面上的的最大切切应力发发生在长边的中中点.二、矩形形截面(Rectangularcrosssection)短边中点的切应力是短边上的最大切应力,且hδ切应力在在沿长边边各点处处的方向向均与长长边相切切其数值值除在靠靠近顶点点处以外外均相等等.三、狭长长矩形（Longnarrowrectangle)狭长矩形形截面的的It和Wt狭长矩形形截面上上切应力力的分布布情况见见图表3-1矩形截面面杆在纯纯扭转时时的系数数αβνh/b1.01