振动理论课后答案

1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制？解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为x=Asmx=—AGi-2sin

，x=Asin10nt?食=¥=-侦何’sin1口m；由物体的受力分析，N?=0（极限状态）物体不跳离平台的条件为：兰日；既有如』哭，一萨…坤e,尽扁=”淄由题意可知了=^Hz，得到佥=2加'=10巧，招£993mm。1-2?有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为海二5cm及舟=l°cm时的速度分别为、=20cm/s及比二Scm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。解：设该简谐振动的方程为汇=也心（魂+a）；£=曲g（砒+口）二式平方和为将数据代入上式：—”十（当S冷V如；V如联立求解得A=10.69cm；即=保*2*1/s；丁二次皿％当五二。时，u取最大，即：得：『蜒二力一出叫，答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。精心整理1-3?一个机器内某零件的振动规律为zO.集皿例+0.3*逐，x的单位是cm,卬二10"1/s?。这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。解：振幅A=0.583最大速度=0-583a=18.3cm7s最大加速度？醯=口.涌/=57牝迥％1-4某仪器的振动规律为八心mef+3。泗淑丈。此振动是否为简谐振动?试用x-?t坐标画出运动图。解：因为s/G^wasK、％.又因为T1=2n/3?T2=2n/33，所以，合成运动为周期为T=2n/3s的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。、1-5、已知以复数表示的两个简谐振动分别为免和条'」，试求它们的合成的复数表示式，解：？两简谐振动分别为舟诚，/咛，则：少京=3cos5疽+3isin5#t-———、w3=5cos(5#t+2)+3isin(5=t+2)或a5*%)+3己E；w=A*"、其合成振幅为：只二履革孑=^345其合成振动频率为5疽，初相位为：胆=arctan云j5贝M他们的合成振动为：应拱“*^)?实部：西cos(5m+?arctan*)5虚部：sin(5jrt+?arctan3)

精心整理1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。解：三角波一个周期内函数x?(t)可表示为T=—®做，1了由式得n=1，2，3于是，得x(t)的傅氏级数1-7将题1-7图的锯齿波展为傅氏级数，并画出频谱图。解：锯齿波一个周期内函数P?(t)可表示为T=—肌=—=®'，由式得n=1，2，3于是，得x(t)的傅氏级数■4二山；+M二』脸网=产=。

,1-8将题1-8图的三角波展为复数傅氏级数，并画出频谱图。3T——43T——4P(t)平均值为0——』CQSL1.cossin悬磁g4即n2n——cos12站T+将不4?代入整理得1-9求题1-9图的矩形脉冲的频谱函数及画频谱图形。解：施）可表示为由于得:即:|。0)|.|。0)|.就1sm—-T1-10?求题1-10图的半正弦波的频谱函数并画频谱图形。0</<—业）=，解：频谱函数:2.1一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T2-1所示。已知，a=30。，=1kg，，速度为零，求系统的运动规律。

=1kg，，速度为零，求系统的运动规律。图T2-1图T2-1答案图T2-1解：mgsina1x9.8X2mgsina=kx，x°=矣=49~—=0.1cm:49x10-2=70rad/s1x=xcosot=-0.1cos70tcm2.1图E2.2所示系统中，已知m，C，k，k，%和o。求系统动力学方程和稳态响2.1图E2.2所示系统中，已知m，C，k，k，%和o。求系统动力学方程和稳态响应。*2图E2.1解：xkC1答案图E2.1（a）答案图E2.1（b）等价于分别为x和x的响应之和。先考虑此时右端固结，系统等价为图（a），(1)受力为图（b(1)mx+cx+kx=kAsino+cAocosotk+k°m（1）的解可参照释义（2.56），（1）的解可参照释义（2.56），为：y(t)=垦sin(wt-O)kA-，al+McAocos(ot-O)Vs2】+班)2（2）其中:精心整理故（2）为:考虑到％。的影响，则叠加后的x（t）为:2.2如图T2-2所示，重物w悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重1物w2从高度为h处自由下落到叫上而无弹跳。求w2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。解：动量守怛:w+W解：动量守怛:w+W2%vh平衡位置:W=kxW+WW=kxW+W=kx12x12WTkW+W

i—

k故:故:2.4在图2.4在图E2.4所示系统中，已知m，匕，k2，％和^，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。解：图E2.4X2解：图E2.4X2答案图E2.4取坐标轴气和x2，对连接点A列平衡方程:即:（k+k（k+k:=kx+Fsinot1220（1）对m列运动微分方程:（2（2）mx+kx=kx由（1）（2）消去气得:mx+*1*2由（1）（2）消去气得:mx+*1*2x2匕+k22（3）故:由（3）得:2.5在图E2.3所示系统中，已知m，c，k，f和o，且t=0时x=x

0系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。解:图E2.3A=F（</、，9=tg一1竺_k3—S2）+（2盘）1-s2精心整理求出C,D后，代入上面第一个方程即可得。2.7求图T2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是匕及七，悬臂梁的质量忽略不计。2k»»4k»»图T2-7答案图2k»»4k»»k和k为串联，等效刚度为：k=-^匕。（因为总变形为求和）1212k+k七和k3为并联（因为ki2的变形等于k3的变形），则：%和k4为串联（因为总变形为求和），故：故：2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为o时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为meo2sinot。已知偏心重W=125.5"偏心距e=15.0。布，支承弹簧总刚度系数k=967.7N/cm，测得垂直方向共振振幅x=1.07cm，远离共振时垂直振幅趋m近常值X0=0.32cm。求支承阻尼器的阻尼比及在o=300rmin运行时机器的垂直振幅。图E2.7解：

9=tg-1x(t)=m―■、sin^t-9)，M上—s2)9=tg-1S=1时共振，振幅为:远离共振点时，振幅为:远离共振点时，振幅为:(1)(2)由（2）(1)(2)由（2）menM=——X2由（1）meX—=0.15W=300r:min，W0M①s=—0①1故:2.9如图T2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。图T2-9图T2-9答案图T2-9解：（1）保持水平位置：w：k1+k21m解：（2）微幅转动:故：2.10求图T2-10（1）保持水平位置：w：k1+k21m解：（2）微幅转动:故：2.10求图T2-10所示系统的固有频率图T2-10m的位置：x=七+七mg+xX

ka2mgl=Fa，刚性杆的质量忽略不计。答案图T2-10_mgl♦♦X1akii7a2kk:.k=—，wea2k+12kn\m2.11图T2.11图T2-11所示是个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率;测得频率（2）摆球质量m为0.9kg时，测得频率（'为1.5Hz，m为1.8kg时，为0.75Hz,问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态?

测得频率零平衡位置零平衡位置图T2-1答案图T2-11(1)答案图T2-11(2)解：(1)零平衡位置零平衡位置利用Tmax=Umax'^maxfmax(2)若取下面为平衡位置，求解如下：—（T+U）=0，2ml2。0+26J2—mglI=0dt2.17图T2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，幺kkkk，试问:1=2=3=4=（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？解：图T解：图T2-17(1)（2）x(1)（2）x（t）=xcosWt，xmax0k2.19如图T2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为/,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。图T2-19解：系统动能为:系统动能为:根据:maxmax根据:maxmax'ax""nxmax2.20如图T2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为/0,求系统的固有频率。mm图T2-20解：精心整理系统动能为：系统动能为：根据：T=V，0=必0maxmaxmaxnmax2.24一长度为/、质量为m的均匀刚性杆铰接于。点并以弹簧和粘性阻尼器支承,如图T2-24所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。解：利用动量矩方程，有:J0=-k0a-a-c0l-1，J=-ml232.25图2.25图T2-25所示的系统中刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。图T2-25图T2-25答案图T2-25精心整理解：ca2ml2ca2g=2ml2①nca2m2mlb\k2.26图T2-26所示的系统中，m=1kg,k=144N/m,c=48N?s/m,11=精心整理解：ca2ml2ca2g=2ml2①nca2m2mlb\km,l2=0.5l,l3=0.25L不计刚杆质量，求无阻尼固有频率o及阻尼匚。答案图T2-25图T2-26解：受力如答案图T2-26。对。点取力矩平衡，有：4.7两质量均为m的质点系于具有张力F的弦上，如图E4.7所示。忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态，并计算主质量、主刚度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。图E4.7答案图图E4.7答案图E4.7(1)sin0=0=孔，sin0=0=%K，sin0=0=%11l22l33l根据mi和m2的自由体动力平衡关系，有：当m=m时，令:①2ml=Ysinot，K=———代入矩阵方程，有:根据(2—人Y]—Y2=0得:根据(2—人Y]—Y2=0得:o2=F入ml1，mlo2=2mlml"Y2/2—人i，"Y2第一振型第二振型答案图E4.7(2)4.11图T4-11所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。图T4-11解：先求刚度矩阵。令0=1，x=0，得:*k22令0=0，x=1，得:*k22则刚度矩阵为:一ka2k2再求质量矩阵。令0'=1，x=0，得：mii令O'=0x=1，得:答案图T4-11(3)m21则质量矩阵为：M=1ma23i0m2」故频率方程为:4.11多自由度振动系统质量矩阵M和刚度矩阵K均为正定。对于模态》,和xj及自然数n证明:xt^MK-1^Mx=0，xt解：Kx=W2Mx，等号两边左乘KM-1KM-1Kx=W2KM-Mx=w2Kx，等号两边左乘^KM-1KL=w21重复两次:重复n次得到:XT

itKxjjijKM-1Kx.=w2Kx.，等号两边再左乘KM-1KM-1KM-1Kx.=w2^KM-1KL.，等号两边左乘xtxt^KM-1-2Kx=w2xtijji^KM-1Kx=0，当i2j时

jKx■=W2Mx■，等号两边左乘MK-1Mx.=32MK-iMx.，等号两边左乘xtxtMx=32xt^MK-1ML=0，当i丰j时

ijjij艮PxtMx.=0，当i丰j时重复运算：xtMK-iMx=32xT^MK-JMx=0，当i丰j时

ijjij重复n次。5.1质量m、长/、抗弯刚度EI的均匀悬臂梁基频为3.515(EI/m/3)i/2，在梁自由端放置集中质量m1O用邓克利法计算横向振动的基频。解：<~=3.515、亘，…豆

1\ml32\ml3L15.2不计质量的梁上有三个集中质量，如图E5.2所示。用邓克利法计算横向振动的基频。h「//丁//t「图E5.2解：当系统中三个集中质量分别单独存在时:£9（l£9（l/4）J=1112EI=，£16（l/4）J=2212EI£9（l/4）J=3312EI5.3在图E5.3所示系统中，已知m和k。用瑞利法计算系统的基频。m-^^r—2-m(3OoQoo解：图E5.3解：近似选取假设模态为:系统的质量阵和刚度阵分别为:3k-2k0-2k3k-k0-kkM=diag(m2mm)，K=由瑞利商公式:5.9在图E5.9所示系统中，已知k和J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。/1/17L.2解:两端边界条件为:固定端：XR=-0解:两端边界条件为:固定端：XR=-0_R=6，自由端：XR=-0_R=T0T012T20由自由端边界条件得频率方程:Tn%=0.765.j■km2=1.848,j代入各单元状态变量的第一元素，即:得到模态:精心整理4⑴=11.4141，4⑵=1-1.414>5.10在图E5.10所示系统中，已知GIpi(i=1,2),l.(i=1,2)和J.(i=1,2)。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。解：图E5.10两自由端的边界条件为：XL=9L=1，XR=9R=11T1_0_2T20，GI—p2。lk2其中：k1=土1由自由端边界条件得频率方程:2J+心W=0^=0

:k12112代入各单元状态变量的第一元素，即：■GI12P2W)'l+1l/p12p21得到模态:4⑴=111，4⑵=5.11在图E5.11所示系统中悬臂梁质量不计J2m、l和日已知。用传递矩阵法计算系统的固有频率。图E5.11解：引入无量纲量:Ml—Fl2.ml3W2M=ei，F=a，入=-ei定义无量纲的状态变量:边界条件:左端固结：XR=左端固结：XR=0根据传递矩阵法，有：MF］，右端自由:SXR=[y900}1XR=SpSfX其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为：…11-1000「11--260100一一一1，SF=011-0010120011人001一一"n0001SP=1得：利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程：5.12在图E5.12所示系统中梁质量不计，m、l和日已知，支承弹簧刚度系数k=6EI//3。用传递矩阵法计算系统的固有频率。图E5.12解：图E5.12引入无量纲量：

Ml—F12ml3W2EIm=ei，f—E