材料力学讲义1128T15

材料力学讲授:顾志荣同济大学航空航天与力学学院

顾志荣第四章扭转材料力学第四章扭转一扭转的概念和实例二外力偶矩、扭矩和扭矩图三圆轴扭转时的强度计算四圆轴扭转时的变形计算五扭转超静定问题六矩形截面杆的自由扭转七薄壁杆的自由扭转第四章扭转一扭转的概念和实例第四章扭转/一扭转的概念和实例对称扳手拧紧镙帽承受扭转变形的构件传动轴汽车传动轴第四章扭转/一扭转的概念和实例第四章扭转/一扭转的概念和实例mmmm第四章扭转/一扭转的概念和实例这些构件的受力特点:所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于杆轴的平面内。变形特点:杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。第四章扭转二外力偶矩、扭矩和扭矩图第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图1外力偶矩的计算外力偶矩与功率和转速之间的关系第四四章章扭扭转转/二外外力力偶偶矩矩、、扭扭矩矩和和扭扭矩矩图图2求扭扭转转内内力力的的方方法法—截面面法法ⅠⅠIIMn3受扭扭圆圆轴轴横横截截面面上上的的内内力力—扭矩矩右手手定定则则：：右手手四四指指内内屈屈，，与与扭扭矩矩转转向向相相同同，，则则拇拇指指的的指指向向表表示示扭扭矩矩矢矢的的方方向向，，若若扭扭矩矩矢矢方方向向与与截截面面外外法法线线相相同同，，规规定定扭扭矩矩为为正正，，反反之之为为负负。。第四四章章扭扭转转/二外外力力偶偶矩矩、、扭扭矩矩和和扭扭矩矩图图扭矩矩符符号号规规定定：4扭矩矩的的符符号号规规定定—右手手螺螺旋旋法法则则mIImIIIIII第四四章章扭扭转转/二外外力力偶偶矩矩、、扭扭矩矩和和扭扭矩矩图图例题题已已知知圆圆轴轴受受外外力力偶偶矩矩mA、mB、mC作用用而而处处于于匀匀速速转转动动平平衡衡状状态态，，试试求求1-1、2-2截面面上上的的扭扭矩矩。１１２２已知知圆圆轴轴受受外外力力偶偶矩矩作作用，，匀匀速速转转动动。。则则１１２２用截截面面法法求求内内力力：：１１11扭矩矩第四四章章扭扭转转/二外外力力偶偶矩矩、、扭扭矩矩和和扭扭矩矩图图１１２２１１２２截面面2-2上的的内内力力：：２２第四四章章扭扭转转/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩图（+）１１２２5扭矩随圆轴横横截面的位置置变化的图线线—扭矩图（-）扭矩图第四章扭扭转/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩图例题图示传动轴上上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭扭矩图。如将将A、D轮的位置更换换放置是否合合理？ACBDIIIIIIIIIIII第四章扭扭转/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩图ACBD经由A、B、C、D轮传递的外力力偶矩分别为为解：IIIIIIIIIIII第四章扭扭转/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩图IIIIIIIIIIII绘出扭矩图：：第四章扭扭转/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩图ACBD（-）扭矩Mn-图（+）（在CA段和AD段）IIIIIIIIIIII第四章扭扭转/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩图将A、D轮的位置更换换，则ACBD扭矩Mn-图（-）（AD段）因此将A、D轮的位置更换不合合理。IIIIIIIIIIII第四章扭扭转/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩图课堂练习图示圆轴中，，各轮上的转转矩分别为mA＝4kN·m，mB＝10kN·m,mC＝6kN·m，试求1－1截面和2－2截面上的扭矩矩，并画扭矩矩图。1122轮轴轴承6KNm4KNm第四章扭扭转/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩图第四章扭扭转三圆轴扭转转时的强度计计算第四章扭扭转/三圆轴扭转转时的强度计计算1受扭圆轴横截截面上的剪应应力（1）公式推导的的思路应力分布应力公式变形形应变分布平面假定物性关系静力方程MeMe平面假定变形几何1受扭圆轴横截截面上的剪应应力（2）公式推导过过程dxMnMndxIp截面的极惯性性矩dxTTdxIp截面的极惯性性矩(3)受扭圆轴横截截面上的剪应应力计算公式式扭转截面系数数(3)受扭圆轴横截截面上的剪应应力计算公式式:实心圆截面空心圆截面P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1

z3z1=1203612=360r/min例题已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.P2＝p3＝p1／2。求:各轴横截面上的最最大切应力。解：第四章扭扭转/三圆轴扭转转时的强度计计算max(H)==22.69MPam2Wp2max(C)==21.98MPam3Wp3max(E)=m1Wp1=16.54MPa第四章扭扭转/三圆轴扭转转时的强度计计算2受扭圆轴任意意斜截面上的的应力分析第四章扭扭转/三圆轴扭转转时的强度计计算铸铁低碳钢铸铁试件受扭为为什么沿45º螺旋面断开开？低碳钢试件件受扭为什什么沿横截截面断开？mmAτττAτefef第四章扭扭转/三圆轴扭扭转时的强强度计算讨论:τττσmaxσminτ第四章扭扭转/三圆轴扭扭转时的强强度计算第四章扭扭转/三圆轴扭扭转时的强强度计算3圆轴扭转时时的强度条条件为保证圆轴轴安全工作作，要求轴轴内的最大大工作切应应力不超过过材料的许许用切应力力，即：

式中的许用扭转切应力,是根据扭转试验,并考虑适当的工作安全系数确定的.第四章扭扭转四圆轴扭扭转时的刚刚度计算第四章扭扭转/四圆轴扭扭转时的刚刚度计算1扭转角与与剪切切角mm第四章扭扭转/四圆轴扭扭转时的刚刚度计算2圆轴扭转时时的变形计计算如图所示阶阶梯轴。外力偶矩m1＝0.8KN·m，m2＝2.3KN·m，m3＝1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的的剪切弹性性模量G＝80GPa，试计算φAB和φAC。0.8kN·m1.5kN·m0.8m1.0mABC例题图示一空心心传动轴，，轮1为主动轮，，力偶矩m1＝9KN·m，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别别为m2＝4KN·m，m3＝3.5KN·m，m4＝1.5KN·m。已知空心心轴内外径径之比d/D＝1/2，试设计此轴轴的外径D，并求出全轴轴两端的相相对扭转角角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。5kN1.5kN4kN500500500例题已知钻探机机杆的外径径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土土深度L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。设土壤对对钻杆的阻阻力是沿长长度均匀分分布的，试试求：（1）单位长度度上土壤对对钻杆的阻阻力矩m；（2）作钻杆的的扭矩图，，并进行强强度校核；；（3）求A、B两截面相对对扭转角。。单位长度阻阻力矩例题一内径为d、外径为D=2d的空心圆管管与一直径径为d的实心圆杆杆结合成一一组合圆轴轴，共同承承受转矩Me。圆管与与圆杆的的材料不不同，其其切变模模量分别别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两两杆扭转转变形时时无相对对转动，，且均处处于线弹弹性范围围。试问问两杆横横截面上上的最大大切应力力之比τ1/τ2为多大？？并画出出沿半径径方向的的切应力力变化规规律。因两杆扭扭转变形形时无相相对转动动例题第四章扭扭转转/四圆轴轴扭转时时的刚度度计算3圆轴扭转转时的刚刚度条件件要求单位位长度的的扭转角角不超过过某一许许用值,即:试分别按实实心圆轴轴和空心心圆轴选选择其直直径，并并比较二二种截面面轴之重重量。解：1.计算外力偶矩画扭矩图。例1：钢制传动轴已知：n＝300（r.p.n），d／D＝1／2，输入功率:NA＝360kW，输出功率:NB＝NC＝110kW，ND＝140kW；

BCADmBmCmAmD＋70044456－xoT/N.m3502－＋T／N.mx350270044456危险截面面：AC段。2.选择实心圆轴直径按强度条件按刚度条件2.选择空心圆轴直径按强度条件按刚度条件由此应选选直径D=11.6cm，d＝D／2＝5.8cm3.重量比由此应选直径解：由传动轴轴的尺寸寸计算抗抗扭截面面模量：：轴的最大大剪应力力例题2某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Mx=1500N.m,试校核此轴的强度。已知[]=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径为？所以此轴轴安全。。若此轴改改为实心心轴，而式中解得：实心轴的的横截面面面积为为空心轴的的横截面面面积空心轴与与实心轴轴的重量量之比：：因此在承承载能力力相同的的条件下下，使用用空心轴轴比较节节约材料、、比较经经济。采用空心心轴可有有效地减减轻轴的的重量，，节约材材料。因为①根据应力力分布规规律，轴心附近近处的应应力很小小，对实实心轴而而言，轴轴心附近处处的材料料没有较较好地发发挥其作作用；②从截面的的几何性性质分析析，横截面面面积相同同的条件件下，空空心轴材材料分布远离离轴心，，其极惯惯性矩Ip必大于实实心轴，，扭转截截面系数数Wp也比较大，强强度和刚刚度均可可提高；；③通常所所讲保持持强度不不变，即即指最大大切应力力值不变变；保持持刚度不不变，即即指截面面图形极极惯性矩矩保持不不变。④对于轴轴的强度度或刚度度，采用用空心轴轴比实心心轴都较较为合理理。例题3图示等截面圆轴，已知d=90mm,l=50cm,,。轴的材料为钢，G=80GPa,求（1）轴的最大剪应力；（2）截面B和截面C的扭转角；（3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔的孔径d´应为多大？AllBCd1122AllBCd（+）（-）扭矩图解：(1)轴的最大大剪应力力作扭矩图图：2211因此AllBCd（2）扭转角角截面B：截面CAllBCd（3）BC段孔径d’由得解得：AllBCd例题4图示圆截截面杆AB左端固定定，承受受一集度度为t的均布力力偶矩作作用。试试导出计计算截面面B的扭转角角公式。。Lt

xdx解：取微段作作为研究究对象。。Mx(x)Mx(x)

L-xtMx(x)根据平衡衡条件求求得横截截面上的的扭矩为：微段两端端截面的的相对扭扭转角为为AB因此LtAB第四章扭扭转转五扭转转超静定定问题扭转超静静定问题题的解法法：（1）建立静静力平衡衡方程；；（2）由变形形协调条条件建立立变形协协调方程程；（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：，代入变形协调方程，得到补充方程；（4）补充方方程与静静力平衡衡方程联联立，求求解所有有的未知知反力偶或扭扭矩。例题6一两端固固定的圆圆截面杆杆AB受力偶矩矩作用如如图。要求：1）作扭矩矩图；2）若m=10KN.m,材料的[]=60MPa，试选择此等等直圆截截面杆直直径。MABClMDll例题7一组合杆杆由实心心杆1和空心管管2结合在一一起所组组成，杆杆和管的的材料相相同。剪剪切模量量为G,试求组合合杆承受受外力偶偶矩m以后，杆杆和管内内的最大大剪应力力，并绘绘出横截截面上应应力分布布的规律律。如果果杆和管管的材料料不相同同，结果果又怎样样？12Mn12解：（1）静力学学关系（2）变形协协调条件件（3）物理关关系：代入变形形协调方方程，得得补充方方程（4）补充方方程与静静力平衡衡方程联联立，解解得（5）最大剪剪应力杆1：管2：第四章扭扭转转六矩形形截面杆杆的自由由扭转自由扭转转：非圆截面面轴扭转转时，横横截面不不再保持持平面而而发生翘翘曲。约束扭转转：横截面可以自自由翘曲。横截面的翘曲曲受到限制。。横截面上只有有切应力而无正应力横截面上既有有切应力又有有正应力矩形截面轴扭扭转时切应力力的分布特点点角点切应力等等于零边缘各点切