初中数学概率与统计教案

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）概率与统计热点一统计与统计案例以统计图表或文字叙述的实际问题为载体，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力与运算能力及应用意识.【例1】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：eq\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))yi＝9.32，eq\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))tiyi＝40.17，eq\r(\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up2(－))）2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.参考公式：相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（ti－\o(t,\s\up2(－))）（yi－\o(y,\s\up2(－))）,\r(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（ti－\o(t,\s\up2(－))）2\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up2(－))）2))，回归方程eq\o(y,\s\up2(^))＝eq\o(a,\s\up1(^))＋eq\o(b,\s\up3(^))t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq\o(b,\s\up3(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（ti－\o(t,\s\up2(－))）（yi－\o(y,\s\up2(－))）,\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（ti－\o(t,\s\up2(－))）2)，eq\o(a,\s\up1(^))＝eq\o(y,\s\up1(－))－eq\o(b,\s\up3(^))eq\o(t,\s\up1(－)).解(1)由折线图中数据和附注中参考数据得eq\o(t,\s\up1(－))＝4，eq\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up1(－)))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up1(－))）2)＝0.55.eq\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up1(－)))(yi－eq\o(y,\s\up1(－)))＝eq\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))tiyi－eq\o(t,\s\up1(－))eq\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,2×2.646×0.55)≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(2)由eq\o(y,\s\up1(－))＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up3(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))（ti－\o(t,\s\up1(－))）（yi－\o(y,\s\up1(－))）,\o(∑,\s\up7(7),\s\do8(i＝1))（ti－\o(t,\s\up1(－))）2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103，eq\o(a,\s\up1(^))＝eq\o(y,\s\up1(－))－eq\o(b,\s\up3(^))eq\o(t,\s\up1(－))≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为eq\o(y,\s\up1(^))＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得eq\o(y,\s\up1(^))＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.教材探源1.本题源于教材(必修3P90例)有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/℃－504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数.2.(1)考题以形求数，教材是由数到形再到数；(2)考题与教材都是“看图说话，回归分析预测”，但考题中以具体数字(相关系数)说明拟合效果，突显数学直观性与推理论证的巧妙融合，进一步考查考生的数据处理能力与运算能力及应用意识，源于教材，高于教材.【类题通法】1．分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.2．求线性回归方程的关键是正确运用eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式进行准确的计算.【对点训练】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得eq\o(x,\s\up1(－))＝eq\f(1,16)eq\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))xi＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up1(－))）2)＝eq\r(\f(1,16)（\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－16\o(x,\s\up1(－))2）)≈0.212，eq\r(\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))（i－8.5）2)≈18.439，eq\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up1(－)))(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.(1)求(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(eq\o(x,\s\up1(－))－3s，eq\o(x,\s\up1(－))＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(eq\o(x,\s\up1(－))－3s，eq\o(x,\s\up1(－))＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差(精确到0.01).附：样本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up1(－))）（yi－\o(y,\s\up1(－))）,\r(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up1(－))）2)\r(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up1(－))）2))，eq\r(0.008)≈0.09.解(1)由样本数据得(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up1(－))）（i－8.5）,\r(\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up1(－))）2)\r(\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))（i－8.5）2))≈eq\f(－2.78,0.212×\r(16)×18.439)≈－0.18.由于|r|<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)①由于eq\o(x,\s\up1(－))＝9.97，s≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(eq\o(x,\s\up1(－))－3s，eq\o(x,\s\up1(－))＋3s)以外.因此需对当天的生产过程进行检查.②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为eq\f(1,15)(16×9.97－9.22)＝10.02，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.eq\o(∑,\s\up7(16),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)≈16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为eq\f(1,15)(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为eq\r(0.008)≈0.09.热点二实际问题中的概率计算概率应用题侧重于古典概型，主要考查随机事件、等可能事件、互斥事件、对立事件的概率.解决简单的古典概型试题可用直接法(定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或其对立事件的概率求解.【例2】某校为了了解A，B两班学生寒假期间观看《中国诗词大会》的时长，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们观看的时长(单位：小时)作为样本，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字).(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平均观看的时间较长；(2)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a>b的概率.解(1)A班样本数据的平均值为eq\f(1,5)(9＋11＋14＋20＋31)＝17.由此估计A班学生平均观看时间大约为17小时；B班数据的平均值为eq\f(1,5)(11＋12＋21＋25＋26)＝19.由此估计B班学生平均观看时间大约为19小时；则19>17.由此估计B班学生平均观看时间较长.(2)A班的样本数据不超过19的数据a有3个，分别为9，11，14.B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，分别为11，12，21，从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为(9，11)，(9，12)，(9，21)，(11，11)，(11，12)，(11，21)，(14，11)，(14，12)，(14，21)，其中a>b的情况有(14，11)，(14，12)两种，故a>b的概率P＝eq\f(2,9).【类题通法】1.准确区分古典概型与几何概型，其本质区别在于试验结果是有限还是无限.2.对于较复杂的古典概型的基本事件空间，最易出现“重”和“漏”，要避免这类错误，首先要正确理解题意，明确一些常见的关键词，如“至多”“至少”“只有”等；其次，要按一定的规律列举.【对点训练】某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆.目前我国主流纯电动汽车按续航里程数R(单位：千米)分为3类，即A类：80≤R＜150，B类：150≤R＜250，C类：R≥250.该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：类型A类B类C类已行驶总里程不超过10万千米的车辆数104030已行驶总里程超过10万千米的车辆数202020(1)从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过10万千米的概率；(2)公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车.①求n的值；②如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率.解(1)从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过10万千米的概率为P1＝eq\f(20＋20＋20,140)＝eq\f(3,7).(2)①依题意n＝eq\f(30＋20,140)×14＝5.②5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆，记为a，b，c；5辆车中已行驶总里程超过10万千米的车有2辆，记为m，n.“从5辆车中随机选取两辆车”的所有选法共10种：ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn.“从5辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过10万千米”的选法共6种：am，an，bm，bn，cm，cn，则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过10万千米的概率P2＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).热点三概率与统计的综合问题统计和概率知识相结合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向，概率和统计初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，在此基础上掌握好样本数字特征及各类概率的计算.【例3】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率.满分解答(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.3分(得分点1)(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4.所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.5分(得分点2)(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，8分(得分点3)从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}.11分(得分点4)又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝eq\f(1,10).12分(得分点5)得分要点❶得步骤分：步骤规范，求解完整，解题步骤常见的失分点，第(2)问中，不能用频率估计概率，第(3)问中步骤不完整，没有指出“基本事件总数”与“事件M”包含的基本事件个数，或者只指出事件个数，没有一一列举10个基本事件及事件M包含的基本事件，导致扣3分或2分.❷得关键分：如第(1)问中，正确求得a＝0.006；第(3)问中列出10个基本事件，错写或多写，少写均不得分.❸得计算分：如第(1)、(2)问中，要理清频率直方图的意义，计算正确，否则导致后续皆错大量失分，第(3)问中利用“频数、样本容量、频率之间的关系”求得各区间的人数，准确列出基本事件，正确计算概率.【对点训练】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机