相似三角形经典大题

..相似三角形1.如图,已知一个三角形纸片,边的长为8,边上的高为,和都为锐角,为一动点〔点与点不重合,过点作,交于点,在中,设的长为,上的高为．〔1请你用含的代数式表示．〔2将沿折叠,使落在四边形所在平面,设点落在平面的点为,与四边形重叠部分的面积为,当为何值时,最大,最大值为多少？[答案]解：〔1〔2的边上的高为,当点落在四边形内或边上时,=〔0当落在四边形外时,如下图,设的边上的高为,则所以综上所述：当时,,取,当时,,取,当时,最大,MMNCBEFAA12．如图,抛物线经过三点．〔1求出抛物线的解析式；〔2P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；[答案]解：〔1该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为．将,代入,得解得此抛物线的解析式为．〔2存在．如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为,当时,,．又,①当时,,即．解得〔舍去,．②当时,,即．解得,〔均不合题意,舍去当时,．类似地可求出当时,．当时,．综上所述,符合条件的点为或或．3．如图,已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合．〔1求的面积；〔2求矩形的边与的长；〔3若矩形从原点出发,沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为秒,矩形与重叠部分的面积为,求关于的函数关系式,并写出相应的的取值范围．AADBEOCFxyy〔G[答案]〔1解：由得点坐标为由得点坐标为∴由解得∴点的坐标为∴〔2解：∵点在上且∴点坐标为又∵点在上且∴点坐标为∴〔3解法一：当时,如图1,矩形与重叠部分为五边形〔时,为四边形．过作于,则AADBEORFxyyM〔图3GCADBEOCFxyyG〔图1RMADBEOCFxyyG〔图2RM∴即∴∴即当时,如图2,为梯形面积,∵G〔8－t,0∴GR=,∴当时,如图3,为三角形面积,4．如图,矩形中,厘米,厘米〔．动点同时从点出发,分别沿,运动,速度是厘米／秒．过作直线垂直于,分别交,于．当点到达终点时,点也随之停止运动．设运动时间为秒．〔1若厘米,秒,则______厘米；〔2若厘米,求时间,使,并求出它们的相似比；〔3若在运动过程中,存在某时刻使梯形与梯形的面积相等,求的取值范围；〔4是否存在这样的矩形：在运动过程中,存在某时刻使梯形,梯形,梯形的面积都相等？若存在,求的值；若不存在,请说明理由．DDQCPNBMADQCPNBMA[答案]解：〔1,〔2,使,相似比为〔3,,即,当梯形与梯形的面积相等,即化简得,,,则,〔4时梯形与梯形的面积相等梯形的面积与梯形的面积相等即可,则,把代入,解之得,所以．所以,存在,当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等．5．如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t〔s,解答下列问题：〔1当t＝2时,判断△BPQ的形状,并说明理由；〔2设△BPQ的面积为S〔cm2,求S与t的函数关系式；〔3作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ？[答案]解：<1>△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.<2>过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以S△BPQ=×BP×QE=<6-t>×t=－t2+3t；<3>因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600,∠RQC=∠B=600,又因为∠C=600,所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos600=×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以当t=时,△APR～△PRQ6．在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA＝90º,CB＝3,OA＝6,BA＝3eq\r<5>．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．〔1求点B的坐标；〔2已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD＝5,OE＝2EB,直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；〔3点M是〔2中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在,请求出点N的坐标；若不存在,请说明理由．AABDE〔第26题图1FCOMNxy.7．在图15-1至图15-3中,直线MN与线段AB相交图7图7-2ADOBC21MN图7-1ADBMN12图7-3ADOBC21MNO于点O,∠1

=

∠2

=

45°．〔1如图15-1,若AO

=OB,请写出AO与BD数量关系和位置关系；〔2将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2,其中AO

=

OB．求证：AC

=

BD,AC

⊥BD；〔3将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3,求的值．[答案]解：〔1AO=

BD,AO⊥BD；图4ADOBC21MNEF〔2证明：如图4,过点B作BE∥CA交图4ADOBC21MNEF又∵AO

=

OB,∠AOC

=∠BOE,∴△AOC

≌

△BOE．∴AC

=

BE．又∵∠1

=

45°,∴∠ACO

=

∠BEO

=

135°．∴∠DEB

=

45°．∵∠2

=

45°,∴BE

=

BD,∠EBD

=

90°．∴AC

=

BD．延长AC交DB的延长线于F,如图4．∵BE∥AC,∴∠AFD=

90°．∴AC⊥BD．〔3如图5,过点B作BE∥CA交DO于E,∴∠BEO=

∠ACO．又∵∠BOE=

∠AOC,AOBC1DAOBC1D2图5MNE∴．又∵OB=kAO,由〔2的方法易得BE=BD．∴．10．如图,已知过A〔2,4分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M、N,若点P从O点出发,沿OM作匀速运动,1分钟可到达M点,点Q从M点出发,沿MA作匀速运动,1分钟可到达A点。〔1经过多少时间,线段PQ的长度为2？〔2写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；〔3在P、Q运动过程中,是否可能出现PQ⊥MN？若有可能,求出此时间