对数函数指数函数与幂函数的增长差异答案

答案与评分标准一、选择题（共8小题）1、给出三种函数模型：f（x）=xn（n＞0），g（x）=ax（a＞1）和h（x）=logax（a＞1）．根据它们增长的快慢，则一定存在正实数x0，当x＞x0时，就有（） A、f（x）＞g（x）＞h（x） B、h（x）＞g（x）＞f（x） C、f（x）＞h（x）＞g（x） D、g（x）＞f（x）＞h（x）考点：函数的图象与图象变化；对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：计算题；作图题。分析：先分别画出三种函数模型：f（x）=xn（n＞0），g（x）=ax（a＞1）和h（x）=logax（a＞1）的示意图．观察图象发现，指数函数g（x）=ax（a＞1）的函数值增长速度最快，其次是幂函数f（x）=xn（n＞0），最后是对数函数h（x）=logax（a＞1）．根据它们增长的快慢从而得出结论．解答：解：分别画出三种函数模型：f（x）=xn（n＞0），g（x）=ax（a＞1）和h（x）=logax（a＞1）的示意图．观察图象发现，指数函数g（x）=ax（a＞1）的函数值增长速度最快，其次是幂函数f（x）=xn（n＞0），最后是对数函数h（x）=logax（a＞1）．根据它们增长的快慢，则一定存在正实数x0，当x＞x0时，就有g（x）＞f（x）＞h（x）．故选D．点评：本小题主要考查对数函数、指数函数与幂函数的增长差异等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2、某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是（） A、y=100x B、y=50x2﹣50x+100 C、y=50×2x D、y=100log2x+100考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：应用题。分析：当x=1，2时，基本上都没有误差，检验当x=3或4时，各个选项中的函数值与真实值的误差大小，应选误差小的．解答：解：对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x=3或4时误差也较大．对于C中的函数，当x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小，故选C．点评：本题考查指数函数、幂函数、对数函数的增长差异，比较各个选项中的函数值与真实值的误差大小，应选误差小的．3、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（） A、一次函数 B、二次函数 C、指数型函数 D、对数型函数考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：应用题。分析：由题意可知，利润y与时间x的关系是个增函数，而且增长速度越来越慢，符合对数函数的特征．解答：解：由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型，故选D．点评：本题考查指数函数、幂函数、对数函数的增长差异，增长最快的是指数函数，增长最慢的是对数函数．4、某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（m2）与时间t（月）之间的函数关系是y=at﹣1（a＞0，且a≠1），它的图象如图所示．给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是；②到第7个月浮草的面积一定能超过60m2③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到4m2，16m2，64m2所经过时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＜t3，其中所有正确命题的序号是（） A、①② B、①④ C、②③ D、②④考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：图表型。分析：先根据图象经过点（2，2）求出a，代入函数的解析式，即可求出底数a，进而即可求出这个指数函数的表达式；然后对各个选择支进行逐一判断即可．令t=0时，y==即可对①进行判断；对于②，将t=7代入函数的解析式，即可求出第7个月时浮萍的面积；对于③，当t=1时，和当t=2时，计算这两个月增加的面积；分别将y=4、16、64分别代入函数解析式，求出对应的t值，即可对于④进行判断．解答：解：根据图象过点（2，2）可知点（2，2）适合y=at﹣1即2=a∴函数关系是y=2t﹣1令t=0时，y==，故①正确；令t=7时，y=26=64＞60，故②正确；当t=1时，y=1，增加，当t=2时，y=2，增加1，每月增加的面积不相等，故③不正确；分别令y=4、16、64，解得t1=3，t2=5，t3=7，t1+t2＞t3，故④不正确．其中所有正确命题的序号是：①②故选A．点评：本题考查的知识点是指数函数的综合应用、指数函数与幂函数的增长差异、函数的图象等知识，其中根据图象，确定函数图象经过的点的坐标，求出函数的解析式是解答本题的关键．5、由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，现在价格8100元的计算机15年后的价格为（） A、300元 B、900元 C、2400元 D、3600元故选C．点评：本题主要考查了对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，以及指数的运算法则，属于基础题．6、已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜，则实数a的取值范围是（） A、∪[2，+∞） B、∪（1，4] C、∪（1，2] D、∪[4，+∞）考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：数形结合。分析：由题意可知，ax＞在（﹣1，1）上恒成立，令y1=ax，y2=，结合图象，列出不等式组，解不等式组，求出a的取值范围．解答：解：由题意可知，ax＞在（﹣1，1）上恒成立，令y1=ax，y2=，由图象知：0＜a＜1时a1≥=，即≤a＜1；当a＞1时，a﹣1≥=，可得1＜a≤2．∴≤a＜1或1＜a≤2．故选C．点评：本题考查不等式组的解法，体现了数形结合和转化的数学思想．7、a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1（x）=x2，，f3（x）=log2x，f4（x）=2x，如果运动的时间足够长，则运动在最前面的物体一定是（） A、a B、b C、c D、d考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：阅读型。分析：指数函数是一个变化最快的函数，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数函数运动的动物，即一定是第四种动物．解答：解：根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数函数运动的物体，即一定是第四种物体，故选D．点评：本题考查几种基本初等函数的变化趋势，只要注意到指数函数是一个爆炸函数，它的变化是最快的，齐次是递增的幂函数．8、下列说法正确的是（） A、函数y=f（x）的图象与直线x=a可能有两个交点 B、函数y=log2x2与函数y=2log2x是同一函数 C、对于[a，b]上的函数y=f（x），若有f（a）•f（b）＜0，那么函数y=f（x）在（a，b）内有零点 D、对于指数函数y=ax（a＞1）与幂函数y=xn（n＞0），总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：阅读型。分析：对于A：函数是特殊的映射，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，函数y=f（x）的图象也是．对于B：从函数的定义域出发考虑即可；对于C：注意应用零点存在性定理的条件；对于D：从对数函数、指数函数与幂函数的增长差异角度考虑即可．解答：解：A：函数y=f（x）中，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，∴函数y=f（x）的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点．（A）就不对了．B：由于两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，错；C：根据零点存在性定理知，要求函数f（x）在区间[a，b]上连续才行，故其不正确；故选D．点评：深刻理解函数的概念是解决问题的关键，并不是任意一个图都可以作为函数图象的．这一点要特别注意．二、填空题（共7小题）9、若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=155．（考点：指数函数的单调性与特殊点；对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：计算题。分析：利用题中提示lg2≈，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可．点评：本题考查了利用指数形式和对数形式的互化．熟练掌握对数的性质．对数的运算性质是解决本题的关键．10、光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为0.729a．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：计算题。分析：光线原来的强度为a，光线每通过一块玻璃板时，强度变为原来的倍，故通过n块玻璃板后的强度变为原来的2n倍．解答：解：光线每通过一块玻璃板时，强度变为原来的倍，则通过3块玻璃板后的强度变为a×=．故答案为：．点评：本题考查指数函数的特征，通过n块玻璃板后的强度y=a×2n．11、函数y=x3与函数y=x2lnx在区间（0，+∞）上增长速度较快的一个是y=x3．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：计算题。分析：利用幂函数与对数函数的增长速度的差异，当x足够大时，函数y=x3导数远大于函数y=x2lnx的导数，故在（0，+∞）上增长较快的是幂函数，函数y=x2lnx增长较慢．解答：解：函数y=x3导数的为y′=3x2，函数y=x2lnx的导数为y′=2xlnx+x，当x足够大时，3x2远大于2xlnx+x，∴幂函数的增长速度远大于函数y=x2lnx的增长速度，故函数y=x3与函数y=x2lnx在区间（0，+∞）上增长速度较快的一个是y=x3．故答案为：y=x3点评：本题考查幂函数与对数函数的增长速度的差异，在（0，+∞）上增长较快的是幂函数，对数函数增长较慢．12、函数y=x2与函数y=xlnx在区间（1，+∞）上增长较快的一个是y=x2．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：阅读型。分析：利用幂函数与对数函数的增长速度的差异，当x足够大时，函数y=x2导数远大于函数y=xlnxd的导数，故在（1，+∞）上增长较快的是幂函数，对数函数增长较慢．解答：解：函数y=x2导数的为y′=2x，函数y=xlnxd的导数为y′=lnx+1，当x足够大时，2x远大于lnx+1，∴幂函数的增长速度远大于对数函数的增长速度，故函数y=x2与函数y=xlnx在区间（1，+∞）上增长较快的一个是函数y=x2．点评：本题考查幂函数与对数函数的增长速度的差异，在（1，+∞）上增长较快的是幂函数，对数函数增长较慢．13、地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数．①f（x）=p•qx；②f（x）=px2+qx+1；③f（x）=x（x﹣q）2+p．（以上三式中p、q均为常数，且q＞1，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，依次类推）．（1）为准确研究其价格走势，应选③种价格模拟函数．（2）若f（0）=4，f（2）=6，预测该果品在5月、6月月份内价格下跌．（5月、6月）考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：应用题。分析：（1）欲找出能较准确反映数学成绩与考试序次关系的模拟函数，主要依据是呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f（x）=x（x﹣q）2+p为其成绩模拟函数．（2）由题中条件：f（0）=4，f（2）=6，得方程组，求出p，q即可，从而得到f（x）的解析式即可预测该果品在哪几个月份内价格下跌．解答：解：（1）因为f（x）=pqx是单调函数，f（x）=px2+qx+1，只有两个单调区间，不符合题设中的价格变化规律在f（x）=（x﹣1）（x﹣q）2+p中，f′（x）=3x2﹣4qx+q2，令f′（x）=0，得x=q，x=，即f（x）有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，符合题设中的价格变化规律所以应选f（x）=x（x﹣q）2+p为其成绩模拟函数．（2）①由f（0）=4，f（2）=6，得得f（x）=x3﹣6x2+9x+4（1≤x≤12，且x∈Z）．由f′（x）=3x2﹣12x+9≤0得：1≤x≤3，由题意可预测该果品在5、6月份内价格下跌．故答案为：（1）③；（2）5月、6月．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．14、某地野生微甘菊的面积与时间的函数关系的图象，如图所示假设其关系为指数函数，并给出下列说法①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生微甘菊的面积就会超过30m2；③设野生微甘菊蔓延到2m2，3m2，6m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1+t2=t3；④野生微甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度其中正确的说法有①，②，③（请把正确说法的序号都填在横线上）．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：常规题型。分析：根据其关系为指数函数，图象过（4，16）点，得到指数函数的底数为2，当t=5时，s=32＞30，利用指对互化做出三个时间的值，结果相等，根据图形的变化趋势看出最后一个命题错误．解答：解：∵其关系为指数函数，图象过（4，16）点，∴指数函数的底数为2，故①正确，当t=5时，s=32＞30，故②正确∵t1=1，t2，=log23，t3=log26，∴有t1+t2=t3，故③正确，根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．故答案为：①②③．点评：本题考查指数函数的变化趋势，解题的关键是题目中有所给的点，根据所给的点做出函数的解析式，从解析式上看出函数的性质．15、地震的震级R与地震释放的能量E的关系为.2008年5月12日，中国汶川发生了级特大地震，而1989年旧金山海湾区域地震的震级为级，那么2022年地震的能量是1989年地震能量的即lg=3，∴=103=1000．那么2022年地震的能量是1989年地震能量的1000倍．故答案为：1000点评：本题主要考查了对数函数的应用，以及对数的运算，属于对数函数的综合题，难度属于基础题．三、解答题（共4小题）16、已知函数f（x）=（常数a＞0），且f（1）+f（3）=﹣2．（1）求a的值；（2）试研究函数f（x）的单调性，并比较f（t）与的大小；（3）设g（x）=，是否存在实数m使得y=g（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数恒成立问题；对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。分析：（1）有条件f（1）+f（3）=﹣2易得a的值．（2）可利用定义讨论函数的单调性．（3）实际上是根的存在行问题，可以通过等价转化求解．解答：解：（1）由f（1）+f（3）=+=﹣2．有a（a﹣2）=0．又a＞0，所以a=2．（2）由（1）知函数f（x）=，其定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞），设x1、x2∈（﹣∞，2）且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣=＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数，同理可得，f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．令h（x）==+2，则函数h（x）在区间（﹣∞，0），（0，+∞）上是减函数，当t∈时，f（t）＞f=，h（t）＜h=﹣1，2h（t）＜2﹣1=，所以f（t）＞．当t∈时，f（t）＜f=7，h（t）＞h=，2h（t）＞＞23=8，所以f（t）＜．综上，当t∈时，f（t）＞；当t∈时，f（t）＜．（3）g（x）=．由题意可知，方程在{x|x≥﹣2且x≠2}中有实数解，令=t，则t≥0且t≠2，问题转化为关于t的方程mt2﹣t+2=0①，有非负且不等于2的实数根．若t=0，则①为2=0，显然不成立，故t≠0，方程①可变形为m=﹣22+，问题进一步转化为求关于t的函数（t≥0且t≠2）的值域，因为t≥0且t≠2，所以＞0且≠，所以m=﹣22+∈（﹣∞，0）∪（0，]，所以实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，]．点评：本题主要考查了函数的单调性以及根的存在性问题，比较复杂，但解题方法均为基本方法，要求掌握．17、函数f（x）=2x和g（x）=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．（I）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？（II）证明：x1∈[1，2]，且x2∈[9，10]；（III）结合函数图象的示意图，判断f（6），g（6），f（2022），g（2022）的大小，并按从小到大的顺序排列．（II）证明：令φ（x）=f（x）﹣g（x）=2x﹣x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点，由于φ（1）=1＞0，φ（2）=﹣4＜0，φ（9）=29﹣93＜0，φ（10）=210﹣103＞0，所以方程φ（x）=f（x）﹣g（x）的两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10）∴x1∈[1，2]，x2∈[9，10]（III）从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f（x）＜g（x），∴f（6）＜g（6）．（9分）当x＞x2时，f（x）＞g（x），∴g（2022）＜f（2022），（11分）∵g（6）＜g（2022），∴f（6）＜g（6）＜g（2022）＜f（2022）．（12分）点评：本题考查指数函数与幂函数的增长的差异，解题的关键是知道指数函数是一个爆炸函数，在一个范围上变化的特别快．18、函数f（x）=2x和g（x）=x3的部分图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2．（1）请指出示意图中曲线C1、C2分别对应哪一个函数？（2）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，指出a、b的值，并说明理由；（3）结合函数图象示意图，请把f（6）、g（6）、f（2022）、g（2022）四个数按从小到大的顺序排列．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异。专题：数形结合。分析：（1）由幂函数和指数函数的增长的特点知，当自变量取值足够大时