下实数辅导讲义终极版

第六章实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。即：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“ a”（a称为被开方数）。2）平方根的性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；②0只有一个平方根，它就是0本身；③负数没有平方根.3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做 a的算术平方根，记作“ a”。（5）a本身为非负数，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。（6）公式：(2a)=a（a≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于 a，这个数就叫做 a的立方根(也叫做三次方根)。即：如果 x3=a,把x叫做a的立方根。数 a的立方根用符号“ 3a”表示，读作“三次根号 a”。（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根； 0的立方根是0；负数有一个负的立方根。（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 求一个数的立方根可以通过立方运算来求 .3、平方根与立方根与区别：只有正数和 0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有 2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根， 并且符号与这个数一致；4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身，aa0a0a0②一个负数的绝对值是它的相反数，aa0③零的绝对值是零。一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。注意：aa0a2a0a0题型规律总结：aa01、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、

a本身为非负数，有非负性，即

a≥0；

a有意义的条件是

a≥0。4、公式：⑴(

a)2=a（a≥0）；⑵

3

a=

3

a（a取任何数）。5、区分(

a)2=a（a≥0），与

a2

=

a6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于

0，则每一个非负数都为

0（此性质应用很广，务必掌握）。一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如 25 5, 2500 508、.识记常用平方表：（自行完成）222229.易混淆的三个数（自行分析它们）：（1）1=6=11=16=21=22=2222a2（2）(a)2（3）3a37=12=17=22=2222210、识记下列各式的值，结果保留4个3=8=13=18=23=42=92=142=192=242=有效数字：52=102=152=202=252=【典型例题】题型一、平方根定义的运用例1、一个正数的平方根为3a和2a3，求这个数？变式1、已知2a1和a2是m的平方根，求m的值？变式

2、已知某个数的平方根分别为

a 3和2a

15，求

a和这个数？例2、（1）下列各数是否有平方根， 请说明理由

①（-3）2

②

0

2

③2（2）下列说法对不对？为什么？① 4有一个平方根③ 任何数都有平方根

②④

只有正数有平方根若a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数例3、求下列各数的平方根：161(1)94(3)9(2)(4)变式3、.下列语句中，正确的是（）A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B ．负数没有立方根C．一个实数的立方根不是正数就是负数 D ．立方根是这个数本身的数共有三个变式4.下列说法正确的是（）A．-2是（-2）2的算术平方根B．3是-9的算术平方根C．16的平方根是±4D．27的立方根是±3题型三、化简求值例1、已知0x3，化简：(21)2x5变式1、若xx1x10,化简：（12x）例2已知a,b,c实数在数轴上的对应点如图所示，化简a2abca(bc)2变式2、实数a在数轴上的位置如图所示,化简:a1(a2)2=变式3如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，5，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（）A.5－2B.2－5C.5－3－5例3、当a<0时，化简 的结果是( )A0 B-1 C 1 D?例4、化简下列各式：(1)|

|(2)

|

π

|

(3)||

-【变式1】化简：题型四、利用非负数的性质求代数式a2 0 a 0 a 0(a 0)三种常见的非负数：注意：(1)

任何非负数的和仍是非负数；(2) 若几个非负数的和是

0，那么这几个非负数均为

0.例1、已知实数

x，y

满足

x 2+(y+1)

2=0，则

x-y

等于【变式

1】已知a、b是有理数，且满足（

a－2）2+b

3=0，则

ab的值为【变式

2】已知

那么

a+b-c

的值为___________【变式 3】已知(x-6)2+ +|y+2z|=0 ，求(x-y)3-z3的值。求被开方数中的未知数的值例2若y=x5+5x+2017，则x+y=变式1、若x11x(xy)2，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．3变式2、若x、y都是实数，且y=2x332x4，求xy的值变式3、已知b43a2223a2,求11的值？ab题型五、解方程(1)(x2)240(2)(x3)3270(3)27x31250(4)(2x1)225题型六、整数部分和小数部分的探讨例1、已知x是10的整数部分，y是10的小数部分，求（yx1的平方）10根。变式1设m是7 13的小数部分，n为7 13的小数部分，求 (m n)2017的值？题型六关于平方根、立方根的求值例1、求下列各式的值（1）81；（2）16；（3）9；（4）(4)225解（1）因为9281，所以±81=±9.例2（1）64的立方根是??????（2）下列说法中：①

3都是

27的立方根，②

3 y3

y，③

64的立方根是

2，④3

8

2

4。正确的有

（

）A 、1

个

B 、2个

C 、3

个

D 、4

个题型八、探索找规律1 （盐城市）现规定一种新的运算“※”：

a※b=ab，如

3※2=32=9，则

1

※3＝2）(资阳市)若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！＝4×3×2×1，⋯，则100!的值为()A．50B．99!98!49C．9900D．2！3．如果有理数a,b满足∣ab－2∣+∣1－b∣=0，试求111)(a1+⋯+1的值．ab(a1)(b2)(b2)(a2016)(b2016)4.观察思考下列计算过程：∵112=121，∴121=11；同样：∵1112=12321，∴12321=111；⋯由此猜想：12345678987654321=题型八实数比较大小的方法1、方法一：差值比较法差值比较法的基本思路是设 a，b为任意两个实数，先求出 a与b的差，再根据当a-b﹥0时，得到a﹥b。当a-b﹤0时，得到a﹤b。当a-b＝0，得到a=b。例1、比较

1-

2与

1-

3的大小。3、方法二：商值比较法商值比较法的基本思路是设 a，b为任意两个正实数，先求出 a与b得商。当a＜1时，a＜b；当a＞1时，a＞b；当ab b b

=1时，a=b。来比较a与b的大小。例2、比较133与1的大小。884、方法三：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方， 再根据a＞0，b＞0时，可由a2＞b2得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例3、比较2 7与3 3的大小5、方法四：估算法估算法的基本是思路是设 a，b为任意两个正实数，先估算出 a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例4、比较 13 3 与1的大小。8 8综合演练一、填空题1、（）2的平方根是 2 、若a2=25,b=3,则a+b=3、已知一个正数的两个平方根分别是 2a﹣2和a﹣4，则a的值是4、3 4 ＝____________5、若m、n互为相反数，则 m 5 n＝_________6、若 a2 a，则a______07、若 3x 7有意义，则 x的取值范围是8、16的平方根是±4”用数学式子表示为9、大于- 2，小于 10的整数有______个。10、一个正数 x的两个平方根分别是 a+2和a-4，则a=_____，x=_____。11、当x_______时，x3有意义。12、当x_______时，2x3有意义。113、当x_______时，1x有意义。x114、当x________时，式子x2有意义。15、若4a1有意义，则a能取的最小整数为二、选择题1．9的算术平方根是（）A．-3B．3C．±3D．812．下列计算正确的是（）A．4=±2B．(9)281=9C.366D.9293．下列说法中正确的是（）A．9的平方根是3B．16的算术平方根是±2C.16的算术平方根是4D.16的平方根是±24．64的平方根是（）A．±8B．±4C．±2D．±25．4的平方的倒数的算术平方根是（）A．4B．1C．-1D．18446．下列结论正确的是（）A(6)26B(3)29C(16)216D

216 1625 257．以下语句及写成式子正确的是（）A、7是49的算术平方根，即497B、7是(7)2的平方根，即(7)27C、7是49的平方根，即497D、7是49的平方根，即±4978．下列语句中正确的是（ ）A、9的平方根是3B、9的平方根是3C、9的算术平方根是3D、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3是9的平方根；(2)9的平方根是3；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．4个10．下列语句中正确的是（）A、任意算术平方根是