第1 控制系统的状态空间表达式课件

本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第1页/共88页本章结构绪论第1页/共88页11.1状态变量及状态空间表达式1状态描述一个系统得过去、现在和将来的状况2状态变量足以表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量注1.1-1：一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动也就被揭示无遗。例如微分方程：注1.1-2：状态变量的个数等于系统独立储能元件的个数。第2页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式1状态描述一个系统得过去、21.1状态变量及状态空间表达式3状态矢量如果n个状态变量用表示，并把这些状态看作是的分量，则就称作状态矢量：4状态空间以状态变量为坐标轴构成的n维空间，称为状态空间。随着时间的推移，将在状态空间中描述出一条轨迹，称为状态轨迹。第3页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式3状态矢量如果n个状态变量31.1状态变量及状态空间表达式5状态方程描述系统状态与输入之间关系的一阶微分方程组：6输出方程描述系统输出与状态、输入之间关系的表达式：7状态空间表达式状态方程+输出方程，构成一个系统完整的动态描述：第4页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式5状态方程描述系统状态与输41.1状态变量及状态空间表达式例1.1-1求R-L-C电路的状态空间表达式，输出为电容两端电压图1.1-1R-L-C电路1选择状态变量例题1.1【解答】状态变量个数：独立储能元件个数。所以选择电容C两端电压，和流经电感L的电流。第5页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式例1.1-1求R-L-C51.1状态变量及状态空间表达式2列写一阶微分方程例题1.1-1【解答】3列写状态方程和输出方程（1）状态方程第6页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式2列写一阶微分方程例题161.1状态变量及状态空间表达式例题1.1-1【解答】3列写状态方程和输出方程（2）输出方程4列写状态空间表达式第7页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式例题1.1-1【解答】371.1状态变量及状态空间表达式8状态空间表达式的一般形式状态矩阵输入矩阵直接转移矩阵输出向量输出矩阵状态向量输入向量第8页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式8状态空间表达式的一般形式81.1状态变量及状态空间表达式8状态空间表达式的一般形式（1）SISO（2）MIMO第9页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式8状态空间表达式的一般形式91.1状态变量及状态空间表达式9状态空间表达式系统框图注1.1-3：从状态空间表达式与系统框图可以看出，状态空间方法既表征了输入对系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响。所以状态空间表达式是对系统的一种完全描述。第10页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式9状态空间表达式系统框图注10

本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第11页/共88页本章结构绪论第11页/共88页111.2状态空间表达式的模拟结构图1作用采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。2三类基本框图第12页/共88页1.2状态空间表达式的模拟结构图1作用采用模拟结构图来反121.2状态空间表达式的模拟结构图例1.2-1设一阶系统状态方程为则其状态图为例1.2-2设三阶系统状态空间表达式为

第13页/共88页1.2状态空间表达式的模拟结构图例1.2-1设一阶系统状131.2状态空间表达式的模拟结构图第14页/共88页1.2状态空间表达式的模拟结构图第14页/共88页14

本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第15页/共88页本章结构绪论第15页/共88页151.3状态空间表达式的建立（一）1由系统框图建状态空间表达式用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式，一般有3种途径：（1）由系统方块图来建立（2）从机理特性出发建立（3）由高阶微分方程和传递函数建立例1.3-1系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式第16页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）1由系统框图建状态空间表161.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-1系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式例题1.3-1【解答】求解步骤：1选择状态变量2列写状态方程3列写输出方程4写成状态空间表达式第17页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-1系统方块图171.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-1系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式1选择状态变量每一个方块的后面，除比例环节。2列写状态方程3列写输出方程4列写状态空间形式x3x2x1第18页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-1系统方块图181.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-2系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式例1.3-3系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式第19页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-2系统方块图191.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-3系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式z-p第20页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-3系统方块图201.3状态空间表达式的建立（一）2从机理特性出发建状态空间表达式一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的状态方程。弹簧-质量-阻尼器系统电路系统系统第21页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）2从机理特性出发建状态空211.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-4如图1.3-4所示的电路，试以电压u为输出，以电容C上的电压uc为输出变量，列写其状态空间表达式图1.3-4电路系统系统例题1.3-4【解答】1选择状态变量电路的贮能元件有电感L1，L2和电容C。考虑到i1、i2、uc这三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量。第22页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-4如图1.3221.3状态空间表达式的建立（一）2列写状态方程根据基尔霍夫定律列写电路方程现在令x1=i1，x2=i2，x3=uc，将上式写成矩阵形式即为状态方程第23页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）2列写状态方程根据基尔霍231.3状态空间表达式的建立（一）3列写输出方程由于前面已指出电容上的电压uc为输出变量，故系统的输出方程为4整理成状态空间表达式第24页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）3列写输出方程由于前面已241.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-5如图1.3-5所示，输入为外力F(t)，输出为位移y(t)，小车质量为m，试建立机械位移系统的状态空间表达式例题1.3-5【解答】1选择状态变量选择位移y(t)，速度y’(t)为系统的状态变量。图1.3-5弹簧-质量-阻尼器系统第25页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-5如图1.3251.3状态空间表达式的建立（一）2列写状态方程根据牛顿运动学定律列写运动方程现在令x1=y，x2=ẏ，将上式写成矩阵形式即为状态方程3列写输出方程4整理成状态空间表达式第26页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）2列写状态方程根据牛顿运26

本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第27页/共88页本章结构绪论第27页/共88页271.4状态空间表达式的建立（二）在经典控制理论中，系统的模型采用微分方程或传递函数来表示，表示的是系统输入-输出之间的关系。这一节将讲解如何从微分方程或传递函数来得到系统的状态空间表达式，控制上将这种问题称为实现问题。（1）能控标准型（2）能观标准型（3）对角标准型（4）Jordan（约旦）标准型第28页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）在经典控制281.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型考虑由下式定义的系统（单变量线性定常，）(1)m=0系统的传递函数为：系统的传递函数为：第29页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型考虑由下式定291.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(1)m=0系统模拟结构图为：系统状态方程为：输出方程为：第30页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(1)m=301.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(1)m=0系统状态空间表达式为：第31页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(1)m=311.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-1系统的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程例题1.4-1【解答】1直接按能控标准型列写第32页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-1系统的输入输321.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠0系统的传递函数为：设待实现系统的传递函数为：第33页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠331.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠0第34页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠341.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠0第35页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠351.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠0推广到n阶，状态空间表达式为：第36页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠361.4状态空间表达式的建立（二）2能观标准型第37页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）2能观标准型第37页/共371.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-2系统的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程例题1.4-2【解答】1直接按能控标准型列写第38页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-2系统的输入输381.4状态空间表达式的建立（二）3对角标准型当系统的传递函数如下表示时：考虑分母多项式中只含相异根的情况。第39页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）3对角标准型当系统的传递391.4状态空间表达式的建立（二）3对角标准型状态变量的拉普拉斯变换为第40页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）3对角标准型状态变量的拉401.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型当系统的传递函数如下表示时：考虑分母多项式中含有重根的情况。第41页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型当系统的传递411.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型第42页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型第42页/共421.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型设n阶系统只有一个独立的n重极点s1.则G(s)由部分分式法展开为其中，设状态变量为：第43页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型设n阶系统只431.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型第44页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型第44页/共441.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-3系统的输入输出传递函数为：列写其对角标准型状态方程和输出方程例题1.4-3【解答】1化为真有理式第45页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-3系统的输入输451.4状态空间表达式的建立（二）2列写对角标准型第46页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）2列写对角标准型第46页461.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-4系统的输入输出传递函数为：列写其能控、能观、对角标准型状态方程和输出方程能控标准型对角标准型能观标准型第47页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-4系统的输入输47

本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第48页/共88页本章结构绪论第48页/共88页481.5状态变量的线性变换1线性变换的概念如前所述，一个n阶系统必有n个状态变量。然而，这n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。（1）定义：状态x与z的变换，称为状态的线性变换．由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：或注：T为非奇异矩阵第49页/共88页1.5状态变量的线性变换1线性变换的概念如前所述，一个n491.5状态变量的线性变换1线性变换的概念（2）基本关系式：设一个n阶系统，状态矢量为x,其状态空间表达式为现取线性变换为,其中:是阶非奇异阵。代入上述表达式，得第50页/共88页1.5状态变量的线性变换1线性变换的概念（2）基本关系式501.5状态变量的线性变换例1.5-1第51页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-1第51页/共88页511.5状态变量的线性变换第52页/共88页1.5状态变量的线性变换第52页/共88页521.5状态变量的线性变换第53页/共88页1.5状态变量的线性变换第53页/共88页531.5状态变量的线性变换第54页/共88页1.5状态变量的线性变换第54页/共88页541.5状态变量的线性变换第55页/共88页1.5状态变量的线性变换第55页/共88页551.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变量（1）系统的特征值：对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特性。对于系统：系统的特征值就是系统矩阵A的特征值。系统的特征方程为：系统的特征多项式为：若：第56页/共88页1.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变561.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变量（2）系统不变性与特征值的不变性尽管与形式不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。第57页/共88页1.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变571.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变量（3）特征值向量（矢量）例1.5-2第58页/共88页1.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变581.5状态变量的线性变换第59页/共88页1.5状态变量的线性变换第59页/共88页591.5状态变量的线性变换第60页/共88页1.5状态变量的线性变换第60页/共88页601.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型约旦标准型包括两种情况，一种是对角型，一种是标准型。对于系统：A特征值无重根A特征值有重根第61页/共88页1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型611.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型（1）A特征值无重根步骤1求A的特征值2求特征值对应的特征向量3定义转化矩阵为：4求新的状态表达式第62页/共88页1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型621.5状态变量的线性变换例1.5-3解答例1.5-3将下面系统化为对角标准型1求A的特征值得到：第63页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-3解答例1.5-3将631.5状态变量的线性变换2求特征值对应的特征向量当时由同理：3定义转化矩阵为：第64页/共88页1.5状态变量的线性变换2求特征值对应的特征向量当641.5状态变量的线性变换4求新的状态表达式第65页/共88页1.5状态变量的线性变换4求新的状态表达式第65页/共8651.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型（2）A特征值有重根步骤1求A的特征值2求特征值对应的特征向量3定义转化矩阵为：4求新的状态表达式第66页/共88页1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型661.5状态变量的线性变换例1.5-4①第67页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-4①第67页/共88页671.5状态变量的线性变换②第68页/共88页1.5状态变量的线性变换②第68页/共88页681.5状态变量的线性变换③第69页/共88页1.5状态变量的线性变换③第69页/共88页691.5状态变量的线性变换④第70页/共88页1.5状态变量的线性变换④第70页/共88页701.5状态变量的线性变换例1.5-3解答例1.5-5将A化为对角标准型线性无关的两个向量第71页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-3解答例1.5-5将711.5状态变量的线性变换求的：注1.5-1：A有重特征值，但A仍有n个独立的特征向量注1.5-2：A有重特征值，但A的独立特征矢量个数小于系统的阶数n第72页/共88页1.5状态变量的线性变换求的：注1.5-1：A有重特征值721.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型（3）A为能控标准型①A的特征值无重根时Vandermonde范德蒙德矩阵第73页/共88页1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型731.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型②A的特征值有重根时以有三重根为例③A的特征值有共轭复根时第74页/共88页1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型741.5状态变量的线性变换例1.5-3解答例1.5-6将A化为约旦标准型第75页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-3解答例1.5-6将75

本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第76页/共88页本章结构绪论第76页/共88页761.6从状态空间表达式求传递函数1传递函数在经典理论中，我们常用传递函数来表示SISO线性定常系统输入—输出间的传递特性。其定义是：零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比第77页/共88页1.6从状态空间表达式求传递函数1传递函数在经典771.6从状态空间表达式求传递函数1传递函数使用Laplace变换，并假设初始条件为零故U-X间的传递函数为：故U-Y间的传递函数为：第78页/共88页1.6从状态空间表达式求传递函数1传递函数使用Lapla781.6从状态空间表达式求传递函数1传递函数对于双输入—双输出系统(见下图)。按输入的叠加性，将输出分别用两个方程表示出第79页/共88页1.6从状态空间表达式求传递函数1传递函数对于双输入—双791.6从状态空间表达式求传递函数例1.6-1已知状态空间表达式：求其传递函数例1.6-1解答第80页/共88页1.6从状态空间表达式求传递函数例1.6-1已知状态空间801.6从状态空间表达式求传递函数2子系统互连主要有3种形式，并联、串联和反馈形式，下面以两个子系统的联结为例，推导等效的传递函数。第81页/共88页1.6从状态空间表达式求传递函数2子系统互连主要有3种形811.6从状态空间表达式求传递函数2子系统互连（1）并联。相同输入第82页/共88页1.6从状态空间表达式求传递函数2子系统互连（1）并联。821.6从状态空间表达式求传递函数2子系统互连（1）并联。相同输入传递函数为：状态空间为：第83页/共88页1.6从状态空间表达式求传递函数2子系统互连（1）并联。831.6从状态空间表达式求传递函数2子系统互连（2）串联。第84页/共88页1.6从状态空间表达式求传递函数2子系统互连（2）串联。841.6从状态空间表达式求传递函数2子系统互连（3）反馈第85页/共88页1.6从状态空间表达式求传递函数2子系统互连（3）反馈第851.6从状态空间表达式求传递函数第86页/共88页1.6从状态空间表达式求传递函数第86页/共88页861.6从状态空间表达式求传递函数第87页/共88页1.6从状态空间表达式求传递函数第87页/共88页871理解状态空间表达式的基本概念2状态空间表达式的模拟结构图3状态空间表达式建立的3种方法由系统方块图来建立

从机理特性出发建立

由高阶微分方程和传递函数建立4能控、对角、约旦标准型建立5由状态空间求传递函数本章要点总结第88页/共88页1理解状态空间表达式的基本概念本章要点总结第88页/共8888

本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第1页/共88页本章结构绪论第1页/共88页891.1状态变量及状态空间表达式1状态描述一个系统得过去、现在和将来的状况2状态变量足以表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量注1.1-1：一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动也就被揭示无遗。例如微分方程：注1.1-2：状态变量的个数等于系统独立储能元件的个数。第2页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式1状态描述一个系统得过去、901.1状态变量及状态空间表达式3状态矢量如果n个状态变量用表示，并把这些状态看作是的分量，则就称作状态矢量：4状态空间以状态变量为坐标轴构成的n维空间，称为状态空间。随着时间的推移，将在状态空间中描述出一条轨迹，称为状态轨迹。第3页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式3状态矢量如果n个状态变量911.1状态变量及状态空间表达式5状态方程描述系统状态与输入之间关系的一阶微分方程组：6输出方程描述系统输出与状态、输入之间关系的表达式：7状态空间表达式状态方程+输出方程，构成一个系统完整的动态描述：第4页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式5状态方程描述系统状态与输921.1状态变量及状态空间表达式例1.1-1求R-L-C电路的状态空间表达式，输出为电容两端电压图1.1-1R-L-C电路1选择状态变量例题1.1【解答】状态变量个数：独立储能元件个数。所以选择电容C两端电压，和流经电感L的电流。第5页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式例1.1-1求R-L-C931.1状态变量及状态空间表达式2列写一阶微分方程例题1.1-1【解答】3列写状态方程和输出方程（1）状态方程第6页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式2列写一阶微分方程例题1941.1状态变量及状态空间表达式例题1.1-1【解答】3列写状态方程和输出方程（2）输出方程4列写状态空间表达式第7页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式例题1.1-1【解答】3951.1状态变量及状态空间表达式8状态空间表达式的一般形式状态矩阵输入矩阵直接转移矩阵输出向量输出矩阵状态向量输入向量第8页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式8状态空间表达式的一般形式961.1状态变量及状态空间表达式8状态空间表达式的一般形式（1）SISO（2）MIMO第9页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式8状态空间表达式的一般形式971.1状态变量及状态空间表达式9状态空间表达式系统框图注1.1-3：从状态空间表达式与系统框图可以看出，状态空间方法既表征了输入对系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响。所以状态空间表达式是对系统的一种完全描述。第10页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式9状态空间表达式系统框图注98

本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第11页/共88页本章结构绪论第11页/共88页991.2状态空间表达式的模拟结构图1作用采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。2三类基本框图第12页/共88页1.2状态空间表达式的模拟结构图1作用采用模拟结构图来反1001.2状态空间表达式的模拟结构图例1.2-1设一阶系统状态方程为则其状态图为例1.2-2设三阶系统状态空间表达式为

第13页/共88页1.2状态空间表达式的模拟结构图例1.2-1设一阶系统状1011.2状态空间表达式的模拟结构图第14页/共88页1.2状态空间表达式的模拟结构图第14页/共88页102

本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第15页/共88页本章结构绪论第15页/共88页1031.3状态空间表达式的建立（一）1由系统框图建状态空间表达式用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式，一般有3种途径：（1）由系统方块图来建立（2）从机理特性出发建立（3）由高阶微分方程和传递函数建立例1.3-1系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式第16页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）1由系统框图建状态空间表1041.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-1系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式例题1.3-1【解答】求解步骤：1选择状态变量2列写状态方程3列写输出方程4写成状态空间表达式第17页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-1系统方块图1051.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-1系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式1选择状态变量每一个方块的后面，除比例环节。2列写状态方程3列写输出方程4列写状态空间形式x3x2x1第18页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-1系统方块图1061.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-2系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式例1.3-3系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式第19页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-2系统方块图1071.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-3系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式z-p第20页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-3系统方块图1081.3状态空间表达式的建立（一）2从机理特性出发建状态空间表达式一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的状态方程。弹簧-质量-阻尼器系统电路系统系统第21页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）2从机理特性出发建状态空1091.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-4如图1.3-4所示的电路，试以电压u为输出，以电容C上的电压uc为输出变量，列写其状态空间表达式图1.3-4电路系统系统例题1.3-4【解答】1选择状态变量电路的贮能元件有电感L1，L2和电容C。考虑到i1、i2、uc这三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量。第22页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-4如图1.31101.3状态空间表达式的建立（一）2列写状态方程根据基尔霍夫定律列写电路方程现在令x1=i1，x2=i2，x3=uc，将上式写成矩阵形式即为状态方程第23页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）2列写状态方程根据基尔霍1111.3状态空间表达式的建立（一）3列写输出方程由于前面已指出电容上的电压uc为输出变量，故系统的输出方程为4整理成状态空间表达式第24页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）3列写输出方程由于前面已1121.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-5如图1.3-5所示，输入为外力F(t)，输出为位移y(t)，小车质量为m，试建立机械位移系统的状态空间表达式例题1.3-5【解答】1选择状态变量选择位移y(t)，速度y’(t)为系统的状态变量。图1.3-5弹簧-质量-阻尼器系统第25页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-5如图1.31131.3状态空间表达式的建立（一）2列写状态方程根据牛顿运动学定律列写运动方程现在令x1=y，x2=ẏ，将上式写成矩阵形式即为状态方程3列写输出方程4整理成状态空间表达式第26页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）2列写状态方程根据牛顿运114

本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第27页/共88页本章结构绪论第27页/共88页1151.4状态空间表达式的建立（二）在经典控制理论中，系统的模型采用微分方程或传递函数来表示，表示的是系统输入-输出之间的关系。这一节将讲解如何从微分方程或传递函数来得到系统的状态空间表达式，控制上将这种问题称为实现问题。（1）能控标准型（2）能观标准型（3）对角标准型（4）Jordan（约旦）标准型第28页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）在经典控制1161.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型考虑由下式定义的系统（单变量线性定常，）(1)m=0系统的传递函数为：系统的传递函数为：第29页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型考虑由下式定1171.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(1)m=0系统模拟结构图为：系统状态方程为：输出方程为：第30页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(1)m=1181.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(1)m=0系统状态空间表达式为：第31页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(1)m=1191.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-1系统的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程例题1.4-1【解答】1直接按能控标准型列写第32页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-1系统的输入输1201.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠0系统的传递函数为：设待实现系统的传递函数为：第33页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠1211.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠0第34页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠1221.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠0第35页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠1231.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠0推广到n阶，状态空间表达式为：第36页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠1241.4状态空间表达式的建立（二）2能观标准型第37页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）2能观标准型第37页/共1251.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-2系统的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程例题1.4-2【解答】1直接按能控标准型列写第38页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-2系统的输入输1261.4状态空间表达式的建立（二）3对角标准型当系统的传递函数如下表示时：考虑分母多项式中只含相异根的情况。第39页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）3对角标准型当系统的传递1271.4状态空间表达式的建立（二）3对角标准型状态变量的拉普拉斯变换为第40页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）3对角标准型状态变量的拉1281.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型当系统的传递函数如下表示时：考虑分母多项式中含有重根的情况。第41页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型当系统的传递1291.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型第42页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型第42页/共1301.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型设n阶系统只有一个独立的n重极点s1.则G(s)由部分分式法展开为其中，设状态变量为：第43页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型设n阶系统只1311.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型第44页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型第44页/共1321.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-3系统的输入输出传递函数为：列写其对角标准型状态方程和输出方程例题1.4-3【解答】1化为真有理式第45页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-3系统的输入输1331.4状态空间表达式的建立（二）2列写对角标准型第46页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）2列写对角标准型第46页1341.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-4系统的输入输出传递函数为：列写其能控、能观、对角标准型状态方程和输出方程能控标准型对角标准型能观标准型第47页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-4系统的输入输135

本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论第48页/共88页本章结构绪论第48页/共88页1361.5状态变量的线性变换1线性变换的概念如前所述，一个n阶系统必有n个状态变量。然而，这n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。（1）定义：状态x与z的变换，称为状态的线性变换．由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：或注：T为非奇异矩阵第49页/共88页1.5状态变量的线性变换1线性变换的概念如前所述，一个n1371.5状态变量的线性变换1线性变换的概念（2）基本关系式：设一个n阶系统，状态矢量为x,其状态空间表达式为现取线性变换为,其中:是阶非奇异阵。代入上述表达式，得第50页/共88页1.5状态变量的线性变换1线性变换的概念（2）基本关系式1381.5状态变量的线性变换例1.5-1第51页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-1第51页/共88页1391.5状态变量的线性变换第52页/共88页1.5状态变量的线性变换第52页/共88页1401.5状态变量的线性变换第53页/共88页1.5状态变量的线性变换第53页/共88页1411.5状态变量的线性变换第54页/共88页1.5状态变量的线性变换第54页/共88页1421.5状态变量的线性变换第55页/共88页1.5状态变量的线性变换第55页/共88页1431.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变量（1）系统的特征值：对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特性。对于系统：系统的特征值就是系统矩阵A的特征值。系统的特征方程为：系统的特征多项式为：若：第56页/共88页1.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变1441.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变量（2）系统不变性与特征值的不变性尽管与形式不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。第57页/共88页1.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变1451.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变量（3）特征值向量（矢量）例1.5-2第58页/共88页1.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变1461.5状态变量的线性变换第59页/共88页1.5状态变量的线性变换第59页/共88页1471.5状态变量的线性变换第60页/共88页1.5状态变量的线性变换第60页/共88页1481.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型约旦标准型包括两种情况，一种是对角型，一种是标准型。对于系统：A特征值无重根A特征值有重根第61页/共88页1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型1491.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型（1）A特征值无重根步骤1求A的特征值2求特征值对应的特征向量3定义转化矩阵为：4求新的状态表达式第62页/共88页1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型1501.5状态变量的线性变换例1.5-3解答例1.5-3将下面系统化为对角标准型1求A的特征值得到：第63页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-3解答例1.5-3将1511.5状态变量的线性变换2求特征值对应的特征向量当时由同理：3定义转化矩阵为：第64页/共88页1.5状态变量的线性变换2求特征值对应的特征向量当1521.5状态变量的线性变换4求新的状态表达式第65页/共88页1.5状态变量的线性变换4求新的状态表达式第65页/共81531.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型（2）A特征值有重根步骤1求A的特征值2求特征值对应的特征向量3定义转化矩阵为：4求新的状态表达式第66页/共88页1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型1541.5状态变量的线性变换例1.5-4①第67页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-4①第67页/共88页1551.5状态变量的线性变换②第68页/共88页1.5