2022届天津市部分区高三最后一卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若各项均为正数的等比数列A．1B．2C．3D．4满足，则公比（）2．已知集合M＝{x|1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A．[3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）3．数，则将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到.如图是验证“的一个程序框图，若输入正整数的值为，则输出的的值是（）世纪产生了著名的“”猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇”猜想A．B．C．D．4．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．数列A．满足：，则数列前项的和为B．C．D．6．已知平面向量的最小值为()，，满足：，，则A．5B．6C．7D．87．已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（）A．B．C．函数在上单调递减D．函数的图像关于点对称8．若复数满足（是虚数单位），则（）A．B．C．D．9．若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．36cm3B．48cm3C．60cm3D．72cm310．已知函数（）的部分图象如图所示.则（）A．B．D．C．11．若表示不超过的最大整数(如，，)，已知（），，，则A．2B．5C．7D．812．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．B．2C．3D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，已知，，是边的垂直平分线上的一点，则__________.14．已知，，，的夹角为30°，，则_________.15．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．16．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数，若把当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为，则_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数的最大值为2.上的单调递减区间；所对的边分别是（Ⅰ）求函数（Ⅱ）在中,,角，且，求的面积．18．（12分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半（为参数），求直线轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为与曲线的交点的直角坐标.19．（12分）某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数甲设备乙设备25034561053015501515（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和，求和的分布列；（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为线，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲的极坐标方程为.（Ⅰ）求的极坐标方程和分别交的直角坐标方程；（Ⅱ）设于两点（与原点不重合），求的最小值.21．（12分）已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围．，函数22．（10分）已知（1）若函数.在上为减函数，求实数的取值范围；（2）求证：对成立.上的任意两个实数，，总有参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由正项等比数列满足，即，又，即，运算即可得解.【详解】解：因为，所以，又，所以，又，解得.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.2、C【解析】先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|1＜x＜2}，求两集合的交集.【详解】因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M＝{x|1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|1＜x≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3、C【解析】列出循环的每一步，可得出输出的的值.【详解】，输入，，不成立，是偶数成立，则；，不成立，是偶数成立，则；，，不成立，是偶数成立，则不成立，是偶数不成立，则不成立，是偶数成立，则；；，；，不成立，是偶数成立，则；，不成立，是偶数成立，则；，不成立，是偶数成立，则；，成立，跳出循环，输出的值为.故选：C.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.4、D【解析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.【详解】双曲线与互为共轭双曲线，，四个焦点的坐标为，四个顶点的坐标为，四个顶点形成的四边形的面积四个焦点连线形成的四边形的面积，所以，当取得最大值时有，，离心率，故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.5、A【解析】分析：通过对anan+1=2anan+1变形可知，进而可知，利用裂项相消法求和即可．详解：又，，=5，，即，，数列前项的和为，故选A．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.6、B【解析】建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值.的最小值转化为用该【详解】建立平面直角坐标系如下图所示，设，由于，，且，所以..所以，即..当且仅当时取得最小值，此时由得，当时，有最小值为，即时，，解得.所以当且仅当有最小值为.故选：B【点睛】本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.7、B【解析】根据函数，在上是单调函数，确定，然后一一验证，A.若，则，由，得，但.B.由，，确定，再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【详解】因为函数，在上是单调函数，所以若，即，所以，，则，又因为，即，解得，而，故A错误.由，不妨令，得由当，得或时，，不合题意.当时，，此时所以，故B正确.因为，函数，在上是单调递增，故C错误.，故D错误.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.8、B【解析】利用复数乘法运算化简，由此求得【详解】.依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.9、B【解析】试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点：三视图和几何体的体积.10、C【解析】由图象可知令,可解得,利用三角恒等变换化简解析式可得,,即可求得.【详解】依题意，解得，即,；因为所以，当时，.故选:C.【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.11、B【解析】求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】解：.，，，，同理可得：；；.；，，……..故是一个以周期为6的周期数列，则.故选：B.【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．12、A【解析】由奇函数定义求出【详解】和．因为是定义在上的奇函数，.又当时，，.故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】作出图形，设点为线段的中点，可得出且，进而可计算出的值.【详解】设点为线段的中点，则，，，.故答案为：【点睛】.本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.14、1【解析】由求出，代入，进行数量积的运算即得.【详解】，存在实数，使得.不共线，.，，，的夹角为30°，.故答案为：1.【点睛】本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.15、【解析】两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解，化简方程在区间上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.【详解】解：根据题意，若函数对称的点，与的图象上存在关于轴则方程即方程设函数在区间上有解，在区间上有解，，其导数，又由，可得：当时，为减函数，当时，为增函数，故函数有最小值，又由；比较可得：，故函数故函数有最大值在区间，上的值域为上有解，；若方程在区间必有，则有；，即的取值范围是故答案为：【点睛】；本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题,函数零点问题的拓展.由于函数的零点就是方程的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.16、1【解析】根据均值的定义计算．【详解】由题意，．故答案为：1．【点睛】本题考查均值的概念，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】(1)由题意，f(x)的最大值为所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函数的单调性可得x满足即所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为(2)设ABC的外接圆半径为R，由题意，得化简得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理，得由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0将式代入，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或(舍去)，故18、【解析】将直线的极坐标方程和曲线的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合的取值范围进行取舍即可.【详解】因为直线的极坐标方程为所以直线的普通方程为，，又因为曲线所以曲线的参数方程为（为参数），，的直角坐标方程为联立方程因为,解得或，，所以舍去，故点的直角坐标为【点睛】.本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.19、（1）分布列见解析，分布列见解析；（2）甲设备，理由见解析【解析】（1）的可能取值为10000，11000，12000，的可能取值为9000，10000，11000，12000，计算概率得到分布列；（2）计算期望，得到，设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，，计算分布列，计算数学期望得到答案.【详解】（1）的可能取值为10000，11000，12000，，因此的分布如下100001100012000的可能取值为9000，10000，11000，12000，，，因此的分布列为如下9000100001100012000（2）设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，的可能取值为2，3，4，5，，，则的分布列为2345的可能取值为3，4，5，6，，，则的分布列为3456由于，，因此需购买甲设备【点睛】本题考查了数学期望和分布列，意在考查学生的计算能力和应用能力.20、（Ⅰ）直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为；（Ⅱ）2.，的直角坐标方程为【解析】（Ⅰ）由定义可直接写出直线（Ⅱ）分别联立两直线和曲线的极坐标方程，对曲线同乘可得：，转化成直角坐标为；的方程，由得，由得，则，结合三角函数即可求解；【详解】（Ⅰ）直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为由曲线所以的极坐标方程得，的直角坐标方程为.（Ⅱ）与的极坐标方程联立得所以.与的极坐标方程联立得所以.所以.所以当时，取最小值2.【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标中的几何意义，属于中档题21、（1）增区间为，减区间为；（2）.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用导数可得出函数的单调区间；（2）求函数的导数，分类讨论的范围，利用导数分