数学分析2005含答案专业真题-汇梦考研

2005年攻读入学考试试考试科目：数学120')求下列极限nnanbn

,(0abnanbn2b解nanbn2bnbnbn因此n(2)lim

n2bn2bnananb fa)0,fa存xaf(x)f(a (xa)f(afa)0,fa存在，从而fxf(a)+f(a)(x- (xa)f(a)(f(x)f(a))lim( )lim( xaf(x)f(a (xa)f(a x (f(x)f(a))(xa)f(a(xa)(xa)f(a)(f(a)(x-a)+f(a) o((xa)2lim

(xa)2

o((xa)2x

(xa)f(a)(f(a)(x-a)+f((xa)

(xa)2

o((xa)2-f(a) o((xa)2 x

(xa)f(a)(f(a)(x-a)+f(1f(a

(xa)2

o((xa)2 f(ax (xa 2[f(af(a)(f(a)f(

o((xa2.(18fx)在01fx)的每一个零点都是简单零fx0)0则fx)0证明：fx)在[0,1]上只有有限个零点。0 证明：设若不然fx)在[0,1]上有无穷多个零点，不妨设{x}[0,1],fx)0,n 则存在{x}的一个子列{x},使得 x(k)且f(x)0，从而f(x) nn nf(x)f(x f(xn)f(x0则f(x) 0 0与题设相 x

x

xx所以f(x)在[0,1]上只有有限个零点。.(20')fx)R上的2周期函满足2（1）0f(x)dxf(x)f(y)Lxy,x,y证明：（1）f(x)在R上可以取到最大值，最小（2）maxxRf(x)证明：（1）

f(x)f(y)

xyx,yR 0,0,取x[02x[02x

f(x)f(x0)

xx取 ,则L

f(x)f(x0)从而fx)在[0,2]上连续fx)在[0,2]上可以取到最大最小fx)R上的2周期函数，所以f(x)在R上可以取到最大值，最小值（2）f(xM)maxx02]2

f(x

2 f(x)dx0知x[0,2]，使得f(x)

f(x)dx

2以下分三种情况当xMx0f(xM)f(x0)0maxx[0,2

f(x)0当xMx0f(x)的周期性2f(x0)f(xM)f(x0)f(xM)f(x02)f(xM)L(x0xM)L(x02xM)2当xM<x0时,由f(x)的周期性，2f(x0)f(xM)f(xM)f(x0)f(xM2)f(x0)L(x0xM)L(xM2x0)2从而由(a(bc)知道maxxRfx).16）方xuyu0变为以极坐标r,为自变量的形式，其中极坐标 变换为x=rcosy=rsin,r0解sinusinrcos y rcos rcos rsin2cosr n 2r 所以方程r2un.20）{a}有极限Ln（1）f(x)axnn在（11）lim（1x)f(x)x（1）limaLL0liman1nn

n(事实

an1anan1anan

12AanAan1anL0f(xanxn的收敛区间为（11）从而f(xaxnn在（11）上有定义2若L=0liman0NnN时，axn0x（11）n n所以L=0f(xaxnn在（11） （2）lim（1x)f(x)lim（f(x)-xf(x))=lim axn axn1 x x x

n= n= lim( xn1axn1)lim(ax xn1ax x

n n= n=

x

n n= n= lim(ax ( a)xn1)a ( a)alim( a)x n n n n n= n=620')求由圆锥体zx2x2y2z

x2y2和球体x2y2(za)2a所围成的体积 解{ 2z2azaa (za (1)当2aa20a2ora0圆锥体与球体不相交，从而所围体积为（2）2aa20a2ora0（aa0时，球体缩为一个点，从而所围体积为（ba2时,圆锥体与球体相切，此时x=rcos0r10y=rsin

ar2 a arVdxdydz ddr rdz2 a (a1)2 a2 当2aa200<a<2时，圆锥体与球体相交ar2 a arVdxdydz ddr rdz2 a (a1)2 a2 x0.8）fx){4,0x

展成Fourier级数并求

12的和。n=1(2nfx)在0]n奇函数因此a01bn

f(x)sin(nx)dx

f(x)sin(nx)dx

f(x)sin(nx)2f(x)sin(nx)dx2

sinnxdx11sin(nx) 0 201(1)1cos(nx)|11cos(n)1(1)n111 0 20

2 2 2 2nfx)n12n

sin1(2)因为