选修2-2综合综合测试题(答案)

数学选修2-2综合测试题(答案)一、选择题1．在复平面内，复数zi(12i)对应的点位于（B）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限πxdx的值等于（A2．定积分2sin2）2π1π11ππ1A．2B．2C．4D．4422xxa3．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，a，S(x)2xaxC(x)a，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是（Ｄ）2①S(xy)S(x)C(y)②S(xy)S(x)C(y)③C(xy)C(x)C(y)④C(xy)C(x)C(y)

C(x)S(y)；C(x)S(y)；S(x)S(y)；S(x)S(y)；Ａ．①③Ｂ．②④Ｃ．①④Ｄ．①②③④4.已知f(x)2x36x2m(m为常数）在[2,2]上有最大值3，那么此函数在[2,2]上的最小值为（A）A.-37B．-29C．-5D．-115.已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(C)A．1a2B．3a6Ca3或a6D．1或a2a6．设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，，4则点P横坐标的取值范围为（），1B．1，0C．01，D．1，227．设曲线yx1在点(3，2)处的切线与直线axy10垂直，则a（）x1A．2B．1C．122D．2f(x)，则当a08．已知可导函数f(x)(xR)的导函数f'(x)满足f'(x)时，f(a)和eaf(0)（e是自然对数的底数）大小关系为（A）A．f(a)eaf(0)B．f(a)eaf(0)C．f(a)eaf(0)D．f(a)eaf(0)9.给出以下命题：b0，则f(x)>0；⑵2sinxdx4;⑴若f(x)dx0aaaT⑶已知F(x)f(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则f(x)dxf(x)dx；0T其中正确命题的个数为(B)A.1B.2C.3D.010.已知函数f(x)x2bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3，数列1f(n)的前n项和为Sn,则S2011的值为（D）A.2008B.2009C.2010D.20112009201020112012二、填空题11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●⋯若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是14。12．若函数f(x)4x在区间(m，2m1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是．x21答案：1m≤013．已知f(n)111L1(nN)，用数学归纳法证明f(2n)n时，f(2k1)f(2k)等23n2于．答案：11L1k1k2k122214.15.三、解答题2zzi3i（i为虚数单位）．求z．16、已知复数z满足z2i解．由已知得2zzi1i，z设zxyi,x,yR代人上式得x2y22xi1ix2y21x1所以，解得22x13y2故z13i2217.（1）求证：(1)a2b23ab3(ab);证明：（1）∵a2 b2 2ab,a2323a,b2323b;将此三式相加得2(a2b23)2ab23a23b,∴a2b23ab3(ab).（2）已知a,b,c均为实数，且ax22y,by22z,cz22x，求证：a,b,c中至少有一个大于0.236证明：（反证法）0，则abc0假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c，因为ax22yπ22zπ22xπ,by,cz62π)3π)(z2π)abc(x22y(y22z2x236(x1)2(y1)2(z1)2π30即abc0，与abc0矛盾，故假设错误，原命题成立.18、设函数f(x)x3x23x3a(a0)（12分）3（1）如果a1，点P为曲线yf(x)上一个动点，求以P为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程；（2）若x[a,3a]时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。解：（1）设切线斜率为k,则kf'(x)x22x3.当x=1时，k有最小值-4。又f(1)292949x1),即12x3y170。（6分）3,所以切线方程为y3若x[a,3a]时，f(x)0恒成立，则：0a3a30a33aa3f(3a)（1）或f(3)(2)或(3)00f(a)0（1），（2）无解，由（3）解得a6，综上所述。19．设函数f(x)(e1)x,g(x)ex．（e是自然对数的底数）（Ⅰ）判断函数 H(x) f(x) g(x)零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列an满足：a1(0,1)，且f(an1)g(an),nN,①求证：0an1；②比较an与(e1)an1的大小．解：（Ⅰ）H(x)(e1)ex令H(x)0,x0ln(e1)当x(,x0)时，H(x)0,H(x)在x(,x0)上是增函数当x(x0,)时，H(x)0,H(x)在x(x0,)上是减函数⋯⋯⋯⋯⋯．2分从而H(x)maxH(0)(e1)x01ex0(e1)ln(e1)e2⋯⋯⋯⋯．4分注意到函数k(t)tlntt1在1,上是增函数，从而k(t)k(1)0,又e11从而H(x0)0综上可知：H(x)有两个零点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．6分（Ⅱ）因为f(an1)g(an),即(e1)an11ean所以an11(ean1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．7分e1①下面用数学归纳法证明 an (0,1)．当n1时，a1(0,1)，不等式成立．假设nk时，ak(0,1)那么a11(eak1)ke1Q1eake0eak1e101(eak1)11即ak1(0,1)这表明n k 1时，不等式成立．所以对n N，an (0,1)②因为(e 1)an1 an ean 1 an考虑函数 p(x) ex 1 x (0 x 1) p(x) ex 1 0从而p(x)在(0,1)上是增函数p(x) p(0) 0所以(e 1)an1 an 0即(e1)an1an20．已知函数 f(x) alnx ax 3(a R)．（Ⅰ）当a 1时，求函数 f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数y f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45，问：m在什么范围取值时，对于任意的t[1,2]，函数g(x)x3x2[mf'(x)]在区间(t,3)上总存在2极值？（Ⅲ）当a2时，设函数h(x)p2e(p2)x3，若在区间[1,e]上至少存在一个xx0，使得h(x0)f(x0)成立，试求实数p的取值范围．解（Ι）由f'(x)a(1x)(x0)知：x当a1时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,)；（Ⅱ）由f'(x)a1得到a2，故f(x)2lnx2x3,f'(x)222，xg(x)x3x2[mf'(x)]x3(2m)x22x,g'(x)3x2(4m)x222因为g(x)在区间(t,3)上总存在极值，且1t2，所以g'(2)0，解得：g'(3)037m9，故当37m9时，对于任意的t[1,2]，函数33g(x)x3x2[mf'(x)]在区间(t,3)上总存在极值。2（Ⅲ）f(x)2lnx2x3，令F(x)h(x)f(x)p2epx2lnxxx①当p0时，由x[1,e]得到pxp0,2e2lnx0,所以在[1,e]上不存在x0，使x得h(x0)f(x0)成立；②当p0时，F'(x)px22xp2ex[1,e]，所以x2，因为2e2x0,px2p0，F'(x)0在[1,e]上恒成立，故F(x)在[1,e]上单调递增。F(x)maxF(e)p4pep4e，所以p的pe，由题意可知40，解得p1eee2取植范围是4e,)。(e2121.已知a0，设函数f(x)alnx2ax2a，g(x)1(x2a)2．（I）求函数h(x)f(x)g(x)的最大值；2（II）若e是自然对数的底数，当ae时，是否存在常数k、b，使得不等式f(x)kxbg(x)对于任意的正实数x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，请说明理由．解：（I）∵h(x)alnx1x2(x0)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）2∴h(x)ax(xa)(xa)xx．x(0,a)a(a,)h(x)+0-h(x)极大值∴当xa时，函数h(x)取最大值alnaa；⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）2（II）当ae时，h(x)f(x)g(x)的最大值是0，即f(x)g(x)，当且仅当xe时取等号，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）函数f(x)和g(x)的图象在xe处有且仅有一个公共点(e,e)，2∵f(x)ee，函数f(x)的图象在xe处切线斜率是kfe，2x∵g(x)x2e，函数g(x)的图象在xe处切线斜率是kge，∴f(x)和g(x)的图象在xe处有公共切线方程为yex3e，2⋯⋯⋯