不等式的解法一 一元二次不等式的解法及应用 人教

不等式的解法（一）

一元二次不等式的解法及应用一、一元二次不等式的基本解法二、含参数的不等式的解法三、应用教学目标

四、小结1整理课件一、一元二次不等式的解法1、不等式-x2+4x>3的解集是___________;2、不等式x2-4x+4>0的解集是_____________;3、不等式x2-4x+5>0的解集是__________;4、不等式x2-4x+5<0的解集是__________。{x|1<x<3}{x|x∈R且x≠2}x∈RΦ③判别式小于零的，可根据二次函数的图像或性质来判断解的情况。解法小结：①二次项系数为负的，先变正。②能因式分解的，直接分解成两个一次的因式乘积，从而快速确定相应的二次方程的两根，利用二次函数的图像即可求出不等式的解集。返回2整理课件二、含参数的不等式解法1、解关于X的不等式(x-1/a)(x-2)<0分析：因为方程（x-1/a）（x-2）=0的两根为X1=1/a，X2=2。所以必须按两根的大小关系分三类（x1>x2，x1=x2，x1<x2)）进行讨论。解：当1/a<2，即a>1/2,a<0时，原不等式的解为：1/a<x<2;

当1/a=2，即a=1/2时，原不等式即(x-2)2<0，此时解为Φ;

当1/a>2时，即0<a<1/2(a≠0)，原不等式的解为2<x<1/a。

点评：如果未能判断两根的大小，必须按两根的大小关系进行分类讨论！最后应加一段总结，按参数的大小顺序分段将结论列举出来综上可知，原不等式的解集为：

当a>1/2,a<0时为{X|1/a<x<2}；当a=1/2时为Φ；当0<a<1/2时为{X|2<x<1/a}。3整理课件2、解关于X的不等式(ax-1)(x-2)<0分析：二次项系数是字母参数的，必须按字母参数等于零，大于零和小于零三种情况进行分类讨论解：1、当a=0时，原不等式即为x-2>0，解得x>2；2、当a>0时，原不等式可化为(x-1/a)(x-2)<0当1/a<2,即a>1/2时，不等式的解为：1/a<x<2;当1/a=2,即a=1/2时，不等式即(x-2)2<0,此时解为Φ;

当1/a>2时，即0<a<1/2(a>0)，不等式的解为2<x<1/a。3、当a<0时，原不等式即为(x-1/a)(x-2)>0，此时，1/a<2，所以，不等式的解为x<1/a,或x>2。

点评：二次项系数是字母参数的，必须要讨论。综上可知，原不等式的解集为：当a>1/2时为{x|1/a<x<2}；当a=1/2时为{x|2<x<1/a}；当0<a<1/2时为{x|2<x<1/a}；当a=0时为{x|x>2}；当a<0时为{x|1/a<x<2}。返回4整理课件三、一元二次不等式的应用1、已知不等式x2-mx+n≦0的解集为{x|-5≦X≦1}.求m、n的值。解：因为x2-mx+n≦0的解集为{x|-5≦X≦1}。所以-5，1是方程x2-mx+n=0的两个根。由韦达定理可知：m=-5+1=-4,n=-5X1=-5。变式训练：若上题的条件不变，将结论改为“求nx2+mx+1≧0的解集”并求解。答案：{-1/5≦X≦1}5整理课件2、关于X的不等式ax2+(a-1)x+(a-1)<0对于X∈R恒成立，求a的取值范围。解：当a>0时不合题意，a=0也不合∴必有：

6整理课件变式训练：若函数的定义域为R，求实数k的取值范围。解：依题意可知，kx2-6kx+(k+8)≧0（*）对一切实数x∈R恒成立！1．当K=0时，（*）式即为8≧0，显然成立。∴k的取值范围是[0,1]2．当K≠0时，则必有7整理课件3、确定函数y=2x3-6x2+2的单调区间。x02解：∵y’=6x2-12x=6x(x-2)∴令y’>0，得x<0或X>2令y’<0，得0<x<2∴原函数在（-∞，0）和（2，+∞）单调增，在（0，2）单调减。返回8整理课件

1、解一元二次不等式可借助一元二次函数的图像与X轴的关系来确定。2、在解含参数的不等式时，要注意分类讨论。3、若分类讨论是分几个层次进行的，结论未免分散零乱，这时最好加一段总结，按参数的大小顺序分段将结论列举出来。小结：一元二次不等式的解法9整理课件1、解：因为-x2+4x>3x2-4x+3<0(x-1)(x-3)<0所以1<x<3返回10整理课件2、解：∵x2-4x+4>0(x-2)2>0∴x∈R且x≠2返回11整理课件3、解：因为不等式x2-4x+5>0中，二次项系数为1>0，Δ=(-4)2-4X1X5=-4<0，对应的二次函数的图像为开口向上且与X轴无交点。所以不等式的解集为X∈R