人教A版选择性必修第三册7.3.1 离散型随机变量的均值课时作业

【优质】7.3.1离散型随机变量的均值课时练习一．单项选择（）1．某科研团队发现了一种新型单细胞生物，在长时间观测后，科研团队发现每个活细胞在每一分钟内都会独立且等可能地发生以下四件事中的一件：①死亡；②保持原状；③分裂成两个活细胞；④分裂成三个活细胞.若初始时在一条件适宜的孤立系统中放置两个活细胞，试计算理论上在无限长时间后该系统中仍有活细胞存活的概率.2．足球比赛中规定，若双方在进行了90分钟激战和加时赛仍然无法分出胜负，则采取点球大战的方式决定胜负，点球大战规则如下：两队应各派5名队员，双方轮流踢，如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次时可能射中的球数，则不需再踢，若5轮之后双方进球数相同，则继续点球，直到出现某一轮结束时，一方踢进且另一方未踢进时比赛结束，现有甲乙两支球队进行点球大战，每支球队每次点球进球的概率均为，每轮点球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.（1）最少进行几轮比赛能分出胜负？并求相应概率：（2）求至少进行5轮比赛才能分出胜负的概率.3．排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束．甲．乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立，若甲．乙两队双方平后，甲队拥有发球权．（1）当时，求两队共发2次球就结束比赛的概率；（2）当时，求甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率．4．已知某机床的控制芯片由个相同的单元组成，每个单元正常工作的概率为，且每个单元正常工作与否相互独立.（1）若，求至少有3个单元正常工作的概率；（2）若，并且个单元里有一半及其以上的正常工作，这个芯片就能控制机床，其概率记为.①求的值；②若，求的值.5．电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务.我们在使用电子邮件时发现一个有趣的现象：中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取40个邮箱名称，其中中国人的20个，外国人的20个，在20个中国人的邮箱名称中有15个含数字，在20个外国人的邮箱名称中有5个含数字.（1）根据以上数据填写列联表；（2）能否有的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？（3）用样本估计总体，将频率视为概率.在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为，“6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为，试比较与的大小.参考公式和数据：（其中为样本容量）.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.8286．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.驾驶证考试，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.假设每个人科目二5次考试是否通过互不影响，且夫妻二人每次考试是否通过也互不影响.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.7．甲．乙两组各有位病人，且位病人症状相同，为检验．两种药物的药效，甲组服用种药物，乙组服用种药物，用药后，甲组中每人康复的概率都为，乙组三人康复的概率分别为．．.（1）设甲组中康复人数为，求的分布列；（2）求甲组中康复人数比乙组中康复人数多人的概率.8．甲．乙两人玩一个掷骰子游戏，规则如下：甲掷两次骰子，第一次掷出的数字作为十位数，第二次掷出的数字作为个位数，组成一个两位数，然后让乙猜.若乙猜出的结果与该两位数满足的数字特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲掷两次骰子）.所要猜的两位数的数字特征方案从以下两种猜法中选择一种；猜法一：猜“两位数的十位大于个位”；猜法二：猜“两位数的十位不大于个位”.请回答：（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；（2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人连续获胜两次则整个游戏停止，若乙按照（1）中的猜法进行游戏，求第三轮后游戏停止的概率.9．市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校名高中学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查，数据如下表：平均每天锻炼的时间（分钟）总人数将学生日均课外体育锻炼时间在内的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；课外体育不达标课外体育达标总计男女总计（2）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的人中男生的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）将上述调查所得到的概率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中抽取名学生，求其中恰好有名学生课外体育达标的概率.附：参考公式及临界值表：，其中.（）10．武汉出现的新型冠状病毒是一种可以通过飞沫传播的变异病毒，某药物研究所为筛查该新型冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n次；②混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因此这k份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份为阳性，若采取逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（i）试运用概率统计知识，若，试求P关于k的函数关系式；（ii）若，采用混合检验方式可以使得这k份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.参考数据：，，，，11．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄．蓝两种颜色的单车，已知黄．蓝两种颜色的单车的投放比例为.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的辆单车中有辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列.12．某医学科研单位有甲，乙两个专门从事病毒治愈的研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取了这两个小组在过去一年里其中经过15次各自研发的新药结果如下：其中分别表示甲组研发新药成功和失败；分别表示乙组研发新药成功与失败．（1）根据上面这组数据，计算至少有一组研发新药成功的条件下，甲，乙两组同时都研发新药成功的概率；（2）若某组成功研发一种新药，则该组可直接为本单位创造经济价值为5万余元，并且单位奖励给该组1千元，否则就亏损1万余元，奖励0元，试计算甲，乙两组研发新药的经济效益的平均数；（3）根据（2）的条件分别计算甲乙两组的奖金的方差，并且比较甲乙两组的研发水平.13．某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛．大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛．在初试部分，甲．乙．丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）假设甲．乙．丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？（2）这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率．14．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》也称（“强基计划”）《意见》指出：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校．某考生可能报考甲大学，也可能报考乙大学，已知该考生报考甲大学的概早是0.6.报考乙大学的概率是0.4，而且报考甲大学通过的概率为0.2，报考乙大学通过的概率为0.7.（1）求该考生通过测试的概率；（2）如果该考生通过了测试，那么他报考的是甲大学的概率为多少？15．有4名学生参加体育达标测验，4个各自合格的概率分别是．．．，求以下的概率：（1）4人中至少有2人合格的概率；（2）4人中恰好只有2人合格的概率.

参考答案与试题解析1．【答案】.【解析】分析：设一个细胞时它存活的概率为，变成两个细胞后有存活的概率会变成，列出方程，求得，进而求得两个细胞初始的时候无限时间后还有细胞存活的概率.详解：设一个细胞时它存活的概率为，则是与当前时间无关的，一分钟后及“无限长时间后仍有存活的细胞的概率”还是，变成两个细胞后有存活的概率会变成，类推可得方程，整理得，解得或（舍去），所以两个细胞无限时间后还有细胞存活的概率为.【点睛】方法点睛：由一个细胞时存活的概率为，得出两个细胞后有存活的概率会变成，类推得出方程是解答的关键.2．【答案】（1）最少三轮能定胜负，三场能定胜负的概率为；（2）.【解析】分析：（1）一方进球3次，另一方还未进球，根据每次点球进球的概率即可获解；（2）由（1），先分析四轮结束时的情况，再由对立事件的概率公式即可求解.详解：（1）一方进球3次，另一方还未进球时即可分出胜负，故最少三轮能定胜负.当三轮能定胜负时，甲进3球，乙不进球：或乙进3球，甲不进球，所以三场能定胜负的概率为.（2）记第四轮结束时，甲，乙进球数分别记为X，Y若第四轮结束时，甲胜出有以下情况(按照甲的进球数分类)；①甲进2球，乙进0球，其概率，②甲进3球，乙进0球或1球，其概率，③甲进4球，乙进1球或2球，其概率，所以第四轮结束时，甲获胜的概率为，所以第四轮结束时，能定胜负的概率为，所以至少5轮比赛才能分出胜负的概率为.3．【答案】（1）；（2）．【解析】分析：(1)先确定后两队共发2次球就结束比赛包含这两个球均由甲队得分和这两个球均由乙队得分两个事件，再利用事件的相互独立性求概率；(2)先确定时，甲队得25分且取得该局比赛胜利包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得该局胜利两个事件，再利用事件的相互独立性求概率.详解：(1)后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥．记事件“后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，所以．即后两队共发2次球就结束比赛的概率为．(2)时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22或25：23取得该局胜利．记事件“甲以25：22取得该局胜利”，“甲以25：23取得该局胜利”，“时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”，因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，所以，，．所以时，甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为.4．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】分析：(1)至少有3个单元正常工作的概率,即求3个单元和4个单元正常工作的概率之和；(2)①的值，即时，至少有4个单元正常工作的概率，根据二项分布的概率计算公式求解即可；②对分奇偶讨论，结合二项分布的概率计算公式及组合数的性质即可求解.详解：解：（1）设至少有3个单元正常工作的概率为，则.（2）①时，至少有4个单元正常工作芯片就能控制机床，所以，由，而，所以.②若，则，页所以，符合题意.若，则，而对立事件，且，则，所以，故：.5．【答案】（1）表格见解析；（2）有；（3）.【解析】分析：（1）根据题意，填写列联表即可；（2）由表中的数据计算，对照临界值表即可得到答案；（3）由列联表得到，中国人与外国人邮箱名称里含有数字的概率，设“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的人数为随机变量，“6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的人数为随机变量，即可得到，，再根据二项分布的概率公式计算可得．详解：解：（1）填写列联表如下：中国人外国人总计邮箱名称里有数字15520邮箱名称里无数字51520总计202040（2）.根据临界值表可知，有的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”.（3）用样本估计总体，将频率视为概率，根据（1）中列联表.中国人邮箱名称里含数字的概率为，外国人邮箱名称里含数字的概率为.设“6个中国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量，“6个外国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量，根据题意得：，.则，.所以.6．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）分别计算出两人均不交补考费的概率，然后利用概率的乘法公式可计算出所求事件概率；（2）根据题意可知，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元包含两种情况：①丈夫不需交补考费，妻子交元补考费；②丈夫交元补考费，妻子不用交补考费.再结合概率的乘法公式和加法公式可求出所求事件的概率.详解：解：设“丈夫在科目二考试中第次通过”，“妻子在科目二考试中第次通过”，则，，其中，2，3，4，5.（1）设事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”则，，.因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为（2）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”则，，.因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为.7．【答案】（1）分布列见解析；（2）.【解析】分析：（1）由题意可知，，由二项分布的公式逐一计算概率，写出分布列；（2）甲组中康复人数比乙组中康复人数多人有2:0,3:1两种情况，计算乙组中康复为0人和1人的概率，用相互独立事件的概率乘法公式求出概率.详解：（1）由题意可知，，所以，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：（2）设乙组中康复人数为，记事件甲组中康复人数比乙组中康复人数多人，，，则.8．【答案】（1）选择猜法二，理由见解析；（2）.【解析】分析：(1)求出两个骰子掷出的数字所构成的两位数组成样本空间中样本点的个数，再利用古典概型的计算公式，分别计算猜法一．二的概率，比较即可得到答案；(2)设事件为“游戏结束时甲连续获胜两次”，为“游戏结束时乙连续获胜两次”，分别根据事件独立的乘法公式计算，即可得到结果.详解：解：（1）两个骰子掷出的数字所构成的两位数组成样本空间：，共36个样本点.设事件为“两位数的十位大于个位”，为“两位数的十位不大于个位”，则，，因为，故为了尽可能获胜，应该选择猜法二.（2）设事件为“游戏结束时甲连续获胜两次”，为“游戏结束时乙连续获胜两次”，则，，故第三轮后游戏停止的概率为.9．【答案】（1）列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；（2）分布列见解析，；（3）．【解析】分析：.（1）根据已知数据计算可填写列联表，然后计算可得；（2）求出抽取的10人男生和女生的人数，得所有可能值，计算出概率后可得概率分布列，再由期望公式计算期望；（3）求出体育达标频率为，这样可得所抽取的4人中，课外体育达标的人数，由此可计算出恰有2人达标的概率．详解：（1）由题意列联表如下：课外体育不达标课外体育达标总计男603090女90总计15050200，因此不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；（2）易知抽取的10人中男生有（名），女生有10－4＝6名，的可能值为，，，，，的概率分布列如下：0123；（3）设所抽取的4人中，课外体育达标的人数为，由已知得达标频率为，将频率视为概率，则，，所以抽取的名学生，恰好有名学生课外体育达标的概率为．10．【答案】(1);(2)（i）,;（ii）4【解析】(1)设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的事件为,则,故恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的概率为(2)（i）由已知可得,所有可能的取值为.所以,,所以.若,则,所以.故.所以P关于k的函数关系式,（ii）由题意可知,即,化简得.因为,所以,即.设函数.又,故当时,,即在上单调递减.又,.故的最大值为4.11．【答案】（1）；（2）分布列答案见解析.【解析】分析：（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题可知，随机变量的可能取值有．．．．，计算出随机变量在不同取值下的概率，由此可得出随机变量的分布列.详解：（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为，用表示“抽取的辆单车中蓝颜色单车的个数”，则服从二项分布，即，所以抽取的辆单车中有辆是蓝颜色单车的概率为；（2）随机变量的可能取值为：．．．．，，，，，.所以的分布列如下表所示：【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列．组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.12．【答案】（1）；（2）3万，2.6万元；（3）甲组的研发水平应高于乙组研发水平.【解析】分析：（1）由古典概型公式即可求得；（2）先列举出具体数据，再由平均数公式解出；（3）先计算出平均数，再由方差公式解出方差，再将数据进行比较，进而得到答案.详解：（1）至少有一组研发成功有13种情况，甲乙都研发成功有6种情况，则概率为.（2）甲组研发新药的贡献效益依次为5，5，5，，，5，5，5，，5，，5，5，，5.则甲组贡献经济效