高等量子力学理论方法5课件

一、量子力学的建立二、量子力学基本原理三、量子力学的理论方法四、量子力学的应用

高等量子力学

1一、量子力学的建立高等量子力学

1三、量子力学的理论方法一、表象理论二、微扰理论五、散射理论

六、多粒子体系理论

七、二次量子化

八、相对论量子力学三、量子跃迁理论四、自旋与角动量理论2三、量子力学的理论方法一、表象理论二、微扰理论五、第六章散射理论一、散射过程、散射截面二、中心力场中的弹性散射三、方形势阱与势垒产生的散射四、格林函数法和波恩近似3第六章散射理论一、散射过程、散射截面3散射过程：Zθds靶粒子所处位置称为散射中心。方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。一、散射过程、散射截面4散射过程：Zθds靶粒子所处位置称为散射中心。方向准直的散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。入射粒子流密度N：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。

5散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显然综合之，则有：或

（1）比例系数q(，)的性质：q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能有关，是，的函数散射截面dsZθ6设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）q(，)具有面积的量纲故称q(，)为微分散射截面，简称为截面或角分布如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面积q(，)，则单位时间内通过此截面的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。（2）7q(，)具有面积的量纲故称q(，)为微分散射截面，简总散射截面：[注]由于N、可通过实验测定，故而求得。量子力学的任务是从理论上计算出，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。8总散射截面：[注]由于N、可通过实验测定，故而现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态Schrödinger方程（4）令方程（4）改写为9现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射（5）由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为，因此，在计算时，仅需考虑处的散射粒子的行为，即仅需考虑处的散射体系的波函数。设时，，方程（5）变为（6）10（5）由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以在处，散射粒子的波函数是入射平面波和球面散射波之和。即（7）对于三维情形，波可沿各方向散射。11在处，散射粒子的波函数是入射平面波散射波的概率流密度入射波概率密度（即入射粒子流密度）为方便起见，取入射平面波的系数，这表明，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。（8）12散射波的概率流密度入射波概率密度（即入射粒子流密度）为单位时间内，在沿方向d立体角内出现的粒子数为

（11）比较（1）式与（10），得到（10）（9）13单位时间内，在沿方向d立体角内出现的粒子数为下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近似方法。分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。由此可知，若知道了，即可求得，称为散射振幅。所以，对于能量给定的入射粒子，速率给定，于是，入射粒子流密度给定，只要知道了散射振幅，也就能求出微分散射截面。的具体形式通过求Schrödinger方程（5）的解并要求在时具有渐近形式（7）而得出。14下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，对于具有确定能量的粒子，方程（2-1）的特解为讨论粒子在中心力场中的散射。（2-1）粒子在辏力场中的势能为，状态方程由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成二、中心力场中的弹性散射（分波法）15取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与方程（2-1）的通解为所有特解的线性迭加

（2-2）（2-2）代入（2-1），得径向方程为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，称为第

个分波，通常称的分波分别为s,p,d,f…分波（2-3）16方程（2-1）的通解为所有特解的线性迭加 令代入上方程（2-4）考虑方程（2-4）在情况下的极限解令方程（2-4）的极限形式由此求得：（2-5）17令代入上方程（2-4）考虑方程（2-4）在情况下为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数将（2-5）代入（2-2），得到方程（2-1）在情形下通解的渐近形式（2-6）18为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数将（2-5）代入（

另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数（2-7）（2-8）式中jl(kr)是球贝塞尔函数将平面波按球面波展开 （2-9）19另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数（利用（2-8）、（2-9），可将（2-7）写成（2-10）

（2-6）和（2-10）两式右边应相等，即分别比较等式两边和前边的系数，得

20利用（2-8）、（2-9），可将（2-7）写成（2-10）（2-12）（2-11）可以得到用乘以（12）式，再对从积分，并利用Legradrer多项式的正交性21（2-12）（2-11）可以得到用乘以（即（2-13）将此结果代入（2-11）式（2-14）22即可见，求散射振幅f()的问题归结为求，求

的具体值关键是解径向波函数

的方程（3-3）

由（2-8），（2-9）知，是入射平面波的第个分波的位相；由（2-6）知，是散射波第

个分波的位相。所以，

是入射波经散射后第

个分波的位相移动（相移）。

的物理意义：

23可见，求散射振幅f()的问题归结为求，求的具体微分散射截面（2-15）总散射截面24微分散射截面（2-15）总散射截面24即 （2-16）式中 （2-17）是第

个分波的散射截面。由上述看们看出：求散射振幅的问题归结为求相移，而

的获得，需要根据的具体情况解径向方程（2-3）求，然后取其渐近解，并写为25即 （2-16）式中 即可得到第个分波的相移，由于每个分波都将产生相移，所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法。光学定理表示由散射振幅在零点的虚部可以求出总散射截面26即可得到第个分波的相移，由于每个分波都将产生相移，分波法求散射截面是一个无穷级数的问题。从原则上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，达到一定精确度即可。分波法的适用范围散射主要发生在势场的作用范围内，以散射中心为圆心，以

为半径的球表示这个范围，则时，散射效果就可以忽略不计了。27分波法求散射截面是一个无穷级数的问分波法的适用范围由于入射波的第

个分波的径向函数的第一极大值位于附近，当

较大时，愈大，愈快，如果的第一极大值位于，即时，在内，的值很小。亦即第

个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只有第

个分波之前的各分波必须考虑。所以，我们把分波法适用的条件28由于入射波的第个分波的径向函数的第一极大值位于写成，而的分波不必考虑，愈小，则需计算的项数愈小，当时，

，这时仅需计算一个相移即足够了，足够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能散射，的分波散射截面可以略去。29写成，而的分波不必考虑，愈小，说明已知时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道的具体形式，这时，我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。30说明已知时，可用分波法求出低能散射的相移和散射思考题：什么是分波法？入射平面波eikz按球面波展开展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移。而

的获得需根据的具体形式解径向方程31思考题：什么是分波法？入射平面波eikz按球面波展开展开式中求出，然后取其渐近解，并写成即可得到第个分波的相移，由于每个分波都将产生相移

，所以，计算散射截面时须寻找各个分波的相移，这种方法称为分波法。32求出，然后取其渐近解，并写成即可得到第个分波的相分波法应用举例ex.

球方势阱和球方势垒的低能散射。粒子的势能:

是势阱或势垒的深度或高度。设入射粒子能量很小，其德布罗意波长比势场作用范围大很多（质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况），求粒子的散射截面。Solve:

粒子的径向方程（1）三、方形势阱与势垒产生的散射33分波法应用举例ex.球方势阱和球方势垒的低能散射。粒子的势其中（2）对于球方势阱为粒子的能量，为粒子在靶粒子中心力场中的势能。（2）因粒子波长所以仅需讨论s波的散射，据此及（2）式，可将方程（1）写成 34其中（2）对于球方势阱为粒子的能量，为粒子在其中（4）（3）令则（3），（4）可写成（5）35其中（4）（3）令则（3），（4）可写成（5）35（6）其解为（7）（8）于是（9）（10）因在处有限，必须有所以36（6）其解为（7）（8）于是（9）（10）因在处，及连续，因此，及在处连续。由（7），（8）式得总散射截面（11）（12）由此求得相移即37在处，及连续，因此，在粒子能量很低的情况下，。利用时，，有（13）（14）对于球方势垒。这时，用代替以上讨论中的，在粒子能量很低的情况下，（13）变为 （15）38在粒子能量很低的情况下，。利用EX.1Solve为一般起见，先考虑

分波的相移，再取特殊情况分波的相移。粒子受到势能为的场的散射，求s分波的微分散射截面。根据边界条件 （1）解径向函数满足的径向方程令

39EX.1Solve为一般起见，先考虑分波的相移，又令（2）所以（2）式可以写成于是（3）式又可写成（3）令40又令（2）所以（2）式可以写成于是（3）式又可写成（3）令4上式是阶贝塞尔方程，其解为，因此但当时，

所以在附近由（4）41上式是阶贝塞尔方程，其解为，因此但当（5）比较（1）式和（5）式，则有42（5）比较（1）式和（5）式，则有42将值代入微分散射截面的表达式立即可得到s分波的微分散射截面令s分波散射截面43将值代入微分散射截面的表达式立即可得到s分波的微分散射截EX.2慢速粒子受到势能为的场的散射，若，，求散射截面。由径向波函数所满足的径向方程当

时（1）令（2）Solve:由于是慢速粒子散射，对于低能散射只需考虑

分波。44EX.2慢速粒子受到势能为将代入以上方程（3）并令 （4）（6）（5）45将代入以上方程（3）并令

当应有限，则要求

在处，和连续两式相除，得46当应有限，则要求在总散射截面(7)讨论：当粒子的能量时，如果粒子能量很低的情况下

47总散射截面(7)讨论：当粒子的能量时，如果粒子如果时，，于是有在这种情况下，总散射截面等于半径为

的球面面积。它与经典情况不同，在经典情况下48如果时，，于是有在这种情况下，总散射截EX.3只考虑s分波，求慢速粒子受到势场的场散射时的散射截面Solve:

根据边界条件解径向方程：令则上方程简写为：49EX.3只考虑s分波，求慢速粒子受到势场令代入上方程，有只考虑s分波，，由于，，以上方程在时的渐近形式为此为阶贝塞尔方程，其解为50令代入上方程，有只考虑s分波，，由于，由于，，所以有限解为于是比较（1）和（2）两式，并注意取（1）式中的

等于0，则51由于，，所以有限解为于是比较（1）和一、量子力学的建立二、量子力学基本原理三、量子力学的理论方法四、量子力学的应用

高等量子力学

52一、量子力学的建立高等量子力学

1三、量子力学的理论方法一、表象理论二、微扰理论五、散射理论

六、多粒子体系理论

七、二次量子化

八、相对论量子力学三、量子跃迁理论四、自旋与角动量理论53三、量子力学的理论方法一、表象理论二、微扰理论五、第六章散射理论一、散射过程、散射截面二、中心力场中的弹性散射三、方形势阱与势垒产生的散射四、格林函数法和波恩近似54第六章散射理论一、散射过程、散射截面3散射过程：Zθds靶粒子所处位置称为散射中心。方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。一、散射过程、散射截面55散射过程：Zθds靶粒子所处位置称为散射中心。方向准直的散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。入射粒子流密度N：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。

56散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显然综合之，则有：或

（1）比例系数q(，)的性质：q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能有关，是，的函数散射截面dsZθ57设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）q(，)具有面积的量纲故称q(，)为微分散射截面，简称为截面或角分布如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面积q(，)，则单位时间内通过此截面的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。（2）58q(，)具有面积的量纲故称q(，)为微分散射截面，简总散射截面：[注]由于N、可通过实验测定，故而求得。量子力学的任务是从理论上计算出，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。59总散射截面：[注]由于N、可通过实验测定，故而现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态Schrödinger方程（4）令方程（4）改写为60现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射（5）由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为，因此，在计算时，仅需考虑处的散射粒子的行为，即仅需考虑处的散射体系的波函数。设时，，方程（5）变为（6）61（5）由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以在处，散射粒子的波函数是入射平面波和球面散射波之和。即（7）对于三维情形，波可沿各方向散射。62在处，散射粒子的波函数是入射平面波散射波的概率流密度入射波概率密度（即入射粒子流密度）为方便起见，取入射平面波的系数，这表明，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。（8）63散射波的概率流密度入射波概率密度（即入射粒子流密度）为单位时间内，在沿方向d立体角内出现的粒子数为

（11）比较（1）式与（10），得到（10）（9）64单位时间内，在沿方向d立体角内出现的粒子数为下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近似方法。分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。由此可知，若知道了，即可求得，称为散射振幅。所以，对于能量给定的入射粒子，速率给定，于是，入射粒子流密度给定，只要知道了散射振幅，也就能求出微分散射截面。的具体形式通过求Schrödinger方程（5）的解并要求在时具有渐近形式（7）而得出。65下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，对于具有确定能量的粒子，方程（2-1）的特解为讨论粒子在中心力场中的散射。（2-1）粒子在辏力场中的势能为，状态方程由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成二、中心力场中的弹性散射（分波法）66取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与方程（2-1）的通解为所有特解的线性迭加

（2-2）（2-2）代入（2-1），得径向方程为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，称为第

个分波，通常称的分波分别为s,p,d,f…分波（2-3）67方程（2-1）的通解为所有特解的线性迭加 令代入上方程（2-4）考虑方程（2-4）在情况下的极限解令方程（2-4）的极限形式由此求得：（2-5）68令代入上方程（2-4）考虑方程（2-4）在情况下为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数将（2-5）代入（2-2），得到方程（2-1）在情形下通解的渐近形式（2-6）69为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数将（2-5）代入（

另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数（2-7）（2-8）式中jl(kr)是球贝塞尔函数将平面波按球面波展开 （2-9）70另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数（利用（2-8）、（2-9），可将（2-7）写成（2-10）

（2-6）和（2-10）两式右边应相等，即分别比较等式两边和前边的系数，得

71利用（2-8）、（2-9），可将（2-7）写成（2-10）（2-12）（2-11）可以得到用乘以（12）式，再对从积分，并利用Legradrer多项式的正交性72（2-12）（2-11）可以得到用乘以（即（2-13）将此结果代入（2-11）式（2-14）73即可见，求散射振幅f()的问题归结为求，求

的具体值关键是解径向波函数

的方程（3-3）

由（2-8），（2-9）知，是入射平面波的第个分波的位相；由（2-6）知，是散射波第

个分波的位相。所以，

是入射波经散射后第

个分波的位相移动（相移）。

的物理意义：

74可见，求散射振幅f()的问题归结为求，求的具体微分散射截面（2-15）总散射截面75微分散射截面（2-15）总散射截面24即 （2-16）式中 （2-17）是第

个分波的散射截面。由上述看们看出：求散射振幅的问题归结为求相移，而

的获得，需要根据的具体情况解径向方程（2-3）求，然后取其渐近解，并写为76即 （2-16）式中 即可得到第个分波的相移，由于每个分波都将产生相移，所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法。光学定理表示由散射振幅在零点的虚部可以求出总散射截面77即可得到第个分波的相移，由于每个分波都将产生相移，分波法求散射截面是一个无穷级数的问题。从原则上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，达到一定精确度即可。分波法的适用范围散射主要发生在势场的作用范围内，以散射中心为圆心，以

为半径的球表示这个范围，则时，散射效果就可以忽略不计了。78分波法求散射截面是一个无穷级数的问分波法的适用范围由于入射波的第

个分波的径向函数的第一极大值位于附近，当

较大时，愈大，愈快，如果的第一极大值位于，即时，在内，的值很小。亦即第

个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只有第

个分波之前的各分波必须考虑。所以，我们把分波法适用的条件79由于入射波的第个分波的径向函数的第一极大值位于写成，而的分波不必考虑，愈小，则需计算的项数愈小，当时，

，这时仅需计算一个相移即足够了，足够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能散射，的分波散射截面可以略去。80写成，而的分波不必考虑，愈小，说明已知时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道的具体形式，这时，我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。81说明已知时，可用分波法求出低能散射的相移和散射思考题：什么是分波法？入射平面波eikz按球面波展开展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移。而

的获得需根据的具体形式解径向方程82思考题：什么是分波法？入射平面波eikz按球面波展开展开式中求出，然后取其渐近解，并写成即可得到第个分波的相移，由于每个分波都将产生相移

，所以，计算散射截面时须寻找各个分波的相移，这种方法称为分波法。83求出，然后取其渐近解，并写成即可得到第个分波的相分波法应用举例ex.

球方势阱和球方势垒的低能散射。粒子的势能:

是势阱或势垒的深度或高度。设入射粒子能量很小，其德布罗意波长比势场作用范围大很多（质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况），求粒子的散射截面。Solve:

粒子的径向方程（1）三、方形势阱与势垒产生的散射84分波法应用举例ex.球方势阱和球方势垒的低能散射。粒子的势其中（2）对于球方势阱为粒子的能量，为粒子在靶粒子中心力场中的势能。（2）因粒子波长所以仅需讨论s波的散射，据此及（2）式，可将方程（1）写成 85其中（2）对于球方势阱为粒子的能量，为粒子在其中（4）（3）令则（3），（4）可写成（5）86其中（4）（3）令则（3），（4）可写成（5）35（6）其解为（7）（8）于是（9）（10）因在处有限，必须有所以87（6）其解为（7）（8）于是（9）（10）因在处，及连续，因此，及在处连续。由（7），（8）式得总散射截面（11）（12）由此求得相移即88在处，及连续，因此，在粒子能量很低的情况下，。利用时，，有（13）（14）对于球方势垒。这时，用代替以上讨论中的，在粒子能量很低的情况下，（13）变为 （15）89在粒子能量很低的情况下，。利用